線性代數(shù)練習(xí)冊附答案

1、姓名 班級 學(xué)號第1章 矩陣習(xí) 題1. 寫出下列從變量x, y到變量x1, y1的線性變換的系數(shù)矩陣：(1)； (2) 2.(通路矩陣)a省兩個(gè)城市a1,a2和b省三個(gè)城市b1,b2,b3的交通聯(lián)結(jié)情況如圖所示，每條線上的數(shù)字表示聯(lián)結(jié)這兩城市的不同通路總數(shù).試用矩陣形式表示圖中城市間的通路情況. 4 。b1a1。 3 1 。b2a2。 2 2 。b3 3. 設(shè)，求3AB-2A和ATB.4. 計(jì)算(1) (2) 5. 已知兩個(gè)線性變換 ,寫出它們的矩陣表示式,并求從到的線性變換.6. 設(shè)f (x)=a0xm+ a1xm-1+ am，A是n階方陣，定義f (A)=a0Am+ a1Am-1+ amE

2、.當(dāng)f (x)=x2-5x+3，時(shí)，求f (A).7. 舉出反例說明下列命題是錯(cuò)誤的.(1) 若A2= O，則A= O.(2) 若A2= A，則A= O或A= E.7. 設(shè)方陣A滿足A2-3A-2E=O，證明A及A-2E都可逆，并用A分別表示出它們的逆矩陣8.用初等行變換把下列矩陣化成行最簡形矩陣： (1)(2).9. 對下列初等變換，寫出相應(yīng)的初等方陣以及B和A之間的關(guān)系式.=B.10. 設(shè)，其中，求A9.11. 設(shè) ，矩陣B滿足AB=A+2B，求B.12. 設(shè), 利用初等行變換求A-1.復(fù)習(xí)題一1. 設(shè)A, B, C均為n階矩陣，且ABC=E,則必有（ ）.(A) ACB=E； (B) C

3、BA=E； (C) BAC=E； (D) BCA=E.2. 設(shè),，則必有 ( ) .(A) AP1P2=B； （B）AP2P1=B； (C) P1P2A=B； (D) P2P1A=B.3. 設(shè)A為階可逆矩陣，將A的第列與第列交換得B，再把B的第2列與第3列交換得C，設(shè) ，則C-1=（ ）. (A) A-1P1P2； (B) P1A-1P2； (C) P2P1A-1； (D) P2A-1P1.4. 設(shè)n階矩陣A滿足A2-3A+2E=O，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）.(A) A-E不可逆 ； (B) A-2E不可逆 ； (C) A-3E可逆； (D) A-E和A-2E都可逆.5. 設(shè)A=(1,2

4、,3)，B=(1,1/2,1/3)，令C=ATB，求Cn.6. 證明：如果Ak=O，則(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1，k為正整數(shù).7.設(shè)A,B為三階矩陣,且A-1BA=6A+BA，求B.8. 設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆，求.9. 設(shè) （），求X -1.第2章 行列式習(xí) 題1.利用三階行列式解下列三元線性方程組 2.當(dāng)x取何值時(shí)，.3.求下列排列的逆序數(shù)：(1) 315624； (2)13(2n-1)24(2n).4. 證明： .5. 已知四階行列式|A|中第2列元素依次為1,2,-1,3，它們的余子式的值依次為3,-4,-2,0 ,求|A|.6. 計(jì)算下列行列式:(1) (2) (

5、3) (4) （5），其中7設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明： |A*|=|A|n-1，(n 2) 8. 設(shè)A,B都是三階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，且|A|=2，|B|=1，計(jì)算 |-2A*B-1|9.設(shè)，利用公式求A-1.復(fù)習(xí)題二1設(shè)A, B都是n階可逆矩陣，其伴隨矩陣分別為A*、B*，證明：(AB)*= B*A*2.設(shè)，求A-13.已知A1, A2, B1, B2都是3´1矩陣，設(shè)A=( A1, A2, B1,)，B=( A1, A2, B2)，|A|=2，|B|=3，求|A+2B|4設(shè)A, B都是n階方陣，試證：第3章 向量空間習(xí) 題1. 設(shè)1=(1,-1,1)T, 2=(0

