環(huán)形跑道問題含答案

1、環(huán)形跑道知識框架本講中的行程問題是特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決 多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合 理的線段圖進行分析。一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間X速度和路程差=追及時間X速度差二、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，貝y每追上一圈相遇一次這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。環(huán)線型冋一出發(fā)點直徑兩端同向：路程差nSn S+0.5 S相對（反向）：路程和nSn S-0.5S例題精講【例1】

2、一個圓形操場跑道的周長是500米，兩個學(xué)生同時同地背向而行.黃鶯每分鐘走 66米，麻雀每分鐘走59米.經(jīng)過幾分鐘才能相遇 ？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 黃鶯和麻雀每分鐘共行 66 59 125 （千米），那么周長跑道里有幾個 125米，就需要幾分鐘，即500 （6659）500 1254 （分鐘）.【答案】4分鐘【鞏固】周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走 65米。已知林蔭道周長是 480米，他們從同一地點同時背向而行。在他們第10次相遇后，王老師再走米就回到出發(fā)點?！究键c】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】填空【解析】 幾分

3、鐘相遇一次：480-（ 55 + 65） =4 （分鐘）10次相遇共用：4X 10=40 （分鐘）王老師40分鐘行了： 55 X 40=2200 （米）五年級奧數(shù).行程.環(huán)形跑道.教師版Page 1 of 102200 - 480=4 （圈）280 （米）所以正好走了 4 圈還多 280 米， 480280=200 （米） 答：再走 200 米回到出發(fā)點。答案】 200 米例 2 】上海小學(xué)有一長 300米長的環(huán)形跑道，小亞和小胖同時從起跑線起跑，小亞每秒鐘跑6米，小胖每秒鐘跑 4米， （1）小亞第一次追上小胖時兩人各跑了多少米？（2） 小亞第二次追上小胖兩人各跑了多少圈？【考點】行程問題之環(huán)

4、形跑道【難度】【題型】解答解析】 第一次追上時，小亞多跑了一圈，所以需要 300 （6 4） 150秒，小亞跑了 6 150 900（米）。 小胖跑了 4 150 600（米）；第一次追上時，小胖跑了 2圈，小亞跑了 3圈，所以第二次追上時， 小胖跑 4圈，小亞跑 6 圈。答案】小胖跑 4 圈，小亞跑 6 圈鞏固】 小張和小王各以一定速度，在周長為 500米的環(huán)形跑道上跑步小王的速度是200 米/分小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，1分鐘后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？小張 和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度

5、】【題型】解答【解析】 兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程小張的速度是500 1 200 300 （米/分）.在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是： 500 （300 200） 5（分） 300 5 500 3（圈）【答案】300米/分3圈例 3】 小新和正南在操場上比賽跑步， 小新每分鐘跑 250米，正南每分鐘跑 210米，一圈跑道長 800米， 他們同時從起跑點出發(fā)，那么小新第三次超過正南需要多少分鐘？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 小新第一次超過正南是比正南多跑了一圈，根據(jù)S差 v差t，可知小新第一次超過正南需

6、要：800 （250 210） 20 （ 分 鐘 ） ， 第 三 次 超 過 正 南 是 比 正 南 多 跑 了 三 圈 ， 需 要800 3 （250 210） 60（分鐘）答案】 60分鐘鞏固】 幸福村小學(xué)有一條 200 米長的環(huán)形跑道，冬冬和晶晶同時從起跑線起跑，冬冬每秒鐘跑6 米，晶晶每秒鐘跑 4米，問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米，第 2次追上晶晶時兩人各跑了多 少圈？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答解析】 這是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地起跑，方向一致因此，當(dāng)冬冬第一 次追上晶晶時，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個周長 （200 米） ，

7、又知道了冬冬和晶晶的 速度，于是，根據(jù)追及問題的基本關(guān)系就可求出追及時間以及他們各自所走的路程 冬冬第一次追上晶晶所需要的時間：200 （6 4） 100（秒） 冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應(yīng)為：6 100 600（ 米） 晶晶第一次被追上時所跑的路程：4 100 400（ 米） 冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數(shù)：（600 2） 200 6 （ 圈） 晶晶第 2次被追上時所跑的圈數(shù)： （400 2） 200 4（ 圈）答案】 4 圈例 4】 兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習(xí)長跑甲每分鐘跑 250米，乙每分鐘跑 200 米，兩人同時同 地同向出發(fā)，經(jīng)過 45 分鐘甲追上乙；如果兩人同時同地反向

