電磁場與電磁波第四版習(xí)題集均勻平面波在無界空間中的傳播

1、1第5章均勻平面波在無界空間中的傳播在上一章中，我們從麥克斯韋方程岀發(fā)，導(dǎo)岀了電場強度 E 和磁場強度 H 所滿足的波 動方程，本章我們將討論電磁波的傳播規(guī)律與特點。我們從最簡單的均勻平而波著手，所謂 均勻平而波是指電磁波的場矢量只沿著它的傳播方向變化，在與波傳播方向垂直的無限大平 而內(nèi)，電場強度 E 和磁場強度 H 的方向、振幅和相位都保持不變。例如沿直角坐標系的z方 向傳播的均勻平而波，在久和所構(gòu)成的橫平而上無變化，如圖5丄1所示。圖5.1.1均勻平面波均勻平而波是電磁波的一種理想情況，它的特性及討論方法簡單，但又能表征電磁波重 要的和主要的性質(zhì)。 雖然這種均勻平而波實際上并不存在， 但討

2、論這種均勻平面波是具有實 際意義的。因為在距離波源足夠遠的地方，呈球而的波陣而上的一小部分就可以近似看作一 個均勻平而波。本章首先討論在無界理想介質(zhì)中均勻平而波的傳播特點和各項參數(shù)的物理意義， 然后討 論有耗媒質(zhì)中均勻平面波的傳播特點，最后討論各向異性媒質(zhì)中均勻平而波的傳播特點。5. 1理想介質(zhì)中的均勻平面波5.1.1 理想介質(zhì)中的均勻平面波函數(shù)假設(shè)所討論的區(qū)域為無源區(qū)，即Q = 0、7=0,且充滿線性、各向同性的均勻理想介 質(zhì)，現(xiàn)在我們來討論均勻平而波在這種理想介質(zhì)中的傳播特點。首先考慮一種簡單的情況， 假設(shè)我們選用的直角坐標系中均勻平面波沿z方向傳播，則電場強度E和磁場強度H都不 是x和丁

3、的函數(shù)，即dEdE八&HdHndxdydxdy同時，由=0和=0,有dE,ndH,A=0,=0dz. dz再根據(jù)E：和的波動方程，可得到耳=0,H；=0這表明沿Z方向傳播的均勻平而波的電場強度E和磁場強度H都沒有沿傳播方向的分量，2即電場強度 E 和磁場強度 H 都與波的傳播方向垂直，這種波又稱為橫電磁波(TEM波)。 對于沿Z方向傳播的均勻平面波，電場強度 E 和磁場強度 H 的分量&、和比、H、.滿足標量亥姆霍茲方程 2 7+(5)dz2 r+k2E=O(5.1.2)j2TJ一+k2H=O(5.13)dz2x一+k2Hv=O(5.1.4)昉上述四個方程都是二階常微分方程，它

4、們具有相同的形式，因而它們的解的形式也相同。下 而只對方程(5.1.1)及其解進行討論。方程(5.1.1)的通解為Ex(z) =人不代 +A2ejkz(5.1.5)其中A? = E 細少， 札、0分別為人、 兒的幅角。 寫成瞬時表達式， 則為 仗(Z,f) = Rc& (z)f丿伽=ElinCOS(Q/- +0) +E2mcos(勁 +Rz + 0)(5.1.6)5.1.2 理想介質(zhì)中均勻平面波的傳播特點式(5.1.5)的第一項代表沿+z方向傳播的均勻平面波，第二項代表沿一z方向傳播的 均勻平而波。對于無界的均勻媒質(zhì)中只存在沿一個方向傳播的波，這里討論沿正z方向傳播 的均勻平而波，即瓦

5、=Em 嚴少(5.1.7)瞬時表達式為Ex(z,t) = Ewtcos(6?r-kz. + x)(5.1.8)可見，場分量既是時間的周期函數(shù)，又是空間坐標的周期函數(shù)。在2=常數(shù)的平而上，Egt)隨時間7作周期性變化。圖5.1.2給出了Eg) = Eg cosef的變化曲線，這里取0=0。血為時間相位，Q 則表示單位時間內(nèi)的相位變化，稱為角頻率，單位為rad/so由coT = 2得到場量隨時間變化的周期為圖5丄2 E (Oj) = wicosd*的曲線圖5丄3 E (z,0) = Eoiicoskz的曲線co3(5.1.9)它表征在給定的位置上，時間相位變化2龍的時間間隔。為電磁波的頻率。在任意

6、固泄時刻，巴（ZJ）隨空間坐標z作周期性變化，圖5.13給出了EgO） = EgCoskz的變化曲線。忽為空間相位，所以波的等相位而（波陣而）是z為常 數(shù)的平而故稱為平而波。k表示波傳播單位跑離的相位變化，稱為相位常數(shù)，單位為rad/m。 在任意固左時刻，空間相位差為2兀的兩個波陣而之間的距離稱為電磁波的波長，用幾表示, 單位為由1 = 2冗可得到k由于k = 5證=2 叮,又可得到(5.1.12)可見電磁波的波長不僅與頻率有關(guān)，還與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)。 由式（5.1.11）可得到A所以的大小也表示在2龍的空間距離內(nèi)所包含的波長數(shù)，所以又將k稱為波數(shù)。電磁波的等相位而在空間中的移動速度稱為相位速度，

7、或簡稱相速，以表示，單位為m/s。圖5丄4給出了瓦（和）=Eg cos（期-忽）在幾個不同時刻的圖形，對于波上任一固立觀察點（轡如波峰點P），其相位為恒左值，即cot-kz =常數(shù)，于是ed/ 血=0,由此得到均勻平面波的相速為 由于k = 3麗,所以又得到(5.1.13)dz _ edr7(5.1.14)圖5丄4幾個不同時刻Ex（z.t） =EgCos（a）f-kz,）的圖形(5.1.15)由此可見，在理想介質(zhì)中，均勻平而波的相速與頻率無關(guān)，但與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)。在自由空間 = = xlO9F/m .fl= /()=4x107H/m ,這時36龍v=v()()= f -= 3x(ni/sJ勺“u