6、,1,2)T, 3=(2,1,3)T，計(jì)算31-22+32. 設(shè)1=(2,5,1,3)T, 2=(10,1,5,10)T, 3=(4,1,-1,1)T,且3(1- x)+2(2+x)=5(3+x) ,求向量x.3. 判別下列向量組的線性相關(guān)性: (1) 1=(-1,3,1)T, 2=(2,-6,-2)T, 3=(5,4,1)T ；(2) 1=(2,3,0)T, 2=(-1,4,0)T, 3=(0,0,2)T .4. 設(shè)1=1, 2=1+2, 3=1+2+a3，且向量組1, 2, 3線性無關(guān)，證明向量組1, 2, 3線性無關(guān)5. 設(shè)有兩個(gè)向量組1, 2, 3和 1=1-2+3, 2=1+2-3,

7、 3= -1+2+3，證明這兩個(gè)向量組等價(jià).6. 求向量組1=(1,2,-1)T, 2=(0,1,3)T, 3=(-2,-4,2)T, 4=(0,3,9)T的一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.7. 設(shè)1, 2, n是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量1,2,n能由它們線性表示，證明：1, 2,n線性無關(guān)8. 設(shè)有向量組1, 2, 3, 4, 5，其中1, 2, 3線性無關(guān)，4=a1+b2,5=c2+d3(a, b, c, d均為不為零的實(shí)數(shù))，求向量組1, 3, 4, 5的秩9. 設(shè)矩陣A= (1,2,n), B=(n,n-1,1)，求秩R(ATB).10. 設(shè)矩陣，求A的秩

8、，并寫出A的一個(gè)最高階非零子式.11. 已知矩陣，若A的秩R(A)=2，求參數(shù)t的值.12. 設(shè)，求A的列向量組的秩，并寫出它的一個(gè)極大無關(guān)組.13. 設(shè)A為n階矩陣，E為n階單位矩陣，證明：如果A2=A,則 R(A)+R(A-E)=n 14. 已知向量空間的兩組基為,和,，求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的過渡矩陣.復(fù)習(xí)題三1.設(shè)矩陣，已知A的秩為3，求k的值.2設(shè)向量組A: 1, ,s與B: 1,r，若A組線性無關(guān)且B組能由A組線性表示為(1,r)(1, ,s)K，其中K為矩陣, 試證：B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)r.3設(shè)有三個(gè)n維向量組A：1, 2, 3；B：1,

9、 2, 3, 4；C：1, 2, 3, 5若A組和C組都線性無關(guān)，而B組線性相關(guān)，證明向量組1, 2, 3, 4-5線性無關(guān)4設(shè)向量組A: 1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,3=(0,1,1)T 和B: 1=(-1,1,0)T,2=(1,1,1)T,3=(0,1,-1)T(1) 證明：A組和B組都是三維向量空間的基；(2) 求由A組基到B組基的過渡矩陣；(3) 已知向量在B組基下的坐標(biāo)為(1,2,-1)T,求在A組基下的坐標(biāo) 第4章 線性方程組習(xí) 題1. 寫出方程組的矩陣表示形式及向量表示形式. 2.用克朗姆法則解下列線性方程組,其中 3.問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？4. 設(shè)

10、有線性方程組，討論當(dāng)k為何值時(shí)， (1)有唯一解？(2)有無窮多解？(3)無解？5. 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.6.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知1, 2, 3是它的三個(gè)解向量，且1=(2,3,4,5)T, 2+3=(1,2,3,4)T，求此方程組的的通解7 .求下列非齊次線性方程組的通解： 8. 設(shè)有向量組A：，及向量，問向量能否由向量組A線性表示？9. 設(shè)*是非齊次線性方程組AX=b的一個(gè)解，1, 2, n-r是它的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明：（1）*, 1, 2, n-r線性無關(guān)；（2）*, *+1, *+2, *+n-r線性無關(guān)復(fù)習(xí)題四1.設(shè)，且方程組AX=的解空

