第十三章微分方程建模

1、第十三章 微分方程建模微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因為許多實際問題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微 分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以 下幾步：1. 根據(jù)實際要求確定要研究的量 （ 自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等 ） 并確定坐標(biāo)系2. 找出這些量所滿足的基本規(guī)律 （ 物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等 ） 。3. 運用這些規(guī)律列出方程和定解條件。列方程常見的方法有：（ i ）按規(guī)律直接列方程 在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律已為人們所熟悉， 并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等。我們常利用 這些規(guī)律對某

2、些實際問題列出微分方程。（ ii ）微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法 自然界中也有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過變量的微元之間的關(guān)系式來表達(dá)的。對 于這類問題，我們不能直接列出自變量和未知函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系式，而是通過 微元分析法， 利用已知的規(guī)律建立一些變量 （自變量與未知函數(shù)） 的微元之間的關(guān)系式， 然后再通過取極限的方法得到微分方程，或等價地通過任意區(qū)域上取積分的方法來建立 微分方程。（ iii ）模擬近似法 在生物、經(jīng)濟等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚而且相當(dāng)復(fù)雜，因而需 要根據(jù)實際資料或大量的實驗數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)。在一定的假設(shè)下，給出實際現(xiàn)象所 滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)

3、的數(shù)學(xué)方法列出微分方程。在實際的微分方程建模過程中， 也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。 不論應(yīng)用哪種方法， 通常要根據(jù)實際情況，作出一定的假設(shè)與簡化，并要把模型的理論或計算結(jié)果與實際情 況進(jìn)行對照驗證，以修改模型使之更準(zhǔn)確地描述實際問題并進(jìn)而達(dá)到預(yù)測預(yù)報的目的。本章將利用上述方法討論具體的微分方程的建模問題。 1 發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭 采用運載火箭把人造衛(wèi)星發(fā)射到高空軌道上運行，為什么不能用一級火箭而必須用 多級火箭系統(tǒng)？下面通過建立運載火箭有關(guān)的數(shù)學(xué)模型來回答上述問題。 火箭是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，為了使問題簡單明了，我們只從動力系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)上分 析，并且假設(shè)引擎是足夠強大的。1.1 為什么不能

4、用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星 下面用三個數(shù)學(xué)模型回答這個問題 1.1.1 衛(wèi)星進(jìn)入 600km 高空軌道時，火箭必須的最低速度 首先將問題理想化，假設(shè)：（i ）衛(wèi)星軌道是以地球中心為圓心的某個平面上的圓周，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞地球作平面勻速圓周運動；（ii）地球是固定于空間中的一個均勻球體，其質(zhì)量集中于球心；（iii ）其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計。建模與求解：設(shè)地球半徑為 R，質(zhì)量為M ；衛(wèi)星軌道半徑為r，衛(wèi)星質(zhì)量為m。GMm2- r根據(jù)假設(shè)（ii）和（iii ），衛(wèi)星只受到地球的引力，由牛頓萬有引力定律可知其引 力大小為(1)其中G為引力常數(shù)為消去常數(shù)G，把衛(wèi)星放在地球表面，則由

5、（1）式得GMm.廠2mg 2 或 GM = R g R（2）V，則其向心力為mv2/r，再代入(1)式，得 其中g(shù) =9.81（m/s2）為重力加速度。根據(jù)假設(shè)（i），若衛(wèi)星圍繞地球作勻速圓周運動的速度為 因為衛(wèi)星所受的地球引力就是它作勻速運動的向心力，故有-155-(3)mg2 mvr由此便推得衛(wèi)星距地面為（r R）km，必須的最低速度的數(shù)學(xué)模型為v取 R= 6400km， r - R = 600km，代入上式，得v : 7.6km/s即要把衛(wèi)星送入離地面600k m高的軌道，火箭的末速度最低應(yīng)為7.6km/s1.1.2火箭推進(jìn)力及升空速度火箭的簡單模型是由一臺發(fā)動機和一個燃料倉組成。燃料

6、燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭 末端噴出，給火箭一個向前的推力?；鸺w行要受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)與公 轉(zhuǎn)等的影響，使火箭升空后作曲線運動。為使問題簡化，假設(shè)：（i ）火箭在噴氣推動下作直線運動，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計。（ii ）在t時刻火箭質(zhì)量為m（t），速度為v（t），且均為時間t的連續(xù)可微函數(shù)；（iii ）從火箭末端噴出氣體的速度（相對火箭本身）為常數(shù) U。建模與分析：由于火箭在運動過程中不斷噴出氣體，使其質(zhì)量不斷減少，在（t,tt）內(nèi)的減少量可由臺勞展式表示為（4）則由動量守恒定律有m（t：t）m（t） =：t o（ ：t）dt因為噴出的氣體相對于地球的速度為v（t）-u ，-

