概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重修概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重修河海大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系河海大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 2010.07一、古典概率一、古典概率 （一）（一）內(nèi)容提要內(nèi)容提要：隨機(jī)事件、概率及其性質(zhì)、古典概型：隨機(jī)事件、概率及其性質(zhì)、古典概型與幾何概型、條件概率、乘法公式、全概率公式與貝葉斯公與幾何概型、條件概率、乘法公式、全概率公式與貝葉斯公式、事件的獨(dú)立性、伯努利概型式、事件的獨(dú)立性、伯努利概型.（二）相關(guān)問題（二）相關(guān)問題1. 已知P(A)=0.3, P(AB)=0.4, 則 ；)(BAP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析3已知P( )0.5, P(B)0.4, P( )0.6, 則P(A ) .

2、BA|BA2. 袋中有袋中有20只黃球只黃球30只白球只白球, 二人依次從中任取一球二人依次從中任取一球, 則第則第二人抽得黃球的概率為二人抽得黃球的概率為 .)(BAP 4設(shè)事件A與B相互獨(dú)立, 已知P(A)=0.5, P(AB)=0.8, 則 ； 5. 設(shè)設(shè)A, B為任意兩事件為任意兩事件, 且且A B, P(B) 0,則下列不等式正確則下列不等式正確的是的是: (A) P(A) P(A|B) (B) P(A) P(A|B) (C)P(A) P(A|B) (D) P(A) P(A|B) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 6. 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.6，0.8

3、，飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.3，被兩人擊中而被擊落的概率為0.7，若三人都擊中飛機(jī)，飛機(jī)必定被擊落。（1）求飛機(jī)被擊落的概率；（2）若已知飛機(jī)被擊落，求因被兩人擊中而被擊落的概率。 7. 設(shè)有來自三個(gè)班級(jí)的各設(shè)有來自三個(gè)班級(jí)的各10名、名、15名和名和25名學(xué)生參加一個(gè)文名學(xué)生參加一個(gè)文體節(jié)目，其中各班的女生分別為體節(jié)目，其中各班的女生分別為3名、名、7名和名和5名。隨機(jī)地選一個(gè)名。隨機(jī)地選一個(gè)班級(jí)，再從中先后選取兩人做一個(gè)節(jié)目。班級(jí)，再從中先后選取兩人做一個(gè)節(jié)目。（1）求先選到的一人為女生的概率；）求先選到的一人為女生的概率；（2）已知后選到的一人為男生，求求先選到的一人為女生的概）

4、已知后選到的一人為男生，求求先選到的一人為女生的概率。率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 8. 若事件A, B的概率為正, 則事件A, B互不相容與事件A, B相互獨(dú)立 同時(shí)成立.二、隨機(jī)變量及其分布二、隨機(jī)變量及其分布 （一）（一）內(nèi)容提要內(nèi)容提要：隨機(jī)變量及其分類、一維離散型隨機(jī)變：隨機(jī)變量及其分類、一維離散型隨機(jī)變量、分布律及其性質(zhì)、分布函數(shù)及其性質(zhì)、一維連續(xù)型隨機(jī)變量、分布律及其性質(zhì)、分布函數(shù)及其性質(zhì)、一維連續(xù)型隨機(jī)變量、密度函數(shù)及其性質(zhì)、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、量、密度函數(shù)及其性質(zhì)、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、隨機(jī)變量的獨(dú)立性、隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性、隨機(jī)變量函

5、數(shù)的分布.（二）（二）相關(guān)問題相關(guān)問題 1已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)A + Barctgx, 則A ,B , 概率密度f (x) . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 2. 設(shè)某類電子管的使用壽命X (以小時(shí)計(jì))的概率密度是 f (x) = 一等品的使用壽命在110小時(shí)以上，二等品的使用壽命在80 110小時(shí)，三等品的使用壽命在80小時(shí)以內(nèi)，一等品、二等品、三等品的包裝損壞率分別是0.002、0.20與0.30，現(xiàn)從一大批這類電子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求 （1） 它碰巧是一只由于包裝導(dǎo)致?lián)p壞的電子管的概率； （2） 若已知這是一只由于包裝導(dǎo)致?lián)p壞的電子管，求它原來是二等品的概率。0

6、, 00,1001100 xxex概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 3. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為（2，p）的二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為（4，p）的二項(xiàng)分布，若PX1=5/9，則PY1= ； 4. 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為，某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求出的分布律，并求PY4。0, 0, 0,21)(2/xxexfx概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析5. 設(shè)設(shè) 其其它它, 06, 3, 9/21, 0, 3/1)(xxxfX若若k 使得使得PX k=2/3, 則則k的取值范圍是

