空間幾何體的表面積與體積公式大全

1、空間幾何體的表面積與體積公式大全全（表）面積（含側(cè)面積）1、 柱體2、 錐體 棱錐：s棱錐側(cè)；cgh圓錐：s圓錐側(cè)-ci3、 臺體球：s球4 r2球冠：略球缺：略樓臺：s棱臺側(cè)圓臺：s棱臺側(cè)4、 球體2（c上底 c下底）hi2 （C上底 b底）l體積1、 柱體棱柱圓柱2、 錐體棱錐圓錐V柱sh1V柱 3sh3、棱臺圓臺）1V臺3hSS上S下i 2:V圓臺 7 h (r上r'r上r下 3ST)2r下)4、 球體hS下球：V球球冠：略43臺體球缺：略說明：棱錐、棱臺計算側(cè)面積時使用側(cè)面的斜高h計算；而圓錐、圓臺的側(cè)面積計算時使用母線l計算。三、拓展提高1、祖HI原理：（祖HI：祖沖之的兒子

2、）夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截 面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。最早推導出球體體積的祖沖之父子便是運用這個原理實現(xiàn)的。2、阿基米德原理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個高和底面直徑都是2r的圓柱形容器內(nèi)裝一個最大的球體，則該球體的全面積等于圓柱的側(cè)面積，體積等于圓柱體積的:。分析：圓柱體積：V圓柱 S h ( r2) 2r 2 r3圓柱側(cè)面積：S圓柱側(cè)ch (2 r) 2r 4 r2因此：球體體積：V球2 2r34r333球體表面積：s球4 r2F即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和3、 臺體體積公式公式：V臺&quo

3、t;5上 S上S下S下) 3證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形ABCD延長兩側(cè)棱相交于一點p。設臺體上底面積為$,下底面積為S下 身為h 。易知： PDC s PAB ,設 PE % , 則khi hAB PF由相似三角形的性質(zhì)得：CD EE即： 容（相似比等于面積比的算術平方根）S下h h整理得：h1 -S± hS下 S上又因為臺體的體積=大錐體體積一小錐體體積.1 /、 11 ,、 1V臺 3s下（h1 h） 3s上h1 3h1（S下 S上） &S下hS上h1s上h1代入：h1 信:V臺 37=一不=（S下 S±） 3s下h6下S上3 s S3即

4、：V臺 h（5） 3s下h 1h（S上 6 S下SE333V臺3h（S上S上S下S下）34、 球體體積公式推導分析：將半球平行分成相同高度的若干層（n層），n越大，每一層越近似于圓柱，n時，每一層都可以看作是一個圓柱。這些圓柱的高為則:n每個圓柱的體積Vi Sh =12：半球的體積等于這些圓柱的體積之和2r2 r2222202r.0 r(r)r1 (_)nn222121r(一r)r1 (-)nn2222 x 22r(r)r1 (一)nn2222 川 1 2pl zn 1 rn r ( r) r1 ()'半球體積為：V半球Vn ；（22rn)(r2n 13nrn222心).(1) .(U

5、) n n n2221 2(n 1)n3nrn6(n31(n 1)(2n 1)26n3r 1當n, , V半球1) n(2n 1)-n時，10nr31(11)(2r3(1球體積為：V球3 r35、 球體表面積公式推導分析：球體可以切割成若干（近似棱錐，當n時，這些棱錐的高為球體半徑，底面積為球面面積的1,則每一個棱錐的體積V1 - 1s球r , n3 n J則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有:6、 正六面體（正方體）與正四面體（1）體積關系 如圖：正方體切下四個三棱錐后,剩下的部分為正四面體設正方體棱長為a ,則其體積為：V正方體a3四個角上切下的每一個三棱錐體積為：111213V三棱錐