7、157-(6)(5)m（t）v（t）二 m（t =t）v（t =t） - d t o（ ：t） （v（t） - u）-dt從（4）式和（5）式可得火箭推進(jìn)力的數(shù)學(xué)模型為dvdmmu dtdt令t =0時，v（0） =vo, m（0）=m，求解上式，得火箭升空速度模型(7)(7)v（t）二 v0 u In-m（t）（6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度與噴氣速度（相對火箭）的乘積。式表明，在Vo,m 定的條件下，升空速度v（t）由噴氣速度（相對火箭）u及質(zhì)量比m/m（t）決 定。這為提高火箭速度找到了正確途徑： 從燃料上設(shè)法提高u值；從結(jié)構(gòu)上設(shè)法減少m（t）。1.1.3 一級火箭末速度上限火箭

8、一衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分：叫（有效負(fù)載，如衛(wèi)星），mF （燃料質(zhì)量），ms （結(jié)構(gòu)質(zhì)量，如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。一級火箭末速度上限主要是受目前技術(shù)條件的限制，假設(shè)：（i ）目前技術(shù)條件為：相對火箭的噴氣速度u = 3km/s及ms JmF ms 9（ii ）初速度v。忽略不計，即v。=0。建模與求解：因為升空火箭的最終（燃料耗盡）質(zhì)量為mp ms，由（7）式及假設(shè)（ii ）-159-得到末速度為(8)(9).mov = ul n mp msm令 ms V(mF - ms) V(m - mp)，代入上式，得v = uln 入 m +（1 -k）mp于是，當(dāng)衛(wèi)星脫離火箭，即mp=O時，便得

9、火箭末速度上限的數(shù)學(xué)模型為.1=u In由假設(shè)（i ）,取u=3km,幾=9，便得火箭速度上限V0 =31 n 9 ： 6.6 km/s因此，用一級火箭發(fā)射衛(wèi)星，在目前技術(shù)條件下無法達(dá)到相應(yīng)高度所需的速度。 1.2理想火箭模型從前面對問題的假設(shè)和分析可以看出：火箭推進(jìn)力自始至終在加速著整個火箭，然 而隨著燃料的不斷消耗，所出現(xiàn)的無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在隨之不斷加速，作了無用功，故效 益低，浪費大。所謂理想火箭，就是能夠隨著燃料的燃燒不斷拋棄火箭的無用結(jié)構(gòu)。下面建立它的 數(shù)學(xué)模型。假設(shè)：在（t,r：t）時段丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燒掉的燃料質(zhì)量以：與的比例同時進(jìn)行-#-建模與分析：由動量守恒定律，有dm . t

10、 v（t） dt一（1 -：）呃:t （v（t） - u） 0（ ：t） dt由上式可得理想火箭的數(shù)學(xué)模型為/+、dv（t）-m（t）-dtm(t)v(t)二 m(t =t)v(t=t)dm=(1 _ ： ) u dt(10)v(0)=0 ,m(0) = mg-161-#-解之得（11）mp，從而最終速度m0 v（t）=（1-： ）uln0-m（t）由上式可知，當(dāng)燃料耗盡，結(jié)構(gòu)質(zhì)量拋棄完時，便只剩衛(wèi)星質(zhì)量 的數(shù)學(xué)模型為v（t） =（1 -： ）uln皿（12）mp（12）式表明，當(dāng)mg足夠大時，便可使衛(wèi)星達(dá)到我們所希望它具有的任意速度。例如，考慮到空氣阻力和重力等因素，估計要使v = 10.5

11、km/s才行，如果取u = 3km/s，- =0.1，則可推出m0/mp =50,即發(fā)射1噸重的衛(wèi)星大約需 50噸重的理想火箭。1.3多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)理想火箭是設(shè)想把無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以達(dá)到最佳的升空速度，雖然這在目前的 技術(shù)條件下辦不到，但它確為發(fā)展火箭技術(shù)指明了奮斗目標(biāo)。目前已商業(yè)化的多級火箭 衛(wèi)星系統(tǒng)便是朝著這種目標(biāo)邁進(jìn)的第一步。多級火箭是從末級開始，逐級燃燒，當(dāng)?shù)趇級燃料燒盡時，第i 1級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級。我們用mi表示第i級火箭質(zhì)量，mp表示有效負(fù)載。為了簡單起見，先作如下假設(shè)：（i ）設(shè)各級火箭具有相同的-，mi表示第i級結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（1- - ）mi表示第

