隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)

1、隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)1.2 條件期望和矩母函數(shù)條件期望和矩母函數(shù)對于離散型隨機(jī)變量X和Y.一般,對所有使PY=y0的y,定義給定Y=y時X取x的條件概率為,|yYPyYxXPyYxXP而給定Y=y, X的條件分布函數(shù)為|)|(yYxXPyxF給定Y=y, X的條件期望為xyYxXxPyYxE|)|(隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)對于一般的連續(xù)型隨機(jī)變量Y.由于PY=y往往為0,則給定Y=y時X的條件概率定義為:若對任何包含y的小區(qū)間y總有P(Yy)=0,則 定義為P(XA|Y=y)=0;若P(Yy)0,則定義為這里y0的意思是使包含y的小區(qū)間的長度縮小為0.除了個別例

2、外的y值這一極限總是存在的.|lim|0yYAXPyYAXPy隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)而給定Y=y, X的條件分布函數(shù)條件分布函數(shù)為|lim)|()|(0yYxXPyYxXPyxFyd如果存在一非負(fù)函數(shù)f(x|y)使得對任何集合A恒有 且則f(x|y)稱為在給定Y=y時X的條件密度條件密度.AdxyxfyYAXP)|()|(1)|(dxyxf顯然有xdsysfyxF)|()|(dxyxfxyYXE)|()|(隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)條件期望通常統(tǒng)一記為)|()|(yxdFxyYXE注注: E(X|Y=y) 表示一個數(shù)值;E(X|Y) 表示隨機(jī)變量.例例1.8 袋子中

3、有3個相同的球,分別標(biāo)號為1, 2, 3. 現(xiàn)從中隨機(jī)地取出一個球, 記下標(biāo)號(假設(shè)標(biāo)號為k)后放回, 同時從袋子中去掉標(biāo)號為1, k-1的球. 然后再隨機(jī)地取一球記下標(biāo)號. 分別用X和Y表示兩次取球記下的標(biāo)號,則隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)31) 1|1(XYP31) 1|2(XYP31) 1|3(XYP2313312311) 1|(XYE5 . 2213212)2|(XYE313)3|(XYEE(Y|X)2 2.5 3Pr1/3 1/3 1/3隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)例例1.9 扔一硬幣出現(xiàn)正面的概率為p,獨(dú)立地做投幣試驗(yàn). 記S為n次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù),并設(shè)首次

4、出現(xiàn)正面是在第T次試驗(yàn).求給定n次試驗(yàn)中僅出現(xiàn)了一次正面時變量T的條件概率分布,也即P(T=k|S=1).解解: 1)1 (), 1(nppkTSP11)1 () 1(nnppCSPnSPkTSPSkTP1) 1(, 1) 1|(所以隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)命題命題1.1 若X與Y獨(dú)立,則 E(X|Y=y)=E(X); 條件期望的平滑性 對隨機(jī)變量X, Y的函數(shù)(X,Y), 有| ),(| ),(yYyXEyYYXE)()()|()|(XEydFyYXEYXEEY證明證明: 假設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量,則ijjijiyYyYxXPyxyYYXE)|,(),(| ),(iiiy

5、YyYxXPyx)|,(),(iiiyYxXPyx)|(),(| ),(yYyXE隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù) 矩母函數(shù)及生成函數(shù)矩母函數(shù)及生成函數(shù)定義定義1.5 隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)矩母函數(shù)定義為隨機(jī)變量exptX的期望,記作g(t), 即:)(tXeEtg 矩母函數(shù)的性質(zhì)矩母函數(shù)的性質(zhì): 當(dāng)矩母函數(shù)存在時它唯一地確定了X的分布; EXn = g(n)(0), n 1; 對于相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y, 則gX+Y(t) = gX(t)gY(t).隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)注注: 由于隨機(jī)變量的矩母函數(shù)不一定存在, 因此現(xiàn)在常用特征函數(shù)EeitX代替矩母函數(shù). 關(guān)于特征函

6、數(shù)內(nèi)容以及性質(zhì)1, 可以參閱安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的教材:1 丁萬鼎等, 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì), 上海: 上海科學(xué) 技術(shù)出版社, 1988.隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù) 常見分布的矩母函數(shù)常見分布的矩母函數(shù):分布名稱分布名稱概率分布或密度概率分布或密度矩母函數(shù)矩母函數(shù)二項(xiàng)分布 B(n,p)Poisson分布 ()正態(tài)分布 N(,2)指數(shù)分布 P()均勻分布 Ua,bntqpe)()1(tee2221tte1)1 (ttabeeatbt)( nkqpCkXPknkkn, 1 , 0,)(, 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk222)(21)(xexf0, 00,)(xxexfx其他,

7、 0,1)(bxaabxf隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)解解: 先算條件期望exp|1nNXtEnNeENkktY例例1.10 (隨機(jī)和的矩母函數(shù)) 記X1, X2, 為一串獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量, N為取值為非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量, 且N與X序列相互獨(dú)立. 求Y的矩母函數(shù).NkkXY1exp1nNXtEnkknXnkktgXtE)(exp1隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)于是有)(|)(NXtYtYYtgENeEEeEtg進(jìn)一步,)()()(1tgtgNEtgXNXY)()()()()(1()( 122 tgtgNtgtgNNEtgXNXXNXY因此,EXENXNEENgEgEYXY)()0()0(XEENXVarENgEYY22 2)()0( 注意: g(0)=1隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)定義定義1.5 若X為離散隨機(jī)變量, 則期望E(sX)為其概率生成函數(shù), 記作X(s), 即:)(XXsEs 生成函數(shù)的性質(zhì)生成函數(shù)的性質(zhì): 生成函數(shù)與離散隨機(jī)變量是一一對應(yīng)的; 對于相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y, 則X+Y(s) = X(s)Y(s).1)()1() 1(sXrrsdsdrXXXE隨機(jī)過程方兆本1.2條件期望和矩母函數(shù)性質(zhì)性質(zhì): 若離散隨機(jī)變量