時序平滑預(yù)測

1、時間序列平滑預(yù)測法 確定性時間序列預(yù)測法 隨機(jī)性時間序列預(yù)測法4 時間序列平滑預(yù)測法 4.1 時間序列概述 4.2 移動平均法 4.3 指數(shù)平滑法 4.4 差分指數(shù)平滑法 4.1 時間序列概述 回歸分析預(yù)測法必須找到影響預(yù)測目標(biāo)變化的主要因素，才能建立預(yù)測模型。但是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是錯綜復(fù)雜的，有時要想找到影響預(yù)測目標(biāo)變化的主要因素是困難的；有時即使找到了某些主要因素，在缺乏必要的統(tǒng)計資料時，也不能應(yīng)用回歸分析預(yù)測法，這時可以用時間序列分析預(yù)測法。時間序列分析預(yù)測法，是將預(yù)測目標(biāo)的歷史數(shù)據(jù)按照時間的順序排列成為時間序列，然后分析它隨時間的變化趨勢，外推預(yù)測目標(biāo)的未來值。這樣，就把影響預(yù)測目標(biāo)變化的一切

2、因素由“時間”綜合起來描述了。 時間序列分析預(yù)測可分為確定性時間序列預(yù)測法和隨機(jī)性時間序列預(yù)測法。本章將討論確定性時間序列預(yù)測法。第8章將討論隨機(jī)性時間序列預(yù)測法。4.1 時間序列概述 4.1.1 時間序列的因素分析時間序列的因素分析 時間序列的變化受到長期趨勢長期趨勢、季節(jié)變動季節(jié)變動、周期周期變動變動和不規(guī)則變動不規(guī)則變動這四個因素的影響。其中：（1） 長期趨勢因素（ Trend ） 反映了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一個較長時間內(nèi)的發(fā)展方向， 它可以在一個相當(dāng)長的時間內(nèi)表現(xiàn)為一種近似直線的持續(xù)向上或持續(xù)向下或平穩(wěn)的趨勢。（2） 季節(jié)變動因素（ Seasonal ） 是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象受季節(jié)變動影響所形成的一種長度

3、和幅度固定的周期波動?；乜偰夸浕乇菊履夸洠?） 周期變動因素（ Cyclical ） 周期變動因素也稱循環(huán)變動因素，它是受各種經(jīng)濟(jì)因素影響形成的上下起伏不定的波動。（4） 不規(guī)則變動因素（ Irregular ） 不規(guī)則變動又稱隨機(jī)變動，它是受各種偶然 因素影響所形成的不規(guī)則變動。4.1.2時間序列的組合形式時間序列的組合形式 時間序列是由長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動這四類因素組成。組合的形式，常見的有以下幾種類型：（1）加法型 yt=TtStCtIt（2）乘法型 yt=TtStCtIt（3）混合型 yt=StTt+Ct+It, yt=St+TtCtIt 其中yi為時間序列的全變動

4、；Tt為長期趨勢；St為季節(jié)變動；Ct為循環(huán)變動；It為不規(guī)則變動?；乜偰夸浕乇菊履夸?.2 移動平均法 移動平均法（ Moving Average）是根據(jù)時間序列資料、逐項推移，依次計算包含一定項數(shù)的序時平均數(shù)，以反映長期趨勢的方法。當(dāng)時間序列的數(shù)值由于受周期變動和不規(guī)則變動的影響，起伏較大，不易顯示出發(fā)展趨勢時，可用移動平均法，消除這些因素的影響，分析、預(yù)測序列的長期趨勢。移動平均法有簡單移動平均法，加權(quán)移動平均法，趨勢移動平均法等。 回總目錄回本章目錄4.2.1簡單移動平均法(simple moving average)設(shè)時間序列為： y1,y2,.,yt,.;簡單移動平均公式為： Mt

5、=(Yt+yt-1+.+yt-N+1)/N, tN式中：Mt為t期移動平均數(shù)；N為移動平均的項數(shù)。公式表明當(dāng)t向前移動一個時期，就增加一個新近數(shù)據(jù)，去掉一個遠(yuǎn)用數(shù)據(jù)，得到一個新的平均數(shù)。由于它不斷地“吐故納新”，逐期向前移動，所以稱為移動平均法。顯然，Mt-1=(Yt-1+yt-2+.+yt-N)/N；所以，遞推公式 ：Mt=Mt-1+(yt-yt-N)/N利用遞推公式可以大大減少計算量。用計算機(jī)編程就應(yīng)該使用這個遞推公式。 1tySPSS操作：打開SPSS,選擇TransformCreat Time Series；在Function下拉列表框中選擇Prior moving average,將