8、出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答解析】 在封閉的環(huán)形道上同向運動屬追及問題，反向運動屬相遇問題同地出發(fā)，其實追及路程或相隔 距離就是環(huán)形道一周的長這道題的解題關(guān)鍵就是先求出環(huán)形道一周的長度環(huán)形道一周的長度 可根據(jù)兩人同向出發(fā)， 45 分鐘后甲追上乙， 由追及問題， 兩人速度差為： 250 200 50（ 米/ 分）， 所以路程差為： 50 45 2250（米），即環(huán)形道一圈的長度為2250 米所以反向出發(fā)的相遇時間為： 2250 （250 200） 5（ 分鐘）答案】 5 分鐘鞏固】 兩人在環(huán)形跑道上跑步 ，兩人從同一地點出發(fā)，小明每秒跑 3 米，小雅

9、每秒跑 4米，反向而行，45 秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】（4+3）X 45=315米一一環(huán)形跑道的長（相遇問題求解）315+（ 4-3 ） =315秒（追及問題求解）答案】 315 秒例 5】 在 300米的環(huán)形跑道上，田奇和王強同學(xué)同時同地起跑，如果同向而跑 2分30秒相遇，如果背 向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答解析】 同向而跑，這實質(zhì)是快追慢起跑后，由于兩人速度的差異，造成兩人路程上的差異，隨著時間 的增長，兩人間的距離不斷拉大，到兩人相距環(huán)形跑道的半圈時，相

10、距最大接著，兩人的距離五年級奧數(shù) .行程 .環(huán)形跑道 .教師版Page 3 of 10又逐漸縮小，直到快的追上慢的，此時快的比慢的多跑了一圈背向而跑即所謂的相遇問題，數(shù)量關(guān)系為：路程和速度和 相遇時間.同向而行 2分30秒相遇，2分30秒=150秒，兩個人的速度和為：300 150=2 （米/秒），背向而跑則半分鐘即 30秒相遇，所以兩個人的速度差為：300 30=10 （米/秒）.兩人的速度分別為：（10 2） 2 4（米/秒），10 4 6（米/秒）【答案】6米/秒【鞏固】 在400米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求

11、甲、乙的速度各是多少？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】甲乙的速度和為：400 40 10（米/秒），甲乙的速度差為：400 200 2（米/秒），甲的速度為：（10 2） 2 6（米/秒），乙的速度為：（10 2） 2 4（米/秒）.【答案】4米/秒【例6】周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走 65米。已知林蔭道周長是480米，他們從同一地點同時背向而行。 在他們第10次相遇后，王老師再走 米就回到出發(fā)點?！究键c】行程問題之環(huán)形跑道【題型】解答五年級奧數(shù).行程.環(huán)形跑道教師版Page 7 of 10【解析】 兩人每共走1圈相遇1次，

12、用時480十（55+60）=4（分），至燼10次相遇共用40分鐘，王老師共走了。55X 40=2200 （米），要走到出發(fā)點還需走，480X 5-2200=200 （米）【答案】200米6米/秒，5米/秒的騎車速度同【鞏固】 在周長為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以時同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：16分鐘內(nèi)，甲追上乙多少次 ？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【題型】解答【解析】甲、乙二人第一次相遇時，一共走過的路程是型 =100（米）.所需要的時間是100 （秒）以后,2 11兩人每隔 型（秒）相遇一次因為1260 1620010011=53.31116分鐘內(nèi)二人相遇53次.【答案】5

13、3次【例7】甲、乙二人在操場的 400米跑道上練習(xí)競走，兩人同時出發(fā)，出發(fā)時甲在乙后面，出發(fā)后6分甲第一次超過乙，22分時甲第二次超過乙。假設(shè)兩人的速度保持不變，問：出發(fā)時甲在乙后面多少米？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】400 米）需 22 6= 16 （分）?！绢}型】解答【解析】【答案】150米。提示：甲超過乙一圈（16分【鞏固】在400米的環(huán)行跑道上，A,B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從A , B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑 4米，每人每跑 100米，都要停10秒鐘。那么甲追上乙需要時間是多少秒？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 甲

14、實際跑100/ （5-4 ） =100 （秒）時追上乙，甲跑100/5=20 （秒），休息10秒；乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲實際跑100秒時，已經(jīng)休息4次，剛跑完第5次，共用140秒；這 時乙實際跑了 100秒，第4次休息結(jié)束。正好追上?！敬鸢浮?40秒【例8】有甲、乙、丙3人，甲每分鐘行走120米，乙每分鐘行走100米，丙每分鐘行走70米.如果3個人 同時同向，從同地出發(fā)，沿周長是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘之后，3人又可以相聚在跑 道上同一處？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】由題意知道：甲走完一周需要時間為300十120=-（分）；乙走完一周需

