極值點偏移問題專題(完整資料).doc

1、1此文檔下載后即可編輯極值點偏移問題專題（0 0）- 偏移新花樣（拐點偏移）例 1 1 已知函數(shù)f x 2ln x x2x，若正實數(shù)x1，x2滿足f % +f x2=4， 求證：x1x22o證明：注意到f 1 =2,f x1+f x2=2f 1f x1+f x2=2f 12f x =+2x 10 xf x = 2 2,f 1 =0，則（1,21,2）是f x圖像的拐點，若拐點（1,21,2）x也是f x的對稱中心，則有X1X2=2，證明X1X22則說明拐點發(fā) 生了偏移，作圖如下想到了“極值點偏移”，想到了“對稱化構(gòu)造”，類似地，不妨 將此問題命名為“拐點偏移”，仍可用“對稱化構(gòu)造”來處理. 不

2、妨設(shè)0洛1 X2，要證為x22x22 x11f x2f 2 x-i4fX1f 2為F xxf 2 x,x 0,1，則24fx-!f 2x-!3f 2 x 22x12 x4 1 x10,x 2 x得F x在0,1上單增，有F x F 1214，得證。X22x0fxf x22f x0X22x0X1X1X22x02xf x1X1f x2X22X0X22X04F xxf 2 x,x 0,1，則42 2、極值點偏移 PKPK 拐點偏移常規(guī)套路1 1、極值點偏移（f x00）二次函數(shù)f為f x2xjx?2x02 2、拐點偏移f X。0極值點偏移問題專題(1 1)對稱化構(gòu)造(常規(guī)套路)例 1 1 ( 201

3、02010 天津)已知函數(shù)f x xex.(1) 求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 已知函數(shù)g x的圖像與f x的圖像關(guān)于直線x 1對稱， 證明: 當(dāng)x 1時，f x g x；(3)如果X1X2，且f X1f X2,證明：X1X22.解:/=/()，得力在(一比i)上/ 住口用)上(工)有極大值r磁小值：e(2)g(x)的圍像與/(天)的圍像關(guān)于直銭尤二1對禰則鞏的解忻貳為y = /(2x),構(gòu)造輔助囲數(shù)鞏工)= /()-( =(2-功尸(力(工)52-對=( -x |+eT_1(x-l=(比_1)(嚴(yán)Sxl時，x-l0fe-e-O , ayF(j/)0得F(x)在(1嚴(yán))上單堪胡F(x)

4、F(l)=0ffiD/(x)(x).(3)由結(jié)合于(工)的單調(diào)性可設(shè)AtVlvw將xj弋入(2)中不等式得5”又f(衛(wèi)) = /()又1r2- 2-JP)rjq+匕2 來源:犠信公金號中學(xué)數(shù)學(xué)硏討部落點評：該題的三問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點 偏移問題的一般方法對稱化構(gòu)造的全過程，直觀展示如下：6例 1 1 是這樣一個極值點偏移問題：對于函數(shù)f x xex，已知f x1f x2，x1x2， 證明x1x22 再次審視解題過程，發(fā)現(xiàn)以下三個關(guān)鍵點： （1 1）x1，x2的范圍0 x11 x2； （ 2 2）不等式f x f 2 x x 1；（3 3）將x2代入（ 2 2）中不等式，結(jié)

5、合f x的單調(diào)性獲證結(jié)論 把握以上三個關(guān)鍵點，就可輕松解決一些極值點偏移問題例 2 2 （20162016 新課標(biāo)I卷）已知函數(shù)f x x 2 exa x 12有兩個零 點八、（ 1 1 ）求a的取值范圍；（2 2）設(shè)Xi,X2是f x的兩個零點，證明：XiX22.解：（1 1）0,，過程略；（2 2）由（1 1）知fx在,1上，在1,上Z，由fxifx20,可設(shè)x11 x2構(gòu)造輔助函數(shù)F x f x f 2 xF x f x f 2 xx 1 ex2a 1 x e2 x2ax 1 exe2 x當(dāng)x 1時，x 1 0,exe2 x0，則F x 0，得F x在,1上Z, 又F1 0,故Fx 0

6、x 1，即fx f 2 x x 1.將X1代入上述不等式中得f N f X2f 2 N，又X21,2 X11,f x在1,上Z，故x-i2x-i,X|x22.7通過以上兩例，相信讀者對極值點偏移問題以及對稱化構(gòu)造的一 般步驟有所了解.但極值點偏移問題的結(jié)論不一定總是XiX22X0，也可以是X1X2x，借鑒前面的解題經(jīng)驗，我們就可給出類似的過程.例 3 3 已知函數(shù)fXxlnx的圖像與直線y m交于不同的兩點像如下，得0 X-X21.eA Xi, yi,B X?,y2，求證:x1x2證明：（i i）X Inxi,得fx在0,-上，在ee上Z;當(dāng)0 x1時，f x 0;f 10；當(dāng)x 1時，x 0

7、;當(dāng)x 0時，f x 0（洛必達(dá)法則）；當(dāng)x時，f X,于是f X的圖8ex1 +lfix4 -:Tj 1 + In-、-)二(1心工)1-舟)11f1當(dāng)gw-時,I+IHAOr1oF得尸(TI在o.- ;/,有eC 亠J.e/（iii）將兩代入（ii）中不等式得菲（珂）匕西丿心）叫西 可花c 4.來瀝：微信公眾號中學(xué)數(shù)學(xué)硏討卻落e小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法解極佳點偏移問題大致分為以下三步:steplstepl:求導(dǎo)，獲得f x的單調(diào)性，極值情況，作出f x的圖像，由f Xif X2得Xi，X2的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；step2step2：構(gòu)造輔助函數(shù)（對結(jié)論NX22xo，構(gòu)造2F x f x f 2xox；對結(jié)論x,X2x2，構(gòu)造F x f x f西），x求導(dǎo)，限定范圍（Xi或X2的