6、Span的值改為n的值；選擇要預(yù)測的變量為進(jìn)入New variable(s)中；Name文本框中的變量名可以修改或不改；按OK鍵完成。4.2.2加權(quán)移動平均法(weighted moving average) 加權(quán)移動平均法對近期的觀察值和遠(yuǎn)期的觀察值賦予不同的權(quán)數(shù)后再進(jìn)行預(yù)測 當(dāng)時間序列的波動較大時，最近期的觀察值應(yīng)賦予最大的權(quán)數(shù)，較遠(yuǎn)的時期的觀察值賦予的權(quán)數(shù)依次遞減 當(dāng)時間序列的波動不是很大時，對各期的觀察值應(yīng)賦予近似相等的權(quán)數(shù) 所選擇的各期的權(quán)數(shù)之和必須等于1。設(shè)時間序列為： y1,y2,.,yt,.;加權(quán)移動平均公式為： Mtw=(w1Yt+w2yt-1+.+wNyt-N+1)/ (w

7、1+w2+.+wN), tN 加權(quán)平均法，暫時未見直接的可用軟件 。1tyN的選取也起著較大的作用，N小一些,預(yù)測跟蹤效果好一些。反映較靈敏。特別地當(dāng)N=1，則與實際狀況相同。N大一些，平滑特性就好一些，但跟蹤能力差。 當(dāng)數(shù)據(jù)的隨機(jī)因素較大時，宜選用較大的N，這樣有利于較大限度地平滑由隨機(jī)性所帶來的嚴(yán)重偏差；反之，當(dāng)數(shù)據(jù)的隨機(jī)因素較小時，宜選用較小的N，這有利于跟蹤數(shù)據(jù)的變化，并且預(yù)測值滯后的期數(shù)也少。N的選取（5-200），一般是取幾個N值進(jìn)行試算，然后比較誤差，從中選擇最優(yōu)。見例題簡單（加權(quán)）移動平均法的缺點 限制一：計算移動平均必須具有N個過去觀察值，當(dāng)需要預(yù)測大量的數(shù)值時，就必須存儲大

8、量數(shù)據(jù)； （與指數(shù)平滑法相比）限制二：早于（t-N+1）期的觀察值的權(quán)數(shù)等于0，忽略了早期數(shù)據(jù)。（與指數(shù)平滑法相比）簡單移動平均法一般比較適合做近期預(yù)測，且預(yù)測目標(biāo)的趨勢變化不大的情況。只適應(yīng)于預(yù)測平穩(wěn)模式。當(dāng)時間序列的變化值呈現(xiàn)直線趨勢時，一次移動平均法存在滯后偏差。（與趨勢移動平均法相比）回總目錄回本章目錄4.2.3 雙重移動平均法（趨勢移動平均法） 用簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法來預(yù)測就會出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進(jìn)行修正，修正的方法是作二次移動平均，利用移動平均滯后偏差的規(guī)律來建立直線趨勢的預(yù)測模型。這就是趨勢移動平均法。 一次移動平均數(shù)為Mt(1)=(Yt+yt-1+.+yt-N+1

9、)/N在一次移動平均的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次移動平均就是二次移動平均，公式為：Mt(2)=(Mt(1)+Mt-1(1)+.+Mt-N+1(1)/N其遞推公式為：Mt(2)=Mt-1(2)+(Mt(1)-Mt-N(1)/N設(shè)時間序列yt從某個時期開始具有直線趨勢，且認(rèn)為未來時期按此直線的趨勢變化，則可設(shè)此直線預(yù)測趨勢的模型為： at+btT其中，at=2Mt(1)-Mt(2) bt=2(Mt(1)-Mt(2)/(N-1)t為當(dāng)前期數(shù)，T為預(yù)測期數(shù)。1ty 例例 1 1 分析預(yù)測我國平板玻璃月產(chǎn)量。例題分析時間 序號實際觀測值三個月移動平均值 五個月移動平均值 1980.11980.21980.319

