有關(guān)斐波那契數(shù)列及性質(zhì)的研究

1、 解 由性質(zhì) 6，我們有 1 + 1 1+ 1+ 1 = 1 1 1 Fn+1 ， Fn 1+ O1 + 知 1 1+ 1+ 1 = 1 1 1 Fn+1 F 1 = n1 ， Fn Fn 1+ O1 + 設(shè)上述含有 k 條分?jǐn)?shù)線的繁分?jǐn)?shù)的值為 顯然 mk = Fk ， nk = Fk +1 ， 于是 mk ， (mk , nk = 1 ， nk m 2 + mn n 2 = F1988 + F1988 (F1988 + F1987 F1988 + 2 F1988 F1987 + F1987 2 2 2 = F1988 + F1988 F1989 F1989 2 1988 2 1988 2 2

2、 ( =F =F + F1988 F1987 + F F1988 F1987 F 2 1988 F 2 1988 2 F1988 F1987 F 2 1987 2 1987 2 2 = ( F1987 + F1988 F1987 F1988 = F1986 + F1986 F1987 F1987 = F2 + F2 F3 F3 = 1 + 1× 2 2 = 1 例 10 2 2 2 2 2 2 2 解 若 n mn m 2 2 ( (n 2 確定 m + n 2 2 mn m 2 2 2 2 的最大值，其中 m ， n 為整數(shù)，且 m ， n 1,2, L ,1981 ， 。 = 1

3、 （第 22 屆 IMO） = 1 的一組解 (m, n 1,2, L ,1981,那么 n 2 mn m 2 = ±1 從而 n = mn + m ± 1 m ，即 n m ，其中當(dāng)且僅當(dāng) m = n = 1 時(shí)等號成立。 因此，在 (m, n (1,1 時(shí)， n m > 0 。 由于 n mn m 2 ( 2 2 2 = (n m 2 + m(n m m 2 = m 2 2 m(n m (n m 2 2 ， 如果 (m, n 是滿足上述條件的一組解，并且 (m, n (1,1 ，那么 (n m, m 也是滿足上述條件 的一組解，等等。 由于滿足上述條件的解有限，因

4、此進(jìn)行有限步后一定可得到 (1,1 ； 15 反過來，由解 (1,1 可逐步得到滿足上述條件的全部解（其操作過程為由 (m n, m 得出 (m, n ） 。 不 難 看 出 ， 這 些 m, n 組 成 的 斐 波 那 契 數(shù) （ 每 相 鄰 兩 個(gè) 是 一 組 解 ）： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597 因此 m + n 的最大值為 1597 + 987 = 3524578 。 例 11 現(xiàn)有長為 150cm 的鐵絲，要截成 n(> 1 段，每段的長為不小于 1cm 的整數(shù)，如果其 此時(shí)有幾種方法將該鐵絲截成滿足條

5、件的 中任意三小段都不能拼成三角形， 試求 n 的最大值， 。 n 段（第 17 屆江蘇省初三數(shù)學(xué)競賽題） 解 欲使 n 盡可能的大，則每段長應(yīng)該盡可能的小，又由每段的長不小于 1cm ，所以應(yīng)從 1 開始分截，假定含有 1 的起始三段長為 1, b, c ，且 1 b c ，為了使這三段都不能構(gòu)成三角 形，則 1 + b c ，又 b, c 盡可能的小，故取 b = 1, c = 2 ，于是這 n 段可分截如下： 2 2 2 2 1,1,2,3,5,8,13, LL ，這就是 Fibonacci 數(shù)列， 又因?yàn)?而 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 +

6、 55 < 150 ， 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 > 150 ， 故 n 的最大值為 10 ，將長為 150cm 的鐵絲分成滿足條件的 10 段共有如下 7 種方式： 1、1、2、3、5、8、13、21、35、61 1、1、2、3、5、8、13、21、36、60 1、1、2、3、5、8、13、21、37、59 1、1、2、3、5、8、13、21、34、62 1、1、2、3、5、8、13、22、35、60 1、1、2、3、5、8、13、22、36、59 1、1、2、3、5、8、14、22、36、58 例 12 在元旦

7、春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備利用超大屏幕，反復(fù)播放一個(gè)廣告節(jié)目，這個(gè)廣告 節(jié)目每次播放的時(shí)間是 10 秒鐘，如果開始只有一段 10 秒的錄像帶母帶，若用兩盤空白錄像 帶在一臺(tái)錄音機(jī)上相互轉(zhuǎn)錄，問應(yīng)如何操作才能用最少的錄制編數(shù)錄制一盤可以播放一小時(shí) 的廣告節(jié)目？（2002 年湖北省四通杯數(shù)學(xué)競賽題） 解 1 小時(shí)=3600 秒， 3600 ÷ 10 = 360 （遍） 第一步：將母帶上的節(jié)目錄入第一盤空白帶； 第二步：將母帶上的節(jié)目錄入第二盤空白帶； 第三步：將第一盤的節(jié)目錄入第二盤錄像帶； 第四步：將第二盤的節(jié)目錄入第一盤錄像帶； 在第一、二盤錄像帶中反復(fù)錄制，直到錄入所需的時(shí)間長度為止。

8、我們用 ai 來表示第 i 步錄入節(jié)目的遍數(shù)，則 a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, LL ，很顯然， ai 構(gòu)成了 Fibonacci 數(shù)列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 ，由 377 > 360 ，可知連續(xù)操作 14 次， 16 即可錄制一盤播放一小時(shí)的錄像帶。 結(jié) 束 語 本文通過對 Fibonacci 數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)、展開及歸納總結(jié)，探討了該數(shù)列所具有的若 干性質(zhì)和規(guī)律。隨著數(shù)學(xué)理論研究的不斷發(fā)展，人們對該數(shù)列的探討也將越來越深入，相信 會(huì)有更多的奇特性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)。 【參考文獻(xiàn)】 【1】葉運(yùn)佳. Fibonacci 數(shù)列

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11、bonacci series and its Application HU Qing-qing (Department of Mathematics ,Xi'an University of Arts and Science, Xi'an, 710065 Abstract: This paper discusses the model of the Fibonacci series, and then derives from of formulas. Using of series the links of the Fn series Fn Fn series series

12、is recursive formula, mathematical induction and other methods, is explored, and fourteen basic natures of Fn summarized .On these bases, the paper also gives the close link between the Fibonacci series and the golden section number, and then we get three important properties. These properties all reflect the role of change in the Fn series. Finally, as the application of these properties, combined with 17 sam