7、的取值范圍是 . 6. 設(shè)設(shè)F1(x)與與F2(x)分別為分別為 r.v.X1與與X2的分布函數(shù)的分布函數(shù), 為使為使F(x)=a F1(x) b F2(x)是某一是某一r.v.的分布函數(shù)的分布函數(shù), 在下列給定的各組數(shù)值中在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取應(yīng)取 (A) a=3/5, b= 2/5 (B) a=2/3, b= 2/3 (C) a= 1/2, b= 3/2 (D) a=1/3, b= 3/2 7. 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立且都來自參數(shù)為相互獨(dú)立且都來自參數(shù)為 0的指數(shù)的指數(shù)分布，試用兩種方法求出分布，試用兩種方法求出ZXY的概率密度。的概率密度。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 8

8、. 設(shè)隨機(jī)變量X概率密度是求(1) F(x); (2) Y=aX + b的概率密度，其中a0、b為常數(shù)。., 021,210,)(其它其它xxxxxf 9. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布律為試驗(yàn)證X與Y是不相關(guān)的，也不是相互獨(dú)立的。 XY 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 1設(shè)r. v. X、Y相互獨(dú)立, D(X)2, D(Y)4, 則D(2XY) .三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征 （一）（一）內(nèi)容提要內(nèi)容提要：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)變量函數(shù)的：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期

9、望的性質(zhì)、方差及其性質(zhì)、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)、方差及其性質(zhì)、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)數(shù).（二）（二）相關(guān)問題相關(guān)問題 2. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布, 且UXY, VXY, 則協(xié)方差cov (U, V) = . 3. 已知隨機(jī)變量X N(0，1), , 0，為常數(shù)，試證明: X + N(, 2).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 4. 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為求:（1）關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)f X (x) ，f Y ( y)； （2）Y的期望和方差E(Y )，D(Y )； （3）X與Y的協(xié)方差Cov( X，Y )； （4）Z= max( X, Y )的密度函數(shù)。其其它它

10、, 010,0, 2),(yyxyxf 5. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為且E(X)=1/3，則a = ，b = ；其其它它, 010,)(xbaxxf概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 6. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間1, 2上服從均勻分布, 隨機(jī)變量Y是X的函數(shù), 且0, 10, 00, 1XXXY則方差D(Y)= . 7. 設(shè)二維設(shè)二維r.v.(X, Y)在矩形在矩形G(x, y)|0 x 2, 0 y 1上服從均勻上服從均勻分布分布, 記記;2, 1,2, 0;, 1, 0YXYXVYXYXU若若若若若若若若試求試求(1)U和和V的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布; (2) U和和V的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù).概率

11、論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 8. 游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光, 電梯于每個(gè)整點(diǎn)電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第的第5分鐘分鐘,第第25分鐘分鐘, 第第55分鐘從底層起行分鐘從底層起行, 假設(shè)某游客在早假設(shè)某游客在早八點(diǎn)第八點(diǎn)第X分鐘到達(dá)底層侯梯處分鐘到達(dá)底層侯梯處, 且且X在在0, 60上均勻分布上均勻分布, 求該求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. 9. 設(shè)設(shè)X是是r.v., EX= , DX= 2, 則對(duì)任意常數(shù)則對(duì)任意常數(shù)C, 必有必有 (A) E(X C)2= EX2 C2 (B) E(X C)2= E(X )2 (C) E(X C)2 E(X )2 (

12、D) E(X C)2 E(X )2 10. 設(shè)二維設(shè)二維r.v.(X, Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布, 則則r.v. =X+Y與與 =X Y不相關(guān)的充分必要條件為不相關(guān)的充分必要條件為 (A) E(X)=E(Y) (B) E(X2) E(X)2=E(Y2) E(Y)2 (C) E(X2)=E(Y2) (D) E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析四、樣本與抽樣分布四、樣本與抽樣分布 （一）（一）內(nèi)容提要內(nèi)容提要：總體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布與統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)：總體與樣本、經(jīng)驗(yàn)分布與統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)中的三個(gè)重要分布、正態(tài)總體的抽樣分布理論中的三個(gè)重要分布、正態(tài)總體的抽樣