10、80.41980.51980.61980.71980.81980.91980.101980.111980.12123456789101112203.8214.1229.9223.7220.7198.4207.8228.5206.5226.8247.8259.5-215.9222.6224.8214.6209.0211.6214.3220.6227.0-218.4217.4216.1215.8212.4213.6223.5 下表是我國1980-1981年平板玻璃月產(chǎn)量，試選用N=3和N=5用一次移動平均法進(jìn)行預(yù)測。計算結(jié)果列入表中。回總目錄回本章目錄4.3指數(shù)平滑法(exponential sm

11、oothing) 指數(shù)平滑法彌補(bǔ)了移動平均法存在兩個不足之處。 根據(jù)平滑次數(shù)不同，有一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等 。根據(jù)參數(shù)個數(shù)，可分為單參數(shù)、雙參數(shù)、三參數(shù)指數(shù)平滑等。1.預(yù)測模型設(shè)時間序列為： y1,y2,.,yt,.;一次指數(shù)平滑公式為： St(1)=yt+(1- )St-1(1)式中為一次指數(shù)平滑值； 為平滑系數(shù)，亦稱阻尼系數(shù)，且0 1。預(yù)測模型可轉(zhuǎn)化為：St(1)= (1- )jyt-j j=1,2,3,.,St(1)實際上是yt,yt-1,.yt-j.的加權(quán)平均。加權(quán)系數(shù)分別為, (1- ), (1- )2,.是按幾何級數(shù)衰減，且權(quán)數(shù)之和 (1- )j=1.由于

12、加權(quán)系數(shù)符合指數(shù)規(guī)律，又具有平滑數(shù)據(jù)的功能）故稱為指數(shù)平滑。1ty初值的確定：初值的確定： 當(dāng)時間序列的數(shù)據(jù)較多，比如在20個以上時。初始值對以后的預(yù)測值影響很小，可選用第一期數(shù)據(jù)為初始值；如果時間序列的數(shù)據(jù)較少，在20個以下時，初始值對以后的預(yù)測值影響很大，這時，就必須認(rèn)真研究如何正確確定初始值。一般以最初幾期的實際值的平均值作為初始值。平滑系數(shù)平滑系數(shù)的選擇的選擇：由預(yù)測模型：可知，新預(yù)測值是根據(jù)預(yù)測誤差對原預(yù)測值進(jìn)行修正而得到的。 的大小則體現(xiàn)了修正的幅度,值愈大，修正幅度愈大， 值愈小，修正幅度也愈小。 的理論計算值為：2/(N+1)。（1）如果時間序列波動不大，比較平穩(wěn)，則應(yīng)取小一點

13、，如（0.10.3）。以減少修正幅度;（2）如果時間序列具有迅速且明顯的變動傾向，則a應(yīng)取大一點，如（0.60.8）。使預(yù)測模型靈敏度高些，以便迅速跟上數(shù)據(jù)的變化。在實用上，一般多取幾個值進(jìn)行試算，看哪個預(yù)測誤差小，就采用哪個。 回總目錄回本章目錄)()1 (1ttttttyyyyyy指數(shù)平滑預(yù)測不斷修正誤差: = St(1) = yt+(1) St-1(1) = St-1(1)+ yt St-1(1) 即 下期預(yù)測值=本期預(yù)測值+本期預(yù)測誤差 為負(fù)反饋自動控制系統(tǒng),有一定的自適應(yīng)能力。 Tty系統(tǒng)1ty指數(shù)平滑法SPSS求解選擇AnalyzeTime seriesExponential Sm

14、oothing選擇預(yù)測變量為變量Models選SimpleParameters按鈕給定給定初始值和趨勢值 (根據(jù)最后一個值確定，但似乎沒有影響)。 問題1、指數(shù)平滑法與移動平均法相比，有何優(yōu)點？問題2、當(dāng)時間序列的變化值呈現(xiàn)直線趨勢時，簡單指數(shù)平滑法是否存在滯后偏差？二次指數(shù)平滑法（布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑法 ） 其基本原理與線性二次移動平均法相似 ，因為當(dāng)趨勢存在時，一次和二次平滑值都滯后于實際值，將一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，則可對趨勢進(jìn)行修正。其計算公式為：St(1)= yt+(1- )St-1(1)St(2)= St(1)+(1- )St-1(2) 式中：St(1)為一次指數(shù)