12、i級的燃料質(zhì)量。（ii）噴氣相對火箭的速度u相同，燃燒級的初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變， 記該比值為k。先考慮二級火箭。由（7）式，當(dāng)?shù)谝患壔鸺紵陼r，其速度為mi m2 mpk 1W = uln .ulnE+mz+mpk+1在第二級火箭燃燒完時，其速度為(13)v2 =切 +uln 叫 *mp =2山n m2 mpk 1對于二級火箭，仍取u=3km/s，一o.1，考慮到阻力等因素，為了達(dá)到第一宇宙速度， 欲使 V2 =10.5km/s，由（13）式得k +10.1k 16l=10.5解之得k =11.2 ,這時m0mum2mp=(k 1)2 ： 149mpmp同理，可推出三級火箭V3

13、二 3u In欲使 V3 =io.5km/s,應(yīng)該 k : 3.25，從而 m0/mp : 77。與二級火箭相比，在達(dá)到相同效果的情況下，三級火箭的質(zhì)量幾乎節(jié)省了一半?，F(xiàn)記n級火箭的總質(zhì)量（包括有效負(fù)載mp）為m0，在相同假設(shè)下（u = 3 km/s，末=10.5km/s，扎=0.1），可以算出相應(yīng)的mo/mp值，現(xiàn)將計算結(jié)果列于下表中:n （級數(shù)）12 345OOm 他X149776560 50實際上，由于受技術(shù)條件的限制，采用四級或四級以上的火箭，經(jīng)濟效益是不合算 的，因此采用三級火箭是最好的方案。1.4 最佳結(jié)構(gòu)設(shè)計F面我們將考慮當(dāng)用n級火箭發(fā)射衛(wèi)星時的最佳結(jié)構(gòu)，即使m/mp最小的結(jié)構(gòu)-

14、163-wj = m 二葉 m2 - mnmpw2 = m2 亠 亠 mnmpwn 1 = mpk,w2knWnWn 1=ulnWn+w2入mn +wn卅丿由于mij訴_w2 ,m2 二 w2 _ w3 ,mn=wn_wn1,可以推出=ulnkikn (ki -1)1kn -1)+1 丿易知匹二 k*2 knmp則最佳結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為mink2knS.t.k1k2kn (k1 -1)1f (kn -1)1-#-可以推出當(dāng)kk十時，m0最小mp 2人口模型2.1 問題提出據(jù)考古學(xué)家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有20億年，而人類的出現(xiàn)距今卻不足 200萬年?？v觀人類人口總數(shù)的增長情況，我們發(fā)現(xiàn)：100

15、0年前人口總數(shù)為 2.75億。經(jīng)過漫長的過程到1830年，人口總數(shù)達(dá)10億，又經(jīng)過100年，在1930年，人口總數(shù)達(dá) 20 億；30年之后，在1960年，人口總數(shù)為 30億；又經(jīng)過15年，1975年的人口總數(shù)是 40 億，12年之后即1987年，人口已達(dá) 50億。我們自然會產(chǎn)生這樣一個問題：人類人口增長的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學(xué)上描述這 一規(guī)律。2.2 Malthus 模型1789年，英國神父 Malthus在分析了一百多年人口統(tǒng)計資料之后，提出了 Malthus 模型。模型假設(shè)（i ）設(shè)x（t）表示t時刻的人口數(shù)，且x（t）連續(xù)可微。（ii）人口的增長率r是常數(shù)（增長率=出生率一死亡率）。（i

16、ii ）人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中個體的生育和死亡，且每一個體都具有同樣的生育能力與死亡率 建模與求解由假設(shè)，t時刻到t rt時刻人口的增量為x(t =t) -x(t) = rx(t) = t于是得dxrx dt(14)x(0) = x。其解為x(t)二 Xoe(15)模型評價考慮一百多年來人口增長的實際情況，1961年世界人口總數(shù)為3.06 109，在 196仆1970年這段時間內(nèi)，每年平均的人口自然增長率為2%則（15）式可寫為x(t) 3.06 109 e002(t 4961)(16)根據(jù)1700 /-1961年間世界人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)與（1