6、3S h 3 (2a) a 6a中間剩下的正四面體的體積為：V 曰鏈1sh1【:(V2a)2sin60 j(V2a)2(-2?8)1a3這樣一個正方體可以分成四個三棱錐與中間一個正四面體即：1 3 4 1 336a 3a a(2)外接球正方體與其體內(nèi)最大的正四面體有相同的外接球。(理由：過不共面的四點確定一個球。)正方體與其體內(nèi)最大的正面體有四個公共頂點。所 以它們共球?；仡櫍簝牲c定線三點定面三點定圓四點定球正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。(b)與正四面體四條棱相切的球半徑=正方體棱長的一半設正四面體棱長為a ,則與其棱都相切的球半徑為r1有 r 1 a 二 a r1 224 a7、利用祖

7、H恒原理推導球體體積。構造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖咂原理可得兩物 體體積相等。證明：作如下構造：在底面半徑和高都是r的圓柱內(nèi)挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖:r錐i在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設圓柱和半球底面半 徑均為R ,截面高度均為h ,倒圓錐的截面半徑為r錐1,半球截面半徑為則：挖去圓錐后的組合體的截面為： & R2半球截面面積為：S2r球i倒圓錐的底面半徑與高相等,由相似三角形易得:在半球內(nèi)，由勾股定理易得:22Si R hS2R h即：S1 S2,也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖咂原理可得：Vi V2

8、所以半球體積：V半球即，球體體積：V球i Sh Sh 3_232 3 R-Sh 348、 正方體與球(1)正方體的內(nèi)切球V正方體正方體的棱長球體的直徑dV正方體:6:球體的直徑d正方體的體對角線3a343V球3 rV球：V正方體4 d 333 (2) T a3 :2(3)規(guī)律:正方體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點;正方體的內(nèi)切球與外接球的球心在體對角線上;正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之比為：1: V3正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1： 3V3正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1: 3正方體外接球半徑、正方體棱長、內(nèi)切球半徑比為:.3:2: 1正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：

9、3<3正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：39、 正四面體與球(1)正四面體的內(nèi)切球利用體積關系得:解題關鍵：利用體積關系思考內(nèi)切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點的連線恰好把一個正四面體分成四個三棱錐,每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內(nèi)切球的半徑r。112.1sin 60）一3 2a r 312（2 a sin60） h所以：r 1h，其中h為正四面體的高由相關計算得：ha2 2（1a、3）2 3 26Ta.1216. r 4h 72aV正四面體i2a2. 6sin60 a3 a2 312 a.f一V正四機體V球18 ：k3(2)正四面體的外接球234高3、3 a

10、)=2,6a4V正四面體12a2 . “、6sin 603 a2 312 a V球：V正四面體.63 ：，；238 a ： 12 a3.3 : 2(3)規(guī)律:正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點;正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心在高線上;正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之和等于高;正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比等于1:正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為:1: 27正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為:1: 9正四面體外接球半徑、正四面體棱長、內(nèi)切球半徑比為：3%與：12： *6正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為： 27M :18：T3正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：9 :6&

11、amp;:10、圓柱與球(1)圓柱容球(阿基米德圓柱容球模型)圓柱高=底面直徑=球的直徑球體體積=2圓柱體積3球面面積=圓柱側(cè)面積四、角三角形。則有：(2R)2 h2方法總結(jié)球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構成直設球體半徑為R ,圓柱高為h ,底面半徑為r22(2r)2 即：RF面舉例說明立體幾何的學習方法例：已知正四面體的棱長為 a ,求它的內(nèi)切球和外接球的半徑思路：先分析球心的位置。因為正四面體是特殊的四面體，顯然內(nèi)切球與 外接球的球心是重合的。且是正四面體的高線交點。再分析球心與一些特 殊的點、線、面的位置、數(shù)量關系。在內(nèi)切球這種情況下，球心垂直于每 一個面，且到每一個面的距離相等；在外

12、接球這種情況下，球心到每個頂點的距離相等。方法1：展平分析：（最重要的方法）如圖：取立體圖形中的關鍵平面圖形進行分析!連接DO并延長交平面ABC于點G,連接GO1連接DO1并延長交BC于點E,則A、在平面AED中，由相似知識可得:EOi eg 1O1D GA 2二 GOi/AD 且 GO2AFG、ECEGBCDOiA.GOo1szDOAOOiAO,6a43即：AO 1AoiOiOi ai4 AOi4.6a.6ai2V內(nèi)切球6216V外接球433OOi3方法2:體積分析:（最靈活的方法）如圖：設正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O,連接AO、BO、CO、DO,則正四面體被分成四個完全一樣的三棱錐設內(nèi)