11、間的維數(shù)為2，則a= .2設(shè)齊次線性方程組a1x1+a2x2+anxn=0,且a1,a2,an不全為零，則它的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為 .3.設(shè)有向量組：1=(a,2,10)T, 2=(-2,1,5)T, 3=(-1,1,4)T及向量=(1,b,-1)T，問a, b為何值時(shí),（1）向量不能由向量組線性表示；（2）向量能由向量組線性表示，且表示式唯一；（3）向量能由向量組線性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式4設(shè)四元齊次線性方程組（） （）求: (1) 方程組()與()的基礎(chǔ)解系；(2) 方程組()與()的公共解5設(shè)矩陣A=(1, 2, 3, 4)，其中2, 3, 4線性無關(guān)，1=22-3，向量

12、=1+2+3+4，求非齊次線性方程組Ax= 的通解6. 設(shè),證明三直線 相交于一點(diǎn)的充分必要條件是向量組線性無關(guān)，且向量組線性相關(guān)第5章 矩陣的特征值和特征向量習(xí) 題1.已知向量1=(1,-1,1)T，試求兩個(gè)向量2, 3，使1, 2, 3為R 3的一組正交基2.設(shè)A, B都是n階正交矩陣，證明AB也是正交矩陣3. 設(shè)A是n階正交矩陣，且|A|=-1，證明：-1是A的一個(gè)特征值4.求矩陣的特征值和特征向量.5. 已知三階矩陣A的特征值為1,2,3，計(jì)算行列式|A3-5A2+7E|6.設(shè)矩陣與相似，求；并求一個(gè)正交矩陣P，使P -1AP=7.將下列對稱矩陣相似對角化：（1） （2）8. 設(shè)是可逆

13、矩陣A的特征值，證明：(1)是A*的特征值(2)當(dāng)1,-2,3是3階矩陣A的特征值時(shí)，求A*的特征值9.設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值為1=6, 2=3=3，屬于特征值1=6的特征向量為p1=(1,1,1)T，求矩陣A復(fù)習(xí)題五1.設(shè)n階矩陣A的元素全為1，則A的n個(gè)特征值是 2.已知3階矩陣A, A-E, E+2A都不可逆，則行列式|A+E|= 3.設(shè)，已知A與B相似，則a, b滿足 4.設(shè)A為2階矩陣, 1, 2為線性無關(guān)的2維列向量，A1=0, A2=21+, 2，則A的非零特征值為 .5.已知矩陣可相似對角化，求6.設(shè)矩陣A滿足A2-3A+2E=O，證明A的特征值只能是1或27.已知p1=(

14、1,1,-1)T是對應(yīng)矩陣的特征值的一個(gè)特征向量(1) 求參數(shù)a, b及特征值； (2) 問A能否相似對角化？說明理由8. 設(shè)，求(A)=A10-5A9第6章 二次型習(xí) 題1.寫出下列二次型的矩陣表示形式： 2.寫出對稱矩陣所對應(yīng)的二次型3. 已知二次型的秩為，求的值4.求一個(gè)正交變換將化成標(biāo)準(zhǔn)形5.用配方法將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換6. 設(shè)二次型，若通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，求的值7. 判別下列二次型的正定性： （1） （2）8. 設(shè)為正定二次型，求的取值范圍復(fù)習(xí)題六1. 設(shè)A為矩陣，B=E+ATA，試證：>0時(shí)，矩陣B為正定矩陣2.設(shè),寫出以A, A-1為矩陣的二次型

15、，并將所得兩個(gè)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形3. 已知二次曲面方程，通過正交變換X=PY化為橢圓柱面方程，求的值 4. 設(shè)矩陣，其中為實(shí)數(shù)，求對角矩陣，使B與相似，并討論k為何值時(shí)，B為正定矩陣測試題一一、計(jì)算題： 1.計(jì)算行列式.2設(shè)，計(jì)算3設(shè)、都是四階正交矩陣，且，為的伴隨矩陣,計(jì)算行列式 4設(shè)三階矩陣與相似，且，計(jì)算行列式 5設(shè)，且的秩為2，求常數(shù)的值二、解答題： 6設(shè)，其中是各不相同的數(shù)，問4維非零向量能否由線性表示？說明理由7求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系8問取何值時(shí)，線性方程組(1)有唯一解；(2)有無窮多解；(3)無解9已知四階方陣（），其中線性無關(guān)，求方程組的通解10三階實(shí)對稱矩陣的特征值是

