矩陣乘積的行列式

1、矩陣乘積的行列式矩陣乘積的行列式4.34.3引入引入行列式乘法規(guī)則行列式乘法規(guī)則11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb其中其中1 12 2ijijijin njca ba ba b 11121212221212,nnnnnnccccccD Dccc 則則1,nikkjka b ABAB,1,2,i jn 定理定理1 設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的上的 級(jí)矩陣，級(jí)矩陣，則則,A BPn.ABA B 1212| |.ttA AAAAA 推廣推廣 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的上的 級(jí)方陣，則級(jí)方陣，則12,tA AAPn一、矩陣乘積的行

2、列式一、矩陣乘積的行列式定義定義0A A若若 ，稱，稱 為為退化的退化的若若 ，則稱，則稱 為為非退化的非退化的；0A A注注： 級(jí)方陣級(jí)方陣 非退化非退化 ；( )0R AnAAn( )0.R AnA 級(jí)方陣級(jí)方陣 退化退化An設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的上的 級(jí)方陣，級(jí)方陣， APn二、非退化矩陣二、非退化矩陣推論推論 設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的上的 級(jí)矩陣，級(jí)矩陣，則則,A BPn,ABA B非退化非退化 都非退化都非退化證：證：ABAB退化退化 或或 退化退化 0ABAB 非退化非退化0A B 00AB 且且都非退化都非退化 . .,A B三、矩陣乘積的秩三、矩陣乘積的秩定理定理2 設(shè)設(shè) 為

3、數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的矩陣，上的矩陣，則則,n mm sAB P ()min(),() .R ABR A R B 證：證： 令令(),(),().ij n mij m sij n sAaBbABCc 設(shè)設(shè) 的行向量組為的行向量組為1,mBBB1,.nCCC的行向量組為的行向量組為則向量組合則向量組合1122iiimma Ba Ba B 1 112 2111 12 2,iiim misisim msa ba ba ba ba ba b 即有即有12111,nnnikkikkikkskkka ba ba b 1,2,in 1122iiimma Ba Ba B 12,iiisccc ,iC 故故 可由可由 線性表示線性表示. .12,nC CC12,mB BB所以所以 ()()R CR B ()().R CR A 同理，同理， ()min( ),( ) .R ABR A R B 定理定理2 設(shè)設(shè) 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 上的矩陣，上的矩陣，則則,n mm sAB P ()min(),() .R ABR A R B 推廣推廣 如果如果 ，則，則12tAA AA 12()min (),(),().tR AR AR AR A ,0,AAEA 證明：證明：例例1設(shè)設(shè)A為為n級(jí)方陣，且級(jí)方陣，且0.AE證：證：AE AAA ()A EA A