極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

1、1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換=的篁20設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換 田=曰 3切 的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)尸憶V),稱(chēng)甲為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變 換,簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示OL在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)0,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條射線 6,叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 ， 而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平

2、面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)口與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為 ;以極 軸叁為始邊，射線皿為終邊的角 3M叫做點(diǎn)m的極角,記為 .有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作MSn仍.一般地，不作特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為伍日可取任意實(shí)數(shù).特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)為(0,妙)(&e R).和直角坐標(biāo)不同, 平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示.如果規(guī)定P,那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)（P）表示;同時(shí),極坐標(biāo)（A處表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3 .極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化（1）互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸,并在 兩種坐標(biāo)系中取相同的

3、長(zhǎng)度單位，如圖所示：V11（2）互化公式：設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是（馬歷,極坐標(biāo) 是 （）, 于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：占建八、直角坐標(biāo)（五力極坐標(biāo)ShG互化公式Jjf= ptusG j = psin &130.。=金硯JC在一般t#況下,由日確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)相所在的象限最小正角4 .常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為，的圓注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即 S,維（A&豉（-出宗吸都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐 標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對(duì)于極坐標(biāo)方程P

4、 =網(wǎng)點(diǎn)可以表示為4 44 44 4等多種形式，其中,只有J/的極坐標(biāo)滿足方程.、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) qy都是某個(gè)變 卜力數(shù)工的函數(shù)=且相,并且對(duì)于工的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn) mu歷都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù) 的變數(shù)*叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)，相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系 的方程叫做普通方程.2 .參數(shù)方程和普通方程的互化（i）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過(guò)消 去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.（2）如果知道變數(shù)5y中的一個(gè)與參數(shù)工的關(guān)系，例如工工/（力

5、，把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系二星,那么3=套就是曲線的參數(shù)方程 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使可了的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解 軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的 參數(shù)方程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓。的半徑為，點(diǎn)M從初始位置“口出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫A上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)弧則7二，血。這就是圓心在原點(diǎn)半徑為，的圓的參數(shù)方程，其中6的幾何意義是 加。 轉(zhuǎn)過(guò)的角度。圓心為（3）,半徑為的圓的普通方程是二它的參數(shù)方程為：04 .橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心，焦點(diǎn)在上

6、軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-方參如其參數(shù)方程為L(zhǎng)-F=*sm,其中參數(shù)伊稱(chēng)為離心. t”r 、+-x =Ka QX _、角；焦點(diǎn)在了軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是a 必其參數(shù)方程為小而、帥參命，y=am其中參數(shù)挈仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)中的范圍為挈o, 2度）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)1P的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把 它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角 口區(qū)分開(kāi)來(lái)，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相 等外（即在0到2元的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但0a 0p隊(duì)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是口辦其參數(shù)方程為產(chǎn)一參飄其中補(bǔ)祠由伊求您 y =TSC 伊以上參數(shù)1P都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線的參數(shù)方 程為 產(chǎn)臼尸協(xié)線a尸=2皿7.直線的參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)%（知始，傾斜角為目的直線工的普通方程是 了一西=5噸一心而過(guò)腿5%而，傾斜角為的直線F的參數(shù)方程為先血i a為參期注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過(guò)定點(diǎn) 腿，（瑜，傾斜角為值的直 fx-j+fcosa線的參數(shù)方程為5bls（曲參數(shù)，其中表示直線上以定點(diǎn)修為起 點(diǎn)，任一點(diǎn)眄馬力為終點(diǎn)的有向線段即陛的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)時(shí)在此