16、1,2,3.矩陣的屬于特征值1,2的特征向量分別是,求的屬于特征值3的所有特征向量,并求的一個(gè)相似變換矩陣和對角矩陣,使得.三、證明題:11設(shè)，且線性無關(guān)，證明：也線性無關(guān)12設(shè)為實(shí)對稱矩陣，且滿足，證明為正定矩陣測試題二一、填空題:、若規(guī)定自然數(shù)從小到大的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序，則排列134782695的逆序數(shù)為 ；、已知為三階正交矩陣，且，則= ；、設(shè)方陣=，若不可逆，則 ；、設(shè)，其中，則= ；、“若向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，則一定能由線性表示”該命題正確嗎？ 。二、計(jì)算下列各題:1、計(jì)算行列式 2、設(shè) ，且，求3、利用初等行變換求矩陣的秩，并寫出矩陣的列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組三、設(shè)非齊

17、次線性方程組（1）求它相應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（2）求原方程組的通解四、求一個(gè)可逆變換將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判別其正定性五、設(shè)，問為何值時(shí)，可由線性表示，且表示式不唯一？并說明不唯一的理由六、已知矩陣與相似，其中，計(jì)算行列式.七、證明題:、已知，是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明，也是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系、設(shè)、均為階方陣，為階單位矩陣，且，證明測試題三一、填空題:已知齊次線性方程組有非零解，則應(yīng)滿足的條件是 ；已知為三階矩陣，且=2，則= ；已知兩個(gè)線性變換 和，則從到的線性變換為 ；若二次型是正定的，則的取值范圍是 ；設(shè)為實(shí)對稱矩陣，為非零向量，且，則= .二、計(jì)算下列各題:1計(jì)

18、算行列式 2設(shè)，其中，計(jì)算三、解答題: 設(shè)向量組：，（1）求向量組的秩，并寫出它的一個(gè)極大無關(guān)組；（2）令，求方程組的通解四、解答或證明下列各題:1命題一：“若方陣滿足，則或” 命題二：“若方陣滿足，則或” 以上兩個(gè)命題是否正確？若正確給出證明，若不正確舉例說明之2設(shè)是四元非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對應(yīng)的齊次線性方程組的解空間的一組基，證明，線性無關(guān)五、解答題:設(shè)矩陣 （1）求矩陣的特征值；（2）令，求一個(gè)對角矩陣，使與相似；（3）求以為矩陣的二次型測試題四一、填空題：1.設(shè)A=(-1,0,1)，B=（1, 2, 3），則 (ATB)6= ；2.行列式 ；3.設(shè)四階方陣A、B滿足AB+2B+

19、E,且|A+2E|2，則|B| ；4.設(shè)A為n階方陣,且|A|=2,|3EA| =0, 則A的伴隨矩陣A*必有一個(gè)特征值是 ；5.設(shè)矩陣,已知齊次線性方程組AX=的解空間的維數(shù)為2,則x= .二、選擇題：1.下列集合中不能構(gòu)成向量空間的是( ).（A）(x1,xn)TxiR且x1+xn=1； （B）(x1,xn)TxiR且x1+xn=0； （C）(0,x2,xn)TxiR ； （D）=11+ss, iR,i為n維向量 .2設(shè), 則A=（ ）（A）Q-1BP-1； （B）P-1BQ-1； （C）QBP； （D）PBQ.3.n（n>3）維向量1, 2, 3線性無關(guān)的充分必要條件是（ ）(A)

20、 1, 2, 3中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)； (B) 1, 2, 3全是非零向量；(C) 對于任何一組不全為零的數(shù)k1, k2, k3，都有k11+k22+k33；(D) 1, 2, 3能由單位坐標(biāo)向量1, 2, 3線性表示4設(shè)n階方陣A、B滿足AB=,則下列命題中錯(cuò)誤的是( ).(A) 若|A|0，則B=O； (B) 若R(A)=r，則R(B)n-r； (C) |A|、|B|中至少有一個(gè)為零； (D) 若BO，則A=O 5設(shè)A是m×n矩陣，非齊次線性方程組AX=b的導(dǎo)出組為AX=.如果mn，則( ).(A) AX=b必有無窮多解；(B) AX=b必有唯一解；(C) AX=必有非零解；