8、其瞬時表示式為H = ev丄 ()cos(e/_kz + 0)其中(5.19)是電場的振幅與磁場的振幅之比，具有阻抗的量綱，故稱為波阻抗。由于的值與媒質(zhì)的參數(shù)有關(guān)，因此又稱為媒質(zhì)的本征阻抗(或特性阻抗)o在自由空間中 =%=存=120心377 (Q)由式(5.1.17)可知磁場與電場之間滿足關(guān)系H=-exE7、由此可見，電場E、磁場H與傳播方向務(wù)之間相互垂直，且遵循右手螺旋關(guān)系，如圖5丄5所示在理想介質(zhì)中，由于=所以有掃卻冷川可(5.1.23)這表明，在理想介質(zhì)中，均勻平而波的電場能量密度等于磁場能量密度。因此，電磁能呈:密 度可表表示為尸叫 + %=*|耳+#|可=肖=“冋(5.1.24)在

9、理想介質(zhì)中，瞬時坡印廷矢量為S=ExH=丄Ex(qxE)=丄(5.1.25)平均坡印廷矢量為(5丄16)為自由空間的光速。利用麥克斯韋方程,可得到電磁波的磁場表達式。由JE=j3pH、有-1VxE = e、丄 = e、丄 jco/.t jCDJLl dz copLF嚴心=e -E n.u?r(5.1.17)(5.1.18)(5.1.20)(5.1.21)(5.1.22)或者寫為E =H xe.SReExH卜魯Re0Gx0）M拌 |2由此可見均勻平而波電磁能呈沿波的傳播方向流動。綜合以上的討論，可將理想介質(zhì)中的均勻平而波的傳播特點歸納為：（1）電場E、磁場H與傳播方向e：之間相互垂直，是橫電磁波

10、（TEM波）：（2）電場與磁場的振幅不變：（3）波阻抗為實數(shù)，電場與磁場同相位；（4）電磁波的相速與頻率無關(guān)；（5）電場能量密度等于磁場能雖密度匚例5丄1頻率為lOOMz的均勻電磁波，在一無耗媒質(zhì)中沿+Z方向傳播,英電場E =0遲。已知該媒質(zhì)的相對介電常數(shù)名=4、相對磁導(dǎo)率/r=1 ,且當(dāng)/=0、z = l/8 m時，電場 幅值為lOV/m。（1）求E的瞬時表示式：（2）求H的瞬時表示式。解：（1）設(shè)E的瞬時表示為E（zJ）= exEx=ex10 cos（eot-kz + ）式中3 = 2龍/ =2x 10srad/sk-CD-_3x1083 兀rad/m對于余弦函數(shù)，有當(dāng)相角為零時達振幅值。

11、因此，考慮條件/ =0、z = l/8時電場達到幅值,.4 托 1 兀（P = KZ. =X =386所以4/T7T= ex104cos(2xl08/-Z + -)36=ex0 cos2/r x 10 / 二(z-)V/m38（2） H的瞬時表示式為(IV(5.1.26)X圖5丄5理想介質(zhì)中均勻平面波的E和H8i o-44i= S-cos2 x 1 Ohr - - -) A/m60/r38例5丄2頻率為9.4GHz的均勻平而波在聚乙烯中傳播，設(shè)其為無耗材料，相對介電常 數(shù)為巧=2.26若磁場的振幅為7/7?A/m ,求相速、波長、波阻抗和電場強度的幅值。解：由題意r= 2.26 .兒=、/=9

12、.4xl09Hz因此=A=L996XI()S nvs1.996 xl08宀，-=2.12 m9.4 xlO9377_xi c/- 251 QyjrA/2.26Em= H 初=7x 103x251 =1.757 V/m例5.1.3自由空間中平而波的電場強度E =s50cos(勁-忽)V/m,求在Z = Z0處垂 直穿過半徑R= 2.5 m的圓平而的平均功率。解：電場強度E的復(fù)數(shù)表示式為E=e50ejkz自由空間的本征阻抗為 故得到該平面波的磁場強度H=ev = ey-e-A/m12/r于是，平均坡印廷矢量必弓Re(E x /T) =50 x總勺總W/m2垂直穿過半徑7? = 2.5m的圓平面的平

13、均功率P =f 5ved5 = X/?2= XX(2.5)2= 65.1 W“ h 12兀12龍丿5.1.4 沿任意方向傳播的均勻平面波我們知道均勻平而波的傳播方向與等相位而垂直，在等相位面內(nèi)任一點的電磁場的大小 和方向都是相同的，這些都與坐標系的選擇無關(guān)。前而討論了沿坐標軸方向傳播的均勻平而波，這里討論均勻平面波沿任意方向傳播的一般情況。式中=因此f9圖5.1.6沿任總方向傳播的均勻平面波圖5.1.6所示為沿任意方向傳播的均勻平面波， 傳皤方向的單位矢量為。 泄義一個波 矢量*，其大小為相位常數(shù)、方向為即k = enk = exkx+evky+ezkz(5.1.27)式中忍、匕、他為斤的三個

14、分量。沿e：方向傳播的均勻平面波是一種特殊情況，英波矢量為k =e.k乙設(shè)空間任意點的矢徑為/=err + e+e：z,則kz = ke：.r,因此可將沿冬方向傳播的均勻 平面波表示為E(z) = E)e-jkrH(z) =e,xE(z)式中Eo是一個常矢疑，其等相位而為冬廠=Z=常數(shù)的平而。對于沿 5 方向傳播的均勻平而波，等相位而是垂直于匕的平面，其方程為enr=常數(shù)對照沿 e：方向傳播的情況可知， 沿任意方向 e”傳播的均勻平而波的電場矢量可表示為 E(r) =E 府恥= E()ejk,r(5.1.28)而且由V.E=O,可以得到e”=0,這表明電場矢量的方向垂直于傳播方向。與式(5.1