15、要時間為 300十100=3（分）2丙走完一周需要時間為300十700= 30，那么三個人想再次相聚在跑道同一處需要時間為:7530 竺邑30 30分2 72,7,11【答案】30分【鞏固】 如下圖所示的三條圓形跑道，每條跑道的長都是0.5千米，A B、C三位運動員同時從交點 O出發(fā)，分別沿三條跑道跑步， 他們的速度分別是每小時 4千米，每小時8千米，每小時6千米。問: 從出發(fā)到三人第一次相遇，他們共跑了多少千米？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答1 1 1【解析】 三個運動員走完一圈的時間分別為8小時、16小時、12小時，他們?nèi)讼嘤龅攸c只能是o點，所以三人相遇時間是 1小時、-

16、小時、丄小時的公倍數(shù)，即 1小時，分別跑了 2圈、4圈、3816124圈，共計4.5千米?！敬鸢浮?.5千米【例9】林琳在450米長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米,那么她的后一半路程跑了多少秒？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 設(shè)總時間為X,則前一半的時間為 X/2，后一半時間同樣為 X/2X/2*5+X/2*4=450X=100總共跑了 100秒前50秒每秒跑5米，跑了 250米后50秒每秒跑4米，跑了 200米后一半的路程為 450 - 2=225米后一半的路程用的時間為（250-225 ）- 5+50=55秒【答案】55秒【鞏固

17、】 某人在360米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑 4米,則他后一半路程跑了多少秒？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】44【答案】44【例10】甲和乙兩人分別從圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當(dāng)乙走了 100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇。求此圓形場地的周長？五年級奧數(shù).行程.環(huán)形跑道.教師版Page 9 of 10【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完1圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相遇時，甲乙2共走完1 + 1 = 3圈

18、的路程所以從開始到第一、二次相遇所需的時間比為1: 3，因而第二次相2 2遇時乙行走的總路程為第一次相遇時行走的總路程的3倍，即100 X 3=300米有甲、乙第二次相遇時，共行走（1圈一60）+300，為3圈，所以此圓形場地的周長為480米.2【答案】480米【鞏固】 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在 A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點60米.求這個圓的周長一 TI五年級奧數(shù)行程環(huán)形跑道教師版Page 11 of 10【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個

19、人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所 走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從 A到C距離的3倍，即A到D是80 3 240（米） 240 60 180（米） 180 2 360（米）【答案】360米400米的環(huán)形跑道，小剛對小明說：“咱課堂檢測【隨練1】小明和小剛清晨來到學(xué)校操場練習(xí)跑步，學(xué)校操場是們比比看誰跑的快”，于是兩人同時同向起跑，結(jié)果10分鐘后小明第一次從背后追上小剛，同學(xué)們一定知道誰跑得快了， 小明的速度是每分鐘跑140 米,那么如果小明第3次從背后追上小剛時，小剛一共跑了米.【考點】行程問題之環(huán)

20、形跑道【題型】填空【解析】【答案】3000 米140 10 400 1000米，1000 3 3000米?！倦S練2】在環(huán)形跑道上，兩人在一處背靠背站好，然后開始跑，每隔4分鐘相遇一次；如果兩人從同處同向同時跑，每隔 20分鐘相遇一次，已知環(huán)形跑道的長度是1600米，那么兩人的速度分別是多少？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 兩人反向沿環(huán)形跑道跑步時，每隔4分鐘相遇一次，即兩人 4分鐘共跑完一圈；當(dāng)兩人同向跑步時，每20分鐘相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要20分鐘兩人速度和為：1600 4 400（米/分），兩人速度差為：1600 20 80（米/分），所以兩人速

21、度分別為：（400 80） 2 240（米/ 分）,400 240 160（米/ 分）【答案】160米/分【隨練3】甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一地點同時出發(fā)，背向而行現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是 70分鐘，如果在出發(fā)后 45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是多少分鐘？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】甲行走45分鐘，再行走70 - 45=25分鐘即可走完一圈而甲行走45分鐘，乙行走45分鐘也能走 完一圈所以甲行走25分鐘的路程相當(dāng)于乙行走 45分鐘的路程甲行走一圈需70分鐘，所以乙需70- 25X 45=126分鐘.即乙走一圈的時間是 126分鐘.【答案】126分鐘

22、【隨練4】A、B是圓的直徑的兩端，甲在 A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇.已知 C離A有75米，D離B有55米，求這個圓的周長是多少米？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】340【答案】340家庭作業(yè)【作業(yè)1】一條環(huán)形跑道長 400米，甲騎自行車每分鐘騎 450米，乙跑步每分鐘 250米，兩人同時從同地 同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】400 （450 250） 2 （分鐘）.【答案】2分鐘【作業(yè)2】如圖1，有一條長方形跑道，甲從 A點出發(fā)，乙從C點同時出發(fā)，都按順時針方向奔跑，甲每秒 跑5米，乙每秒跑4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時，甲跑了 圈。【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】填空【解析】(10+6) - (5-4.5)=32 秒，甲跑了 5X 32- 32=5 圈【答案】5圈【作業(yè)3】一條環(huán)形跑道長 40