21、(D) AX=必有唯一解三、設(shè)A為三階方陣，且|A|=3，計(jì)算行列式|(2A)-1A*|.四、設(shè),求矩陣A的秩，并分別寫出A的列向量組和行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組五、設(shè)矩陣，且AB=2AB，求矩陣B六、設(shè)向量組，已知方程組 x11+x22+x33=4 有無窮多解，求m, n的值，并求該方程組的通解七、設(shè),已知3是矩陣的一個(gè)特征值.(1) 求參數(shù)k的值；(2) 求A-1，并寫出以A-1為矩陣的二次型(3)計(jì)算行列式|B23E|，其中B與A相似.八、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值為1，1，-1已知屬于特征值1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 ，求矩陣A及A12 .九、 設(shè)方程組的系數(shù)行列式det(aij)=0

22、，而A110，證明 (A11,A12,A13)T 是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系其中Aij是元素aij的代數(shù)余子式 復(fù)習(xí)題與測試題參考答案或提示復(fù)習(xí)題一1. (D). 2. (C). 3. (C). 4. (C).5. . 6. 提示：.7. 8. .9. （）.復(fù)習(xí)題二1. 提示：利用A*=|A|A-12. . 3.72. 4. 提示：利用.復(fù)習(xí)題三1k= -3. 2.必要性利用定理3.12(2),充分性利用定理3.7及其證明方法.3.利用線性無關(guān)的定義及定理3.2.4(1)證明A組及B組線性無關(guān)；(2) ； (3) 在A組基下的坐標(biāo)為(0,1,2)T復(fù)習(xí)題四1a=1. 2n-13(1)a4且b0

23、時(shí),不能線性表示； (2)a4時(shí)，能唯一線性表示；(3)a4且b0時(shí)，表示式不唯一，且=k1- (2k-1)2+34(1)方程組()的一組基礎(chǔ)解系為1=(-1,1,0,0)T, 2=(0,0,1,0)T. 方程組()的一組基礎(chǔ)解系為1=(0,1,1,0)T, 2=(1,1,0,-1)T. (2)公共解x=k(-1,1,2,1)T, k為任意實(shí)數(shù)5利用方程組的向量表示式及解的結(jié)構(gòu)，可得通解為x=k(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1)T，k為任意實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)題五1. n,0,0 2. 1. 3. a=b=0 4. A的非零特征值為1. 5. x =36. 說明A的任意特征值的取值范圍.7. (1

24、)a-3，b0，-1； (2)A不能對角化，因?yàn)锳沒有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量8. 復(fù)習(xí)題六1. 提示：證明二次型xTBx正定2. ,其標(biāo)準(zhǔn)形為 ，其標(biāo)準(zhǔn)形為, 3. a=1, b=04. ，時(shí)，B為正定矩陣測試題一一、1. . 2. 3.-16. 4.-14. 5.a=2, b=1二、6.能由1, 2, 3, 4線性表示.7.8.當(dāng)k1且k-2時(shí)，有唯一解；當(dāng)k=1時(shí)，有無窮多解；當(dāng)k=-2時(shí)，無解. 9.是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系 是原方程組的特解,通解為10.屬于3的所有特征向量為k3=k(1,0,1)T，k0令，,則 P-1AP=.三、12.A2-A-2E=(A+E)(A-2E)=O，所以A的特

25、征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故為正定矩陣測試題二一、110. 2-1.3-4. 4. 5正確.二、1. Dn=n!. 2. C5=A(BTA)4B =104. 3. R(A)=3, 極大無關(guān)組為 (1,0,2,1)T, (1,2,0,1)T, (2,1,3,0)T. 三、 一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1,2,1,0)T, (-2,3,0,1)T , 通解為x=k1(1,2,1,0)T+k2(-2,3,0,1)T+(4,-1,0,0)T 四、, 矩陣為正定.五、當(dāng)a=1時(shí)，可由1, 2, 3線性表示，且表示式不唯一. 六、-235 . 測試題三一、1a=2或a=3. 28. 3. 4. 50 .二、1. (-1)