13、分布理論.（二）（二）相關(guān)問題相關(guān)問題 1. 設(shè)X1, , Xn是來自正態(tài)總體N(, 2)的一個(gè)樣本, 則212)(niiXX ; 212)(niiX . 2.設(shè)X1, , Xn是來自正態(tài)總體N(, 2)的一個(gè)樣本, 則niinXnZ1)(1服從 . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 3.設(shè)XN(1，12)，YN(2，22)，X1,Xn1；Y1,Yn2分別是兩總體相互獨(dú)立的樣本，則 的分布是 . YX 4. 設(shè)X1，X2，X3是來自正態(tài)總體N（0，1）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X = X12 + a(X2 2 X3)2 ，則當(dāng)a = 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量X服從2分布，自由度為 ； 5. 設(shè)XN(1，12)，YN(2，22

14、)，X1,Xn; Y1,Ym分別是兩相互獨(dú)立的樣本，則 . YX 6. 設(shè)設(shè)X1, X2, X3, X4是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體N(0, 22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, X=a(X1 2X2)2+b(3X3 4X4)2, 則當(dāng)則當(dāng)a = , b = 時(shí)時(shí), 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量服從量服從 2分布分布, 其自由度為其自由度為 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 1. 設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中為未知參數(shù)。求的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量，并說明的極大似然估計(jì)量是否為其無偏估計(jì)量，請(qǐng)給出理由。xexfx,231);(2)(181 2. 若P(X=k)=ke/k!, (k = 0, 1, 2, ), 則的極大似然

15、估計(jì)量= .五、參數(shù)估計(jì)五、參數(shù)估計(jì) （一）（一）內(nèi)容提要內(nèi)容提要：估計(jì)量與估計(jì)值、矩估計(jì)、極大似然估：估計(jì)量與估計(jì)值、矩估計(jì)、極大似然估計(jì)、估計(jì)量的評(píng)價(jià)、區(qū)間估計(jì)、正態(tài)分布均值與方差的置信區(qū)計(jì)、估計(jì)量的評(píng)價(jià)、區(qū)間估計(jì)、正態(tài)分布均值與方差的置信區(qū)間間.（二）（二）相關(guān)問題相關(guān)問題概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 3. 設(shè)總體設(shè)總體X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 f (x; ) xxex, 0,)(其中其中 為未知參數(shù)，為未知參數(shù)，X1，, Xn為來自總體為來自總體X的一個(gè)樣本。的一個(gè)樣本。 （1） 試求未知參數(shù)試求未知參數(shù) 的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量；的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量； （2） 討論未知參數(shù)討論

16、未知參數(shù) 的極大似然估計(jì)量的無偏性，并說明理的極大似然估計(jì)量的無偏性，并說明理由由. 4. 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為其中其中 1是未知參數(shù)是未知參數(shù), X1, , Xn是來自總體是來自總體X的一個(gè)容量為的一個(gè)容量為n 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求 的估計(jì)量的估計(jì)量. 其它其它, 010,)1()(xxxf 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析5. 設(shè)設(shè)X1， ，Xn，Xn+1是來自總體是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, ,11niiXnX則則,)(11122niiXXnS11nnSXXYn服從的分布是服從的分布是(

17、). A. N(0, 1) B. t (n) C. t (n+1) D. t (n 1) 6. 假設(shè)假設(shè)0.50, 1.25, 0.80, 2.00是來自總體是來自總體X簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 已知已知Y=lnX服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N( , 1). (1) 求求X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望EX(記記EX為為b); (2) 求求 的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間; (3) 利用上述結(jié)果求利用上述結(jié)果求b的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)樣卷分析 1.假設(shè)檢驗(yàn)中常見的兩類錯(cuò)誤是假設(shè)檢驗(yàn)中常見的兩類錯(cuò)誤是 和和 。 六、假設(shè)檢驗(yàn)六、假設(shè)檢驗(yàn) （一）（一）內(nèi)容提要內(nèi)容提要：假設(shè)檢驗(yàn)的概念、正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)：假設(shè)檢驗(yàn)的概念、正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn).（二）（二）相關(guān)問題相關(guān)問題 2.下面列出的是某工廠隨機(jī)選取的下面列出的是某工廠隨機(jī)選取的9只部件的裝配時(shí)間只部件的裝配時(shí)間(分分) :9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7, 9.9, 8.9, 10.9, 11.1設(shè)裝配時(shí)間總體服從正態(tài)分布。設(shè)裝配時(shí)間總體服從正態(tài)分布。 (1)試問裝配時(shí)間與試問裝配時(shí)間與10是否有顯著性的區(qū)別是否有顯著性的區(qū)別(給定顯著性水平給定顯著性水平0.05)？ (2)求出該總體均值的置信度為求出該總