15、.28)相應(yīng)的磁場矢量可表示為H(r) =-enxE(r)=xE(ekr(5.1.29)例 5.1.4 頻率/=500 &HZ的均勻平面波，在“=從、 =禍、b =0 的無損耗媒質(zhì) 中傳播。已知()=ex2-ey+e.kV/m、Ho=ex6+ey9-ez3A/m。求：(1)傳播方向e”:(2)和幾。Eox1解：“廣麗=荷2+孕)105.2電磁波的極化5.2.1 極化的概念前面在討論沿z方向傳播的均勻平而波時，假設(shè)E=exEntcos(tyr-fc + )0在任何時 刻，此波的電場強度矢雖 E 的方向始終都保持在方向。 一般情況下， 沿z方向傳播的均勻 平面波的E*和、分量都存在，可表示

16、為Ex= Ewtcos(曲一炫 +0)(5.2.1)E、. = Egcos(期一 +0、.)(5.2.2)合成波電場E=exEx+evEyo由于耳和乞分量的振幅和相位不一泄相同，因此，在空間 任意給左點上，合成波電場強度矢量 E 的大小和方向都可能會隨時間變化，這種現(xiàn)象稱為電 磁波的極化。電磁波的極化是電磁理論中的一個重要概念， 它表征在空間給左點上電場強度矢量的取 向隨時間變化的特性，并用電場強度矢量的端點隨時間變化的軌跡來描述。若該軌跡是直線, 則波稱為直線極化：若軌跡是圓，則稱為圓極化：若軌跡是橢圓，則稱為橢圓極化。前一節(jié) 討論的均勻平面波就是沿x方向極化的線極化波。合成波的極化形式取決

17、于E和分屋的振幅之間和相位之間的關(guān)系。為簡單起見，下 而取Z=0的給定點來討論，這時式(5.2.1)和式(5.2.2)寫成為Ex= Exmcos(曲 + )(5.2.3)E、= Evmcos(tyr +札)(5.2.4)5.2.2 直線極化若電場的x分疑和分量的相位相同或相差兀，即0-0= 0或土；r時，則合成波為直 線極化波。當(dāng)札-嘰=0時，可得到合成波電場強度的大小為E = yjEj+Ej cos(cot + )( 525)合成波電場與x軸的夾角為E、Evma= arctan() = arctan() = const(5.2.6)Ex由此可見，合成波電場的大小雖然隨時間變化，但其矢端軌跡與

18、X軸夾角始終保持不變，如 圖521所示，因此為直線極化波。對0-札=5的情況，可類似討論。(2)由11從以上討論可以得出結(jié)論：任何兩個同頻率、同傳播方向且極化方向互相垂直的線極化 12波，當(dāng)它們的相位相同或相差為兀時，其合成波為線極化 波。在工程上，常將垂直于大地的直線極化波稱為垂直極化 波，而將與大地平行的直線極化波稱為水平極化波。例如, 中波廣播天線架設(shè)與地面垂直，發(fā)射垂直極化波。收聽者要 得到最佳的收聽效果，就應(yīng)將收音機的天線調(diào)整到與電場E平行的位苣，即與大地垂直：電視發(fā)射天線與大地平行, 發(fā)射平行極化波,這時電視接收天線應(yīng)調(diào)整到與大地平行的 位置，我們所見到的電視共用天線都是按照這個原

19、理架設(shè) 的。523 圓極化波若電場的X分量和y分量的振幅相等、但相位差為即Exm= Exm= Em,2(!x-(px=時，則合成波為圓極化波。2當(dāng)札-叭=2時，即必=彳+0，由式23)和式(524)可得E* =cos(曲+ )故合成波電場強度的大小_E = Em= const合成波電場與兀軸的夾角為a= arctcm(二)=-(cot+ 0)由此可見，合成波電場的大小不隨時間改變，但方向卻隨時變化，其端點軌跡在一個圓上并 以角速度。旋轉(zhuǎn)，如圖5.2.2所示，故為圓極化波。由式(5.2.8)可知，當(dāng)時間/的值逐漸增加時，電場E的端點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。若以左 手大拇指朝向波的傳播方向(這里為Z方向

20、)，則英余四指的轉(zhuǎn)向與電場E的端點運動方向 一致，故將圖5.2.2所示的圓極化波稱為左旋圓極化波。(5.2.7)(5.2.8)圖5.2.1直線極化圖5.2.2左旋圓極化波圖523右旋惻極化波對于e、f=_2的情況，可類似討論。此時，合成波電場與X軸的夾角為E、a= arctan()= cot + 叭Ex由此可見，當(dāng)時間f的值逐漸增加時，電場E的端點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖5.2.3所示。若 以右手大拇指朝向波的傳播方向（這里為2方向），則其余四指的轉(zhuǎn)向與電場E的端點運動 方向一致，故將圖523所示的圓極化波稱為右旋圓極化波。從以上討論可以得出結(jié)論：任何兩個同頻率、同傳播方向且極化方向互相垂直的線

21、極化 波，當(dāng)它們的振幅相等且相位差為穴/2時，其合成波為圓極化波。在很多情況下，系統(tǒng)須利用圓極化波才能進行正常工作，例如火箭等飛行器在飛行過程 中其狀態(tài)和位置在不斷地改變，因此火箭上的天線方位也在不斷地改變，此時如用線極化的 信號來遙控，在某些情況下則會出現(xiàn)火箭上的天線收不到地而控制信號，而造成失控。在衛(wèi) 星通信系統(tǒng)中，衛(wèi)星上的天線和地而站的天線均采用了圓極化天線。電子對抗系統(tǒng)中，大多 也采用圓極化天線進行工作。5.2.4 橢圓極化最一般的情況是電場的兩個分量的振幅和相位都不相等，這樣就構(gòu)成橢圓極化波。為簡單起見，在式（5.2.3）和式（5.2.4）中，取有Ex = EgCOScotEv= v

