空間點線面之間位置關(guān)系知識點總結(jié)

1、第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1高中空間點線面之間位置關(guān)系知識點總結(jié)第一章 空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體一一由若干個平面多邊形圍成的幾何體旋轉(zhuǎn)體一一把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線 稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。（2）柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱一一有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2圓柱一一以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.2.1棱錐一一有一個面是多邊形，其余各面是有一個

2、公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。 2.2圓錐一一以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫 圓錐。3.1棱臺一一用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺3.2圓臺一一用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺4.1球以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1. 投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2. 三視圖正視圖；側(cè)視圖；俯視圖；是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；畫三視圖的原則：長對齊、

3、高對齊、寬相等3. 直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。4. 斜二測法：在坐標系x'o'y'中畫直觀圖時，已知圖形中平行于坐標軸的線段保持平行性不變，平行于 x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于 y軸（或在y軸上）的線段長度減半。重點記憶：直廠觀圖面積二原圖形面積（三）空間幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積 棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和2 圓柱的表面積S = 2冗1 + 2冗r 2圓錐的表面積S rl r2 2 o圓臺的表面積S rl r Rl R 球的表面積s 4 r2c n R21 ,扇形的面積公式S扇形 W60 ?lr （其中|表

4、示弧長，r表示半徑）2、空間幾何體的體積柱體的體積V S底h錐體的體積V 底h1 j43 臺體的體積V -（ S上 ,£上S下 ） h 球體的體積V 3 R331平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示（1） 平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形， 銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如 圖）（2）平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC平面ABC熒。3三個公理：（1）公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) 符號表示為A LB L

5、 => L 匸 aAaBa -公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)（2）公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 符號表示為：A B C三點不共線=> 有且只有一個平面a, 使 Aa、Ba、Ca。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)（3）公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線 符號表示為：PaGB => aPp =L，且P L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點;共面直. 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點； 異面直線

6、： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a bcc / b強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。 公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4注意點： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，為簡便，點0 般取在兩直 線中的一條上； 兩條異面直線所成的角8，）； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a丄b； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩

7、種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個公共點（2）直線與平面相交一一有且只有一個公共點（3）直線在平面平行沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a a來表示22直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行 簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a I ab B I=>aIlaa / b2.2.2 平面

8、與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示:a Bb匸j BaA b = P a B/a a/ab/a 亠2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想2.3.2平面與平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形梭IBa2、二面角的記法：二面角Aa-l- B 或 a -AB- B3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這

9、兩個平面垂直2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。2、判斷兩平面平行的方法有三種：(1) 用定義；(2) 判定定理；(3) 垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)本章知識結(jié)構(gòu)框圖1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a /aa匸B aAB = b -a / b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三

10、個平面相交， 符號表示：a/BaAy = aBAy = b/直線與直線的位置關(guān)系第三章直線與方程、公式:2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1.若直線的傾斜角為(90 )，則直線的斜率k = tan1、定義如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直， 我們就說直線L與平面a互相垂直，記作L丄a,直線2.過點心)和卩:化必)的直線的斜率為：丿1x2 X-|3.若不平行于y軸的兩直線I1/I2，則k=k2 ;若兩直線l1 I2，則k1 k?!;L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線 L的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。4.直線的點斜式方程：y y

11、76; k(x x°)5.直線的斜截式方程：y kx b6.直線的兩點式萬程：y y1x 人y2 y1 x 捲7.直線的截距式方程：x 1 a b8.直線的般式方程：ACAx By C 0，此時，斜率為一，截距為一BB9.對于兩直線h : AxB1 yC10 和 12: A2 xB2 yC20(1)若 a1b2 a2b10,兩直線相交；(2)若 A1B2 A2B10，兩直線平行或重合；(3)若A1A2 B1B20，若兩直線垂直。10. 點(xi,yj和區(qū)皿)的中點坐標是(仝X2, 迪)2 211. 若 R (xi, yi )和 P2 (x2, y2 )，貝U： RP2 V(Xi x2