13、切球半徑為r ,正四面體的棱長為a則正面四體的高為：h2 2 %34 * 6a (a) 5 a3 23V外接球433 (h r) 6、6La a)312,638 a方法3:方程分析：（最常見的做法）如圖：顯然AO、DO是外接球半徑，。01是內(nèi)切球半徑。在RtA DOO1中，由勾股寫得可得以下方程:2DO2OOi2DO2i其中：DOiADCDO DOi AOi代入方程解得:DO、 67a、OOi6a123OOi、. 62163DO方法4:補形分析（最巧妙的思考） 把正四面體補成正方體進行分析。如圖： 此時，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長為a ,則正方體棱長為 a、2正方體的外接球

14、直徑為具體對角線,6a2正四面體的外接球半徑為:內(nèi)切球半徑為:, 6 一 a124V外接球-34V內(nèi)切球3方法5:坐標分析（最意外的解法）建立如圖所示的空間直角坐標系:則 A (0, 0,z ,)x, y,C (1a, a, 0), D ( 262a50）,設球心位置為即:x2 y2 (z -2a) x (y323a)z (x21 a)222a) z二(x2a)(y 6 、 丁)解得：x y 0, z浮，即：r6一a, R12 R,6. 6. 6a a a3124V外接球V內(nèi)切球43.,633 r 216 a主要方法:統(tǒng)一思想1、 公式的統(tǒng)一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬

15、能 公式全部適用于所有形體，但是這只是一個理想狀況，實際上不可 能，最多只可能適用于一部分而已。即使是這樣，也只減小我們對 公式的記憶難度，增強學習的靈活性。(1)梯形的面積公式：S 1(a b)h,同樣適用于三角形、平行四2邊形、長方形、正方形、扇形的面積計算。只是在使用時作微調(diào)而已。在分析三角形時，上底變?yōu)?；分析長方形、正方形、 平行四邊形時，上下底變成一樣；在分析扇形時，上底變?yōu)?, 下底變成弧長，高為半徑。(2)臺體的側(cè)面積公式：S側(cè)1(c c)h，同樣適用于圓柱、棱柱、 圓錐、棱錐、球的側(cè)面積計算。只是在使用時作微調(diào)而已。在 分析圓柱、棱柱時，上下底周長變成一樣；在分析棱錐時，上

16、底周長變?yōu)?；在分析圓錐時，上底周長變?yōu)?0,斜高變成母線；在分析球體的面積時，上下底都取最大圓的周長，高取直12徑，即：S球 2(2 r 2 r)2r 4 r(3)臺體的體積公式：v 1(s上、s上s下s下)h ,同樣適用于圓3柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的體積計算。只是在使用時作微調(diào) 而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底面積變成一樣；在分析棱錐時，上底面積變?yōu)?;在分析圓錐時，上底面積變?yōu)?0;在 分析球體的體積時，上底面積取0,下底取最大圓面積的2倍, 局取直徑，即：s球-2 (2 r)2r B r332、 字母的統(tǒng)一在進行分析時，一般要把字母統(tǒng)一，這樣便于進行比較！3、 關系的統(tǒng)一i注意相似的關系：面積比等于相似比的平方，體積比等于相似 比的立方。球體、正方體、正多面體相似！二、轉(zhuǎn)換思想1、平面與立體的轉(zhuǎn)換這是立體幾何的一種重要思想，即把立體的問題交給平面來解 決。但是要在特殊的面中進行，有時還要把面與面的關系交給 線與線來分析。如二面角的大小研究，通常會作垂直于兩面的 交線的直線來分析。異面直線的有關系也要平移到同一面中研 究。在立體與平面的轉(zhuǎn)換中平移是一種很實用的手段。通過平移不在同一平面內(nèi)的可轉(zhuǎn)換為同一平面內(nèi)， 不垂直的可轉(zhuǎn)換為 垂直來分析！2、 位置的轉(zhuǎn)