22、mcos(yr + )這是一個橢圓方程，故合成波電場E的端點在一個橢圓上族轉(zhuǎn)，如圖524所示。當(dāng)00龍 時，它沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，為左旋橢圓極化：當(dāng)-龍0t-kz)+eYEmsin(曲一忽+ )4（1）由于 耳（乙）=；”sin（曲一也一扌） = ,“cos（期一一彳一壬）=Emcos（勁-k 乙一:）4所以龍3 兀=二_(一丁)=” 這是一個線極化波，合成波電場與兀軸的夾角為E、7ta= arctan() = arctan(-l)=-E“4(2)由于Ev(zJ) =RejEinejkzej(a = E, cos(cot+kz, + -)2血(乙/) =Re-EfftejkzejM =Emcos

23、(6X+仗 + 兀)所以=兀_牙=廳此波的傳播方向為一z軸方向，與圖5.2.2所示的圓極化波的傳播方向相反，故應(yīng)為右旋圓極 化波(3)由于Ey(zJ) = Emsin(Dt-kz + ) = Emcos(a)t-kz-)44所以一扌此波沿+Z軸方向傳播，故應(yīng)為右旋橢圓極化波。例522已知一線極化波的電場E之上/卞卞，試將其分解為兩個振幅 相等、旋向相反的圓極化波。解：設(shè)兩個振輻相等、旋向相反的圓極化波分別為d+尼）竝0加，耳=（e廠尼）佼0加(1)(2)(3)解:-16其中和加為待定常數(shù)。令E+ E?= E(z)(ex+ jey)Elmejkz+(ex- jey)E2me,lc=exEmejk

24、z+eyEmejk:由此可解得殆專(1-力=務(wù)嚴E顯然有EUt=Eln = -o故兩個振幅相等、 旋向相反的圓極化波分別為d(z)=(乞+je、 )備嚴它膽,Eg=(e廠 jej 影叫供5.3均勻平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播在導(dǎo)電媒質(zhì)中，由于電導(dǎo)率 bHO,當(dāng)電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時，英中必然有傳導(dǎo)電 流J=bE,這將導(dǎo)致電磁能量損耗。因而，均勻平而波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性與無損耗 介質(zhì)的情況不同。53.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波在均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)中，由VxH=J + jcosE = jco(s一j )E = jcoscECD可得到xH) = O(5.3.1)J3J因此可見，在均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)中，雖然

25、傳導(dǎo)電流密度JHO,但不存在自由電荷密度，即P = 0o在444中已指出，在均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)中，電場 E 和磁場 H 滿足的亥姆霍茲方程為(V2+ k)E=O(L+Q)H=O(5.3.2)(5.3.3)式中匕=(5.3.4)為導(dǎo)電媒質(zhì)中的波數(shù)，為一復(fù)數(shù)。在討論導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的傳播時，通常將式(5.3.2)和(533)寫為(V2-/2)E=O(V2-/2)/=O(5.3.5)(5.3.6)式中y = jkc = j4(5.3.7)稱為傳播常數(shù)，仍為一復(fù)數(shù)。這里仍然假左電磁波沿+z軸方向傳播的均勻平而波，且電場只有分量，則方程式(5.3.5)的解為17E=exEx=exExmeyz(5.3.8)由

26、于卩是復(fù)數(shù)，令Y = a + j/3,代入上式得(539)式中笫一個因子不金，表示電場的振幅隨傳播距離Z的增加而呈指數(shù)衰減，因而稱為衰減因 子。&則稱為衰減常數(shù)，表示電磁波每傳播一個單位距離，其振幅的衰減量，單位為Np/m(捺培/米)：第二個因子廠仗是相位因子，0稱為相位常數(shù)，其單位為rad/m(弧度咪)。與式(5.3.9)對應(yīng)的瞬時值形式為E(z,/) = ReE(z)? =RcexExtne-aze-jfi:eja= exExmea：cos(tyr-/?z)由方程JE=j3pH,可得到導(dǎo)電媒質(zhì)中的磁場強度為式中由此可知，在導(dǎo)電媒質(zhì)中，磁場與電場的相位不相同。將.= Jb/e代入式(

27、53.12),可得到=UJLZ=(芻厲1+(三尸心決懐J63COS血=(蘭嚴1 + (2)2“CO0 = -arctan()2cos由式(5.3.11)可得岀，磁場強度復(fù)矢量與電場強度復(fù)矢量之間滿足關(guān)系(5310)(5311)(5312)(5.3.13)為導(dǎo)電媒質(zhì)的本征阻抗。Z為一復(fù)數(shù)，常將其表示為a=|z|(5314)Y圖531導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場和磁場-18H =e,xE（5.3.15）Z這表明，在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電場E、磁場H與傳播方向e：之間仍然相互垂直，并遵循右手螺 旋關(guān)系，如圖5.3.1所示。由y = a + j/3和式（5.3.7）,可得到y(tǒng)2= a2- J32+ jlap = -co1

28、/.ise= -ar+ jcoa由此可解得CD由于0與電磁波的頻率不是線性關(guān)系，因此在導(dǎo)電媒質(zhì)中.電磁波的相速v=-是頻率的函P數(shù)，即在同一種導(dǎo)電媒質(zhì)中，不同頻率的電磁波的相速是不同的，這種現(xiàn)象稱為色散，相應(yīng) 的媒質(zhì)稱為色散媒質(zhì)，故導(dǎo)電媒質(zhì)是色散媒質(zhì)。由式（5.3.9）和（5.3.11）,可得到導(dǎo)電媒質(zhì)中的平均電場能量密度和平均磁場能量密 度分別為%.=護導(dǎo)了=尹嚴（5.3.17）% =拯“雖0=彳許嚴=器嚴1+（三）2嚴（5.3.18）由此可見， 在導(dǎo)電媒質(zhì)中， 平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。 只有當(dāng)b =0時， 才 有 = % O在導(dǎo)電媒質(zhì)中，平均坡印廷矢量為I廠-1 I= -Re

