第四章圓與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題答案

1、第四章圓與方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的 半徑。2、圓的方程一 -222(1)麻推方程 x a y b r ,圓心a, b ,半徑為r；222點(diǎn)M (xo, yo)與圓(x a) (y b) r的位置關(guān)系：當(dāng)(xo a)2 (yo b)2>r2,點(diǎn)在圓外當(dāng)( a)2 (yo b)2=r2,點(diǎn)在圓上當(dāng)(xo a)2 (yo b)2<r2,點(diǎn)在圓內(nèi)(2) 一般方程 x2 y2 Dx Ey F o；,D2 E2 4F當(dāng)D2 E2 4F 0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為22當(dāng)DE4F o時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；22當(dāng)DE4F o時(shí)，方程不表不任何圖

2、形。(3)求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法： 先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出 D, E, F;另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系:直線與圓的位置關(guān)系有 相離，相切，相交 三種情況:(1)設(shè)直線l:Ax By C 。，圓C：x a 2 y b 2 r2 ,圓心C a,b到l的距離 為L(zhǎng) |Aa Bbjl |.則有d rl與C相離工d r l與C相切上d rl與C相交Ta2B7k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該(2)過圓外一點(diǎn)的切線：k不存在，驗(yàn)證是否成立直線

3、距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】11 / 8(3)過圓上一點(diǎn)的切線 方程：圓(x-a)2+(y-b) 2=r2圓上一點(diǎn)為(xo,yo),則過此點(diǎn)的切線方程為/、/、/， 、， ， 、2(xo-a)(x-a)+(y o-b)(y-b)= r4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓 Ci : x ai 2 y bi 2 r2 , C2 : x a2 2 y b2 2 R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距( d)之間的大小比較來(lái)確定。叁d R r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；4d R r時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)

4、公切線一條;里R r d R r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；3d |R r|時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；宜d |R r產(chǎn)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)d 0時(shí)，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)圓的方程自主學(xué)習(xí)口基礎(chǔ)自測(cè)1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，貝U a的取值范圍是2A. a<-2 或 a> _3C.-2 <a<0D.-2 < a< 23答案 D2 . ( 2009 河南新鄭模擬) 是圓 x2+y2+2x-4

5、y+1=0 關(guān)于直線 2ax-by+2=0 (a、bG R)對(duì)稱，則ab的取值范圍A.B 0，4c ;。1,4答案3 .過點(diǎn)A(1, -1 ) , B (-1A. (x-3) +(y+1) =4 C. (x-1 ) 2+(y-1) 2=4 答案 C1),且圓心在直線 x+y-2=0上的圓的方程是B.( x+3)2+(y-1)2=4D.( x+1)2+(y+1)2=44 .以點(diǎn)(2, -1 )為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為A.( x-2) 2+(y+1)2=3C.( x-2) 2+(y+1)2=9答案 C5 . (2009 宜昌模擬)直線y=ax+b通過第一、A.第一象限B.(

6、 x+2) 2+( y-1) 2=3D.( x+2)2+(y-1) 2=9三、四象限，則圓(x+a) 2+(y+b)2=r2 (r >0)的圓心位于B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案 B典例剖析例1已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為()A. x2+y2-2x-3=0B x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x -3=0D. x2 +y 2-4 x=0答案 D例2 已知圓x22例3 (i2分)已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+i=0. (i)求y- x的最大值和最小值；+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P

7、, Q兩點(diǎn)，且 OP，OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓 心坐標(biāo)及半徑.解方法一將x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得 5y2-20 y+12+m=0.設(shè) P (xi, yj , Q(x2, yz),則 yy?滿足條件：yi+y2=4, yiy2=12_m5丁 OPL OQ ： xix2+yiy2=0. 而 xi=3-2 yi, x2=3-2y2.xix2=9-6( yi+y2)+4yiy2.：m=3,此時(shí)。,圓心坐標(biāo)為1,3，半徑r =勺.22方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M. OIVL PQ kOM 2 .: oM的方程為：y-3=2 x 一 ， i5- i+2 (3-