12、)(yi y2)12. 點(xo, yo)到直線Ax By C 0的距離為：By。C二、基本注意點：1. 過點(a,b)，且平行于x軸的直線方程是：y b ；2. 過點(a,b)，且平行于y軸的直線方程是：x a ；三、典型習(xí)題：1.求過點(2,3)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程。解：截距不為0時，設(shè)兩軸上的截距都為a,則有直線方程為：-1， a a將(2,3)帶入上式可得：a 5，所以直線方程為：-1，55即：x y 50；兩軸上的截距都為0時，則直線過原點(0,0)，由兩點式可得：U U，即：3x 2y 03 02 0綜上所述：滿足條件的直線方程為：x y 5 0或3x 2y 0 .(

13、注：做本題時要分截距為0和截距不為0兩種情況，切不可直接將方程設(shè)為 a b 1，因為用該萬程時，要求截距不為0。2.已知直線h :x my 60，l2 :(m:2)x3y 2m0，求滿足下列條件的m值:(1) l1 和 J相交；(2) l1l2 ；(3) l1/l2；(4) h和J重合；解：(1) Qh和J相交，A1B2A2B10，即：1 3(m 2) m0解得:m1且m3(2) Ql1l2， A A2B1B20，即：1 (m 2) 3 m0解得:m12(3) (4)A B2 A2 B10,即：1 3(m 2) m0解得:m1或m3檢驗：m1 時，h:x y60丄：3x 3y20,此時，兩直線

14、平行,所以,m3時，l1 : x3y6 0,l2:x3y 60,此時，兩直線重合綜上所示:m 1時兩直線平行;m3時兩直線重合.第四章圓與方程圓與方程2、1圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程是 (x a)2 (y b)2 r2.特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程是：x2 y22 r .2、2點與圓的位置關(guān)系：1.設(shè)點到圓心的距離為d，圓半徑為r:(1)點在圓上- d=r ；(2)點在圓外d > r ；點在圓內(nèi)I'- ld< r2 22.給定點 M(X0,y°)及圓 C : (x a) (y b)2 r . M 在圓 C 內(nèi)(x

15、76; a)2 (y° b)2 r2M在圓C上(x° a)2 (y° b)2 r22、 M 在圓 C 外 (xo a)2 (y° b)2 r23圓的一般方程:x2 y2 Dx Ey若點(X0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則y1 y°R bk(x1 X0)y1 k(a X1)，聯(lián)立求出k,R2 1切線方程.D2D2D2E2E2E24F4F4F注：(1)方程0時,0時,0時,方程表示一個圓,方程表示一個點其中圓心方程無圖形(稱虛圓)2 2Ax Bxy Cy Dx Ey FCI，半徑r.D2 E2 4F20表示圓的充要條件是：B0且 A C 0

16、且 D2 E2 4AF 0.2、4直線與圓的位置關(guān)系：直線AxBy C0與圓(xa)2 (yb)2r2的位置關(guān)系有三種(1)若 d lAa Bb C,d r相離0 ；PA2B2(2) d r相切0 ；(3) d r相交0。還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組Ax ByC 0求解，通過解的個數(shù)來判斷2 2x yDx EyF 0(1)當(dāng)方程組有2個公共解時(直線與圓有2個交點)，直線與圓相交；圓的直徑或方程：已知A(xi,yi)B(X2 ,y2)(x xi )(x x2) (y yi)(y y2)0(2) 當(dāng)方程組有且只有 1個公共解時(直線與圓只有1個交點)，直線與圓相切；(3) 當(dāng)方程組沒有公共解時(直線與圓沒有交點)，直線與圓相離；即:將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓心C到直線I的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：相切 d=r = 0 (2)相交 d<r >0;(3)相離 d>r <0。2、5兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為。1, 02,半徑分別為1,2 ,O1O2d。(1) d r1 r2外離 4條公切線；(2)dr1 r2外切3條公切線;(3)r1r2|dr1r2相交2條公切線；(4) d