29、|FxZZ4| = -Re 2(5319)綜合以上的討論， 可將導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平而波的傳播特點歸納為：（1）電場E、磁場H與傳播方向e：之間相互垂直，仍然是橫電磁波（TEM波）；（2）電場與磁場的振幅呈指數(shù)衰減；（3）波阻抗為復(fù)數(shù)，電場與磁場不同相位；（4）電磁波的相速與頻率有關(guān)；（5）平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。5.3.2 弱導(dǎo)電媒質(zhì)中的均勻平面波弱導(dǎo)電媒質(zhì)是指滿足條件21下，傳播常數(shù)了可近似為可近似為CDS良導(dǎo)體的本征阻抗為呼浮=2）呼=辟嚴這表明，在良導(dǎo)體中，磁場的相位滯后于電場45 =在良導(dǎo)體中，電磁波的相速為由式（5.3.23）可知，在良導(dǎo)體中，電磁波的衰減常數(shù)隨波的頻率

30、、媒質(zhì)的磁導(dǎo)率和電導(dǎo) 率的增加而增大。因此，高頻電磁波在良導(dǎo)體中的衰減常數(shù)非常大。例如，頻率/=3MHz時，電磁波在銅（b = 5 8xl0?S/m、兒=1）中的此式說明，良導(dǎo)體的表而電場等于表面電流密度乘以表面阻抗。因此良導(dǎo)體中每單位表面 的平均損耗功率可按下式計算心卩（ W/m2）（5.3.32）在實際計算時，通常是先假泄導(dǎo)體的電導(dǎo)率為無窮大，求岀導(dǎo)體表而的切向磁場，然后由Js=nxH求出導(dǎo)體的表面電流密度丿s。因此，代替式（5332）,可用&嚴訥訳（5.3.33）來訃算良導(dǎo)體中每單位表而的平均損耗功率。例5.3.1一沿x方向極化的線極化波在海水中傳播，取+Z軸方向為傳播方向。已知

31、海 水的媒質(zhì)參數(shù)為6=81、耳=1、b = 4S/m,在乙=0處的電場v=100cos（107）V/mo求：（1）衰減常數(shù)、相位常數(shù)、本征阻抗、相速、波長及趨膚深度：（2）電場強度幅值減小為2 = 0處的1/1000時，波傳播的距離：（3）乙=0.8m處的電場E和磁場H的瞬時表達式：（4）乙=0.8m處穿過1 m?面積的平均功率。解：（1）根據(jù)題意，有co= 107Trad/s,f = = 5x1 O Hz2/r所以b4=- -=18013&107x（-X109）X8036/r此時海水可視為良導(dǎo)體。故衰減常數(shù)為相位常數(shù)a = “fg=VX5X106X4X107X4=8.89NP/mP=

32、 cr = 8.89 rad/m本征阻抗cop4(10rx4x10 44 c幾-qbq4“-牝4Q相速卩一69-3.53x106 m/sP8.89波長幾_2兀_2兀_0 70?p8.89趨膚深度6 = = = 0.112 ma8.89（2）令= 1/1000 ,即0=1000,由此得到電場強度幅值減小為乙=0處的1/1000時，波傳播的距離2212 302z = -In 1000 = 一= 0.777 ma8.89(3)根據(jù)題意，電場的瞬時表達式為E(z,/) = cvlOOe-8 89COS(107/-8.89Z) V/m故在z = 0.8m處，電場的瞬時表達式為E(0 8, r) = ev

33、10089x08cos(107兀 t-8.89 x 0.8)=ex0.082COS(107/-7.11)V/m磁場的瞬時表達式為PQV= 0.75 mW由以上的計算結(jié)果可知，電磁波在海水中傳播時衰減很快，尤其在髙頻時，衰減更為嚴 重，這給潛艇之間的通信帶來了很大的困難。若為保持低衰減，工作頻率必須很低，但即使 在1kHz的低頻下，衰減仍然很明顯。圖5.3.2是頻率從10Hz到10kHz范囤內(nèi)，海水中趨膚 深度的變化曲線。例5.3.2在進行電磁測量時，為了防止室內(nèi)的電子設(shè)備受外界電磁場的干擾.可采用金 屬銅板構(gòu)造屏蔽室， 通常取銅板厚度大于55就能滿足要求。 若要求屏蔽的電磁干擾頻率范 圍從10

34、kHz到100MHz,試計算至少需要多厚的銅板才能達到要求。銅的參數(shù)為“= “）、 =尙、cr =5.8xl07S/moQ0嚴皿=ey0.026cos(10加1.61)A/m(4)在z = 0.8m處的平均坡印廷矢量Sav=e:-Elne-2azcos=e性嚴“心冬=e一0.752|幾|zX4z穿過1 nF的平均功率為H(0 &t) = ecos(l07rt 8.89x0.8)mW/m223解：對于頻率范圍的低端九=10kHz,有243 迄2xl04xi-xlO936”對于頻率范圍的髙端/=100MHz,有丄=竺學(xué)一= 1.04x10*1 %2X108XxlO936兀由此可見，在要求的

35、頻率范圍內(nèi)均可將銅視為良導(dǎo)體，故的電磁波，其恒左相位點為期_0z =常數(shù)相速應(yīng)為(5.4.1)這里用下標P表示為相速。相速可以與頻率有關(guān)，也可以與頻率無關(guān)，取決于相位常數(shù)0。 在理想介質(zhì)中，0 = 0亦與角頻率0成線性關(guān)系，于是v = l/J亦是一個與頻率無關(guān)的 常數(shù)，因此理想介質(zhì)是非色散的。然而，在色散媒質(zhì)（例如導(dǎo)電媒質(zhì)）中，相位常數(shù)0不再 與角頻率 Q 成線性關(guān)系，電磁波的相速隨頻率改變，產(chǎn)生色散現(xiàn)象。一個信號總是由許許多多頻率成分組成，因此，用相速無法描述一個信號在色散媒質(zhì)中 的傳播速度，所以在這里引入“群速”的概念。我們知道，穩(wěn)態(tài)的單一頻率的正弦行波是不 能攜帶任何信息的。信號之所以能