8、) -3=0, =i,m=3.二圓心為 i,3 ,半徑為：. ,1 2即：y=2x+4.由方程組y 2x (2)求x2+y2的最大值和最小值.x 2y 3 0解彳導(dǎo)M的坐標(biāo)為(-i , 2).則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x+i) 2+ (y-2) 2=r2.,OPL OQ 點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.(0+i) 2+ (0-2) 2=r2,即 r2=5, MQ=r2.在 RtAQMQ, OC2=OM+MQ2 21 i (3-2) 2+5=i_(-6)_4m24：m=3.：半徑為5,圓心為 23 . 22方法三設(shè)過P、Q的圓系方程為x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0. 由 OP,OQ口

9、，點(diǎn) O (0, 0)在圓上.:m-3=0,即 m=3 .:圓的方程可化為x2+y2+x-6 y+3 + x+2 y-3 =0 即 x2+(i+ )x+y2+2( -3) y=0.:圓心M i一,2(3一) ,又圓在 PQ上. 22解(1) y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線 y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距 b取得最大值或最小值，此時(shí)I2 0 b 產(chǎn)，解得b=-2 + 66.5分2所以y-x的最大值為-2+ 6 ,最小值為-2-而.6分(2) x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.8分又圓心到原點(diǎn)的距離為

10、J( 2 0)2 ( 0 0)2 =2,所以x2+y2的最大值是(2+質(zhì))2=7+4點(diǎn)，x2+y2的最小值是(2- £) 2=7-4招.12分圓與直線方程例 1 已知圓 x2+y2-6 mx2 (ml ) y+10m-2 m24=0 (m R).(1)求證：不論 m為何值，圓心在同一直線 l上；(2)與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；(3)求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等.(1)證明配方得：(x-3nj)2+ y- (m1 ) 2=25,設(shè)圓心為(x, y),則x 3m，消去m得 y m 1l : x-3 y-3=0 ,則圓心恒在直線 l : x-

11、3y-3=0上.(2)解設(shè)與l平行的直線是L: x-3y+b=0,則圓心到直線l1的距離為d=m 3(m 1) b |3 bv10,10二圓的半徑為r=5, :當(dāng)d<r,即-5 710-3 <b<5x/10-3時(shí)，直線與圓相交;當(dāng)d=r,即b= + 5<10-3時(shí)，直線與圓相切;當(dāng)d>r,即b<-5 -0-3或b>5410-3時(shí)，直線與圓相離(3)證明 對(duì)于任一條平行于l且與圓相交的直線li： x-3y+b=0,由于圓心到直線li的距離d=l3J ,10(4)弦長(zhǎng)=2卜 d2且r和d均為常量.:任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長(zhǎng)相等.例2

12、 從點(diǎn)A (-3 , 3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.解方法一如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)B (b,0),則kAB=_，根據(jù)光的反射定律,b 3反射光線的斜率k反=.:反射光線所在直線的方程為 y=(x- b), 即3x-(b+3)y-3 b=0. b 3b 3,已知圓x2+y2-4x-4y+7=0的圓心為C (2,2), 半徑為1,J6(b 3)2 3b =1,解彳Ib1=-3,b2=1.,.-9 (b 3)24kAB=- 3或 kAB=- -3 .l 的方程為 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0

13、.34方法二 已知圓C: x2+y2-4x-4y+7=0關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為 C : ( x-2) 2+( y+2) 2=1,其圓心 C的坐標(biāo)為(2,-2),半徑為1,由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C相切.設(shè) l 的方程為 y-3=k(x+3),則15k 5 =1, 即 12k2+25k+12=0. .12 k2:k尸-4 , k2=- 3 .貝U l 的方程為 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. 34方法三設(shè)入射光線方程為y-3=k(x+3),反射光線所在的直線方程為y=-kx+b,由于二者橫截距相等，且3 3k b k k2k 2 b 、1 k2后者與已知圓相切.即 1