15、平滑值，St(2)為二次指數(shù)平滑值。當(dāng)時間序列yt從某時期開始具有直線趨勢時，類似趨勢移動平均法，可用直線趨勢模型： at+btT其中：at=2St(1)-St(2)，bt=(St(1)-St(2) /(1- )t為當(dāng)前期數(shù)，T為預(yù)測期數(shù)。Tty 霍特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法 其基本原理與布朗線性指數(shù)平滑法相法相似，只是它不用二次指數(shù)平滑，而是對序列數(shù)據(jù)和趨勢直接進(jìn)行平滑。計算公式：St=yt+(1- )(St-1+bt-1) (1) bt=(St-St-1)+(1- )bt-1 (2) St+btT（1）式是利用前一期的趨勢值bt-1修正St，(2)式用來修正趨勢項bt，趨勢值用相鄰兩次平滑值之

16、差來表示。SPSS操作：選擇AnalyzeTime seriesExponential Smoothing選擇預(yù)測變量為變量Models選HoltParameters按鈕給定、 給定初始值和趨勢值 (根據(jù)最后一個值確定，但似乎沒有影響)。Tty 布朗二次多項式（三次）指數(shù)平滑法基本原理： 當(dāng)數(shù)據(jù)的基本模型具有二次、三次或高次冪時，則需要用高次平滑形式。從線性平滑過渡到二次多項式平滑，基本途徑是再進(jìn)行一次平滑（即三次平滑），并對二次多項式的參數(shù)作出估計。類似，也可以由二次多項式平滑過 渡為三次或高次多項式平滑。St(1)=yt+(1- )St-1(1)St(2)= St(1)+(1- )St-1

17、(2) St(3)= St(2)+(1- )St-1(3) at+btT+ctT2 其中：at=3St(1)-3St(2)+St(3)bt=a/(2(1-a)2)(6-5a)St(1)-2(5-4a)St(2)+(4-3a)St(3)ct=a2/(2(1-a)2)(St(1)-2St(2)+St(3) t為當(dāng)前期數(shù),T為預(yù)測期數(shù)。Tty 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑法 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑法利用三個方程式，其中每一個方程式都用于平滑模型的三個組成部分(平穩(wěn)的、趨勢的和季節(jié)性的),且都含有一個有關(guān)的參數(shù)。 基本方程式如下：其中，0，0) 模型特點：環(huán)比（差比率）大致相等。 參數(shù)求解：對上模型兩邊

18、取對數(shù)，得 lnyt=lna+bt,因此通過換元可轉(zhuǎn)化為線性模型，可用最小二乘求解，（但非最小方差系數(shù)解。）SPSS操作：既可以采用直線回歸，也可以采用曲線回歸,即：采用AnalyzeRegressionCurve Estimation，選擇exponential模型；回總目錄回本章目錄bttaey 修正指數(shù)預(yù)測模型caeybtt 例 題 例例 1 下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額（按當(dāng)年價格計算），分析預(yù)測我國社會商品零售總額 ?；乜偰夸浕乇菊履夸浤攴輹r序（t）總額 （ yt ）年份時序（t）總額 （ yt ）年份時序（t）總額（ yt ）19521276.819631260

19、4.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023

20、.31983322849.4196211604.01973221106.7回總目錄回本章目錄（1）對數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會商品零售總額為 y軸，年份為x軸。回總目錄回本章目錄（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合 的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確 定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將 分別對該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。 適用的二次曲線模型為： 適用的指數(shù)曲線模型為： 2012tybbtb tbttyae回總目錄回本章目錄（3）進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列 ，然后運用普通最小二乘法對模型各參數(shù)進(jìn)行估計。得到估計模型為：其中調(diào)整的 ， ， 則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標(biāo)

21、準(zhǔn)誤差為151.7。 2t2577.2444.333.29tytt20.9524R 0.05290(2,29)FF回總目錄回本章目錄(4) 進(jìn)行指數(shù)曲線模型擬合。對模型 ： 兩邊取對數(shù)： 產(chǎn)生序列 ，之后進(jìn)行普通最小二乘估計該模型。最終得到估計模型為： bttyaelnlntyabtlntylnln303.690.0627tyt0.0627303.69ttye回總目錄回本章目錄 其中調(diào)整的 ， ，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用 二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運用方程： 進(jìn)行預(yù)測將會取得較好的效果。 20.9547R 0.05632.6(1,30)FF2577.24 44.333.29tytt回總目錄回本章目錄 二、三次多項式曲線預(yù)測模型及其應(yīng)用 三次多項式曲線預(yù)測模型為：230123tybbtb tb t回總目錄回本章目錄 設(shè)有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù) ， ， ，令即：解這個四元一次方程就可求