36、傳遞，是由于對波調(diào)制的結(jié)果，調(diào)制波傳播的速度才是信 號傳遞的速度。下而討論窄帶信號在色散媒質(zhì)中傳播的情況。設(shè)有兩個振幅均為E的行波，角頻率分別為0+少和。一4血（qvvq）,在色 散媒質(zhì)中相應(yīng)的相位常數(shù)分別為0+厶0和0-A0,這兩個行波可用下列兩式表示合成波為E = E+E2= 2Emcos(期 一旳由此可見，合成波的振幅是受調(diào)制的，稱為包絡(luò)波，如圖5.4.1中的虛線所示。5.8 xlO7= 1.04X10,416“ = /: = t“. = = 6.6/m“/；QJKx 10 x 4龍x 10 x 5.8 x 105- 4 色散與群速我們知道，相速的立義是電磁波的恒立相位點的推進速度。對于

37、電場為25群速的泄義是包絡(luò)波上任一恒左相位點的推進速度。由効-Mz =常數(shù)，可得群速為(5.4.2)由于coco上式變?yōu)?5.4.3)利用式（5.4.1）,可得到群速與相速之間的關(guān)系由此可得由式（5.4.4）可知，群速與相速一般是不相等的，存在以下三種可能情況：dv（1） = 0,即相速與頻率無關(guān)，此時V, = vp,即群速等于相速，稱為無色散：de（2）學(xué)0,即相速隨著頻率升髙而減小，此時冬0,即群速小于相速。這種情QCO況稱為正常色散；dp（3）0,即相速隨著頻率升髙而增加，此時v, vpt即群速大于相速這種情dd?況稱為反常色散。*5.5 均勻平面波在各向異性媒質(zhì)中的傳播以上我們討論了在

38、各向同性媒質(zhì)中電磁波的傳播規(guī)律， 在本節(jié)中我們將討論電磁波在各 向異性媒質(zhì)中的傳播規(guī)律。等離子體和鐵氧體在恒泄磁場的作用下都具有務(wù)向異性的特征， 在實際應(yīng)用中具有重要意義。dede _ d(”p0)d/7(5.4.4)dz A 69codvp1 -vp（a）265.5.1 均勻平面波在磁化等離子體中的傳播等離子體是電離了的氣體，它由大量帶負電的電子、帶正電的離子以及中性粒子組成。等離子體的基本特征之一是帶負電的電子與帶正電的離子具有相等的電量，因而等離子體在 宏觀上仍是電中性的。等離子體在自然界廣泛存在，例如太陽的紫外線輻射使髙空大氣發(fā)生 電離所形成的電離層就是等離子體。英它如流星遺跡、火箭噴

39、出的廢氣以及髙速飛行器穿越 大氣層時在周囤形成的高溫區(qū)域等都是等離子體的例子。分析等離子體中電磁波傳播的方法是把等禽子體等效看成介質(zhì)。 當(dāng)電磁波在等離子體中 傳播時，等離子體中的電子和離子在電磁場的作用下運動形成電流，這種由帶電粒子運動形 成電流稱為運流電流，這一運流電流決泄等禽子體的等效介電常數(shù)。如果有一個較強的外加 恒泄磁場作用于等離子體，使其磁化，這時等離子體的等效介電常數(shù)是一個張量。下而先利 用等離子體中的電子運動方程確定其等效的張量介電常數(shù)，然后再分析電磁波在等離子體中 的傳播特性。1.磁化等離子體的張量介電常數(shù)由于離子的質(zhì)量一般比電子大得多，較難在高頻電磁場的作用下推動，故運流電流

40、主要 是由電子運動形成的。為了簡化分析，只考慮電子的運動，并忽略電子與離子、中性粒子間 的相互碰撞引起的熱損耗。設(shè)外加恒定磁場為。根據(jù)牛頓第二泄律和洛侖茲力公式，在電磁波的電場 E、 磁場 B 和外加恒定磁場3）的作用下，電子的運動方程為m = -eE+ v x (B + B()式中2 = 9O6xlO31kg為一個電子的質(zhì)量，0 = 1.602x10 C為一個電子的電荷崑v為 電子運動的平均速度。一般evxB很小，可以忽略不計，因此式（551）可簡化為in =-eE + vxBdr對于正弦電磁場，式（5.5.2）可展開為(5.5.3)(5.5.4)(5.5.5)(5.5.6)稱為電子的回旋角

41、頻率。由式（5.5.3）（5.5.5）可解得0-兀遲+瓦(5.5.1)(5.5.2)(5.5.7)(5.5.8)jay=Ev+a)cvx27由式(5.5.7)和(5.5.8)可以看出，當(dāng)3 f 叭時，匕和比均趨向無限大，這是由于忽略了 電子與離子、中性粒子間的相互碰撞引起的熱損耗的原故。若等離子體每單位體積內(nèi)電子數(shù)目為N,則每秒鐘通過每單位面積的平均電子數(shù)為N形成的運流電流密度為J = ev(5.5因此麥克斯韋第一方程的復(fù)數(shù)形式可寫為_Vx/=JV+ jcosE = -Nev + jcosE = j(DE(5.5.12)這里E是表示等離子體的等效介電常數(shù)的張疑。將式(5.5.1O)代入式(5.

42、5.12),可得到也*21 *220 000(5.5.13)其中=S22竊1 +-5J(5.54)3 夙(5.5.15)012S0心)此處$33二竊卩一護(5.56)1 Ne2(5.5.17)l稱為等離子體頻率?？梢钥闯?， 當(dāng)不存在外加磁場， 即禺=0時，Q=0,則習(xí)2=021=0，且11=22=3 0即式(5.5.13)中對角線上的各元素相等，對角線以外的元素均為零。此 時，等離子體的等效介電常數(shù)為一標量，等離子體呈各向同性特性。所以，外加恒左磁場 是使等離子體呈各向異性的原因。2.磁化等離子體中的均勻平面波由麥克斯韋方程寫成矩陣形式e 一何e0m襯 一co1m襯 一co1e 一叫e-je0