14、2k2+25k+12=0, ; k1=- - , k2=-.34則 l 的方程為 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.例 3 已知圓 C： x2+y2-2 mx+4y+m-5=0,圓 G： x2+y2+2x-2 my+m3=0, m為何值時(shí), (1)圓C與圓Q相外切；(2)圓C與圓C2內(nèi)含？解 對(duì)于圓G與圓。的方程，經(jīng)配方后Ci：( x-m) 2+(y+2)2=9; C2：( x+1) 2+( y-m) 2=4.(1)如果 C 與 G外切，則有 J(m 1)2 (m 2)2 =3+2.(n+1)2+( n+2) 2=25.M+3m10=0,解彳# m=-5 或 m=2.(2)如果C與C

15、2內(nèi)含，則有 (m 1)2 (m 2)2 <3-2.(mb1) 2+( m+2) 2< 1, mi+3m+2< 0,得-2<m<-1,:當(dāng)m=-5或m=2時(shí)，圓C與圓G外切；當(dāng)-2<mv-1時(shí)，圓C與圓C2內(nèi)含.例 4 (12 分)已知點(diǎn) P (0, 5)及圓 C: x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直線I過P且被圓c截得的線段長(zhǎng)為4v3,求I的方程;(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解 （1）方法一 如圖所示，AB=4j3, D是 AB 的中點(diǎn)，CD, AB, AD=2 J3 ,圓 x2+y2+4x-12y+24=0 可化為(x+2) 2

16、+ (y-6) 2=16,圓心 C (-2, 6),半徑 r=4,故 AC=4, 在RtACD中，可得 CD=2.設(shè)所求直線的斜率為 k,則直線的方程為y-5= kx,即 kx- y+5=0.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式： 2k 6 5 =2 ,得k=_3. k2 ( 1)24此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0.又直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)方程為 x=0.則 y2-12y+24=0,¥=6+2 73 »=6-2 戶，:yz-yi=4 73 ,故x=0滿足題意.;所求直線的方程為 3x-4 y+20=0或x=0.方法二 設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為 y-5=kx,即

17、y=kx+5,聯(lián)立直線與圓的方程y kx 5,x2 y 4x 12y 24 0消去 y 得(1+k2) x2+(4-2 k)x-11=0 xi設(shè)方程的兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得2k 4x21 k24分6分8分2分4分11 x221 k由弦長(zhǎng)公式得1 k2 | x1-x2|= .'(1 k2)(x1 x2)2 4x2 4 3,將式代入，解得k=-,此時(shí)直線的方程為 3x-4y+20=0.4又k不存在時(shí)也滿足題意，此時(shí)直線方程為x=0.;所求直線的方程為 x=0或3x-4y+20=0.8分(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為 D (x,y), 則CD,PD,即CD - PD =0,

18、(x+2,y-6) (x, y-5)=0,化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11 y+30=0.3.求過點(diǎn)P (4,-1)且與圓C: x2+y2+2x-6y+5=0切于點(diǎn)M (1, 2)的圓的方程.解 方法一 設(shè)所求圓的圓心為 A (mn),半徑為r,則AMC三點(diǎn)共線，且有|MA=|AP|=r,因?yàn)閳A C: x2+y2+2x-6y+5=0 的圓心為 C (-1 , 3),n 22 3則 m 11 1,(m 1)2 (n 2)2(m 4)2 (n 1)2 r解彳導(dǎo) m=3, n=1, r = 5 ,所以所求圓的方程為(x-3) 2+( y-1) 2=5.方法二 因?yàn)閳AC: x2+y2+2x-6y+5=0過點(diǎn)M (1, 2)的切線方程為 2x