43、m e；一co1m0;一Ci)200-ejcom(5.5.9)jcomE、(5.50)E.28VxT/ =jcosEVxE =-jcojn)H消去磁場H,可得到關(guān)于電場E的波動方程V2E - V(VE) + fy2/or/zA)(i-7i2)= JZA)(1 +C-C )(5.5.23)對應(yīng)于卩=卩,由式(5.5.20)可得到為=jEg即這是一個沿+z軸方向傳播的左旋圓極化波。 對應(yīng)于0 = 02，由式(5.5.20)可得到即盡=(5-局応嚴這是一個沿+Z軸方向傳播的右旋圓極化波。(5.5.18)(5.5.24)(5.5.25)29由上述討論可知當(dāng)電磁波沿外加磁場方向通過等離子體時，將出現(xiàn)兩個

44、圓極化波， 一個為左旋圓極化波，一個為右旋圓極化波。從式(5.5.22)和(5.5.23)看岀，兩個圓極 化波的相速不一樣。一個直線極化波可以分解為兩個振幅相等、旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波。在各向同性媒 質(zhì)中，這兩個圓極化波的相速相同。因而，在傳播過程中，合成波的極化而始終保持不變。 但在磁化等離子體中，由于兩個圓極化波的相速不相等，在傳播一段距離后，合成波的極 化而已不在原來的方向，即電磁波的極化而任磁化等離子體內(nèi)以前進方向為軸而不斷旋轉(zhuǎn), 這種現(xiàn)象稱為法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，如圖551所示。圖5.4.1法拉第旋轉(zhuǎn)當(dāng)外加恒泄磁場B=0時，q=0,兩個圓極化波的相速相等，合成波為直線極化波,沒有法拉第旋轉(zhuǎn)

45、效應(yīng)此時幷=02 = ej聲屆式中稱為等離子體的等效相對介電常數(shù)。若以= 1.602x 1019Cm= 9.106x 1031kg . 0= -xlO9F/m .a)= 2nf代36兀入式(5.5.26),可得%=1一81分(5.5.27)5.5.2 均勻平面波在磁化鐵氧體中的傳播鐵氧體是一種類似于陶瓷的材料，質(zhì)地硬而脆，具有很髙的電阻率。它的相對介電常數(shù) 在5至25之間，而相對磁導(dǎo)率可高達數(shù)千。在鐵氧體中，原子核周囤的電子有公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)運動，這兩種運動都要產(chǎn)生磁矩。公轉(zhuǎn)磁 矩因電子各循不同方向旋轉(zhuǎn)而相互抵消。自轉(zhuǎn)磁矩對于一般物質(zhì)也是相互抵消的，但對于鐵(5.5.26)Xdrnicos(5.5.

46、32)30氧體物質(zhì)并不如此，而是在許多極小區(qū)域內(nèi)相互平行.自發(fā)磁化形成磁疇。在沒有外磁場作 用時，這些磁疇的磁矩相互抵消，因而鐵氧體也不顯現(xiàn)磁性。但當(dāng)鐵氧體宜于外磁場中時， 每一磁疇的方向都會轉(zhuǎn)動，而與外磁場方向接近平行，產(chǎn)生強大的磁性匚L磁化鐵氧體的張量磁導(dǎo)率為了簡單起見，首先研究一個電子在自轉(zhuǎn)運動中所受到的影響。電子自轉(zhuǎn)時相當(dāng)于有電 流沿與自轉(zhuǎn)相反的方向流動，因而產(chǎn)生磁矩P,”。設(shè)電子轉(zhuǎn)動的角動量為T,則有P=-T=-7Tm式中加為電子的質(zhì)量，e為電子的電荷量的絕對值，/=-稱為荷值比。in當(dāng)電子置于恒泄外磁場竝中，而Pm與血不在 同一方向時，外磁場對電子所施的力矩將使電子帀 繞B。方向以

47、一左的角速度。，作進動，如圖5.5.2所 示。已知外磁場產(chǎn)生的力矩為L = Pmx 血另一方而，力矩應(yīng)等于角動量的時變率，即d/于是得到dT “at設(shè)Pm與的夾角為且在極短的時間/內(nèi)角動量的改變?yōu)锳T。因為進動角為0./,則AT=Tsin& 0 /角動量的時變率為 = coTsnOdr i由式(5.5.29)和(5.530),得到將式(5.5.28)代入上式，可得(5.5.31)又稱為拉摩進動頻率。如果沒有損耗，這一進動將永遠進行下去。由于實際上有能雖損耗，進動很快停頓，電 子的自轉(zhuǎn)軸最后與外磁場平行。由式(5.5.28)和(5.5.29),可得cl/at(5.5.28)圖5.4.2在

48、外礎(chǔ)場作用下自旋電子的進動(5.5.29)(5.5.30)31若鐵氧體中每單位體積內(nèi)有N個電子數(shù)，則磁化強度為M =Npm,于是可將式(5.5.32)改為xx H()(5.5.33)df此式稱為郎道方程。當(dāng)電磁波在鐵氧體中傳播時，除了外加恒左磁場H()外，還有較弱的時變磁場，即H =H0+h相應(yīng)的磁化強度為M = M+/i(5.5.35)這里為恒左磁場所產(chǎn)生的磁化強度，加為時變磁場所產(chǎn)生的磁化強度。將式(5.5.34)和(5.5.35)中的H和M分別替代式(5.5.33)中的和M，可得d+m) =-泌(M()+ 加)X(血 + 方)at=一(M)xH+ nixxh + nixh)又因為無交變磁

49、場時將以上兩式相減，并忽略髙階小可得對于時諧場，則有當(dāng)外加磁場H()很強，使鐵氧體磁化到飽和時，磁化強度與平行。設(shè)H.=e：H則MQ=ezMQo這時，式(5.537)可展開為je 叫=一(叫比-“少、)溝 =-曲(一他Ho_Mo&)jcom:= 0聯(lián)立解得式中(5.539)由式(5.5.38)可以看出，當(dāng)時，叫和叫均趨向無限大，因此很小的時諧磁場分量 九或傀可以產(chǎn)生很強的磁化強度，這就是磁共振現(xiàn)象。(5.5.34)dj/id7=一泌(wt xHo+ Moxh)(5.536)jcom =xH(l+ Mx/i)(5.5.37)Lar - or叫一丿叫叫 ?m.OX0J 叫0e： - coL

50、0h.00L. 4(5.5.38)3 如32設(shè)方表示時變磁場所對應(yīng)的磁感應(yīng)強度，則33將式(5.5.38)代入上式，可得這里COcCOm“22= “1)(1+ V e；_-co% = 一血 =7 A) )Tty 6?“33 =()由此可見，鐵氧體的磁導(dǎo)率為一張量。當(dāng)無外磁場時，軸=0,則“2=“2】=0,且 “產(chǎn)“22 =“33。此時，鐵氧體的磁導(dǎo)率為一標量，呈各向同性特性。2.磁化鐵氧體中的均勻平面波由麥克斯韋方程VxTf =jcosEVxE = -jcopH消去電場E,可得到關(guān)于磁場的波動方程V2H-V(y.H) + 卅審=0(5.5.42)仿照分析電磁波在等離子體傳播的方法，對于沿外加恒

51、泄磁場B。方向(即 J 方向)傳 播的均勻平而波，磁場表達式為H=(exH_wi+eyHyin)e-方程(5.5.42)可寫成為考慮到Au = “22、“12=一“21 由此可解得0丄=尿(“土加)即相位常數(shù)0有兩個解，分別為0= /(】+/“2)=其中Mi“21“2“22(5.5.40)0切120 e 切2i0H、000(5.5.43)(5.5.44)(5.5.45)(5.5.46)(5.5.41)=034YCO(+CO3502 = eJwUg _= co “聲(1 + % )(5547)y3 廠 3與電磁波通過等離子體相似， 當(dāng)電磁波沿外加磁場方向通過鐵氧體時， 將出現(xiàn)兩個圓 極化波。這兩

52、個圓極化波一個左旋、，一個右旋，它們的相速不一樣，使合成波的極化而 不斷旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。當(dāng)外加恒泄磁場Bo=O時，厲.=0、=0,兩個圓極 化波的相速相等，合成波為直線極化波，沒有法拉第旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。此時0|=02=乞/齊5什么是均勻平而波？平而波與均勻平而波波有何區(qū)別？5.2波數(shù)是怎樣定義的？它與波長有什么關(guān)系？5.3什么是媒質(zhì)的本征阻抗？自由空間本征阻抗的值為多少？5.4電磁波的相速是如何定義的？自由空間中相速的值為多少？5.5在理想介質(zhì)中，均勻平面波的相速是否與頻率有關(guān)？5.6在導(dǎo)電媒質(zhì)中，均勻平而波的相速是否與頻率有關(guān)？5.7趨膚深度是如何左義的？它與衰減常數(shù)有何關(guān)系？5.8什么

53、是良導(dǎo)體？良導(dǎo)體與理想導(dǎo)體有何不同？5.9什么是波的極化？什么是線極化、圓極化、橢圓極化？5.10兩個互相垂直的線極化波疊加，在什么條件下，分別是：(1)線極化波；(2)圓 極化波：(3)橢圓極化波？5.11知道圓極化波是左旋還是右旋有何意義？如何判別圓極化波是左旋還是右旋？5.12在導(dǎo)電媒質(zhì)中均勻平面波的電場與磁場是否同相位？5.13什么是群速？它與相速有何區(qū)別？5.14在理想介質(zhì)中，均勻平而波具有哪些特點？5.15在導(dǎo)電媒質(zhì)中，均勻平而波具有哪些特點？5.16什么是波的色散？何謂正常色散？何謂反常色散？習(xí) 題5在自由空間中，已知電場E（zJ）=evlO、sin（er-0z）V/m,試求磁場

54、強度H（z,f）。5.2理想介質(zhì)（參數(shù)為“ = “（,、 = （）、b = 0）中有一均勻平而波沿x方向傳播，已知其電場瞬時值表達式為E（xyt） = ev377cos （109r -5x） V/m試求：（1）該理想介質(zhì)的相對介電常數(shù)；（2）與E（x，0相伴的磁場HOU）；（3）該平 而波的平均功率密度。53在空氣中，沿e，方向傳播的均勻平而波的頻率f=400MHz.當(dāng)y=0.5m、A0.2ns時, 電場強度E的最大值為250V/m、表征其方向的單位矢疑為匕0.6-冬0.8。試求出電場E和 磁場H思考36的瞬時表示式。5.4有一均勻平面波在“=&、 = 4勺、b = 0的媒質(zhì)中傳播，英

55、電場強度E = EmSin（Q/忽+彳）。若已知平面波的頻率/ = 150MHz，平均功率密度為0.265/W/m2。試求：（1）電磁波的波數(shù)、相速、波長和波阻抗：（2） / = 0、z=0時的 電場E（0,0）值：（3）經(jīng)過/=0.1s后，電場E（0,0）值出現(xiàn)在什么位宜？5.5理想介質(zhì)中的均勻平而波的電場和磁場分別為E=110COS（6X107-0.8,Z） V/mH =e, cos（6x107-0.8z） A/m6/r試求該介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率和相對介電常數(shù)兮。5.6在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度復(fù)矢呈:為E=exejz+s ICT1/v/m求：（1）平面波的傳播方向和頻率；（2）波的

56、極化方式：（3）磁場強度H；（4）流過與傳播方向垂直的單位而積的平均功率。5.7在空氣中，一均勻平面波的波長為12cm,當(dāng)該波進入某無損耗媒質(zhì)中傳播時，其波 長減小為8cm,且已知在媒質(zhì)中的E和H的振幅分別為50V/m和0.1A/m。求該平而波的頻 率和媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率和相對介常數(shù)。5.8在自由空間中，一均勻平而波的相位常數(shù)為P. =0.524 rad/m，當(dāng)該波進入到理想 介質(zhì)后，其相位常數(shù)變?yōu)?=1.81 rad/m。設(shè)該理想介質(zhì)的=1,試求該理想介質(zhì)的兮和 波在該理想介質(zhì)中的傳播速度。5.9在自由空間中，一均勻平而波的波長為4 = 0.2 m ,當(dāng)該波進入到理想介質(zhì)后，其 波長變?yōu)锳 = 0.09