17、6）式的計算結(jié)果相當(dāng)符合。因為在這期間地球上人口大約每35年增加1倍，而（16）式算出每34.6年增加1倍。但是，當(dāng)人們用（15）式對1790年以來的美國人口進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)有很大差異。利用（16）式對世界人口進(jìn)行預(yù)測， 也會得出驚異的結(jié)論：當(dāng)t = 2670年時，x（t） = 4.4 1015，即4400萬億，這相當(dāng)于地球上每平方米要容納至少20人。顯然，用這一模型進(jìn)行預(yù)測的結(jié)果遠(yuǎn)高于實際人口增長，誤差的原因是對增長率r的估計過高。由此，可以對 r是常數(shù)的假設(shè)提出疑問。2.3 阻滯增長模型(Logistic 模型)如何對增長率r進(jìn)行修正呢？我們知道，地球上的資源是有限的，它只能提供一定數(shù)量的生

18、命生存所需的條件。隨著人口數(shù)量的增加，自然資源、環(huán)境條件等對人口再增長 的限制作用將越來越顯著。如果在人口較少時，我們可以把增長率r看成常數(shù)，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量之后，就應(yīng)當(dāng)視r為一個隨著人口的增加而減小的量，即將增長率r表示為人口 x(t)的函數(shù)r(x)，且r(x)為x的減函數(shù)。模型假設(shè)(i )設(shè)r(x)為x的線性函數(shù)，r(x)=rsx。(工程師原則，首先用線性)(ii )自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為xm，即當(dāng)X = Xm時，增長率r(Xm) = 0。建模與求解由假設(shè)(i)， ( ii )可得r(x) =r(1 - x )，則有Xm了-dx “ x、d?=r( _m)x，(

19、17)( 17)式Xto) =X是一個可分離變量的方程，其解為(18)(19)xm x(t)=m1 (心-l)e(t0) Xo模型檢驗由(17)式，計算可得d x2 x2x、2 =r (1)(1)xdtxmxm人口總數(shù)x(t)有如下規(guī)律：(i) lim X(t)=Xm，即無論人口初值Xm如何，人口總數(shù)以Xm為極限。t(ii )當(dāng)0 ： x0 ： xm時，= r( )x 0，這說明x(t)是單調(diào)增加的，又由(19)式知： dtXm2 2當(dāng)x：業(yè)時，雪.0， X = x(t)為凹，當(dāng)X也時，雪：0，X=x(t)為凸。2? dt22 dt2(iii )人口變化率 空在時取到最大值，即人口總數(shù)達(dá)到極限

20、值一半以前是加dt2速生長時期，經(jīng)過這一點之后，生長速率會逐漸變小，最終達(dá)到零。與Malthus模型一樣，代入一些實際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗算，若取1790年為“鮎,x 3.9 106，Xm =197 106，r =0.3134可以看出，直到1930年，計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)都能較好地吻合，在 1930年之后，計算與實際偏差較大。原因之一是60年代的實際人口已經(jīng)突破了假設(shè)的極限人口 Xm，由此可知，本模型的缺點之一就是不易確定Xm。2.4 模型推廣-169-可以從另一個角度導(dǎo)出阻滯增長模型，在Malthus模型上增加一個競爭項 bx2(b 0),它的作用是使純增長率減少。如果一個國家工業(yè)化程度較高，食品供應(yīng)較

21、充足，能夠提 供更多的人生存，此時b較小；反之b較大，故建立方程x(a - bx) dtx(to ) = xo.(a,b 0),(20)其解為ax。x(t) bx0 (a-bxo)ed(to)由(21)式，得d 2x2 (a -2bx)(a -bx)x dt對(20)(22)式進(jìn)行分析，有(i )對任意 t t0，有 x(t) 0，且 lim x(t)(21)(22)(ii遞減。當(dāng)0：x：旦時，x(t) 0， x(t)遞增；當(dāng)x二旦時，bbx(t)=0 ； 當(dāng) x(t)-時，x(t) ： 0，x(t)b(iiix(t) 0，x(t)為凹，當(dāng)卜/ Pxx0丿出丿h(25)式是y方占優(yōu)勢的條件。若

22、交戰(zhàn)雙方都訓(xùn)練有素，且都處于良好的作戰(zhàn)狀態(tài)。貝Urx與ry, Pz與Py相差不大，(25)式右邊近似為1。(25)式左邊表明，初始兵力比例被平方地 放大了。即雙方初始兵力之比也，以平方的關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局。比如說，如果y方X。的兵力增加到原來的 2倍，x方兵力不變，則影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局的能力將增加4倍。此時，x方要想與y方抗衡，須把其士兵的射擊率rx增加到原來的4倍(px,ry,py均不變)。以上是研究雙方之間兵力的變化關(guān)系。下面將討論每一方的兵力隨時間的變化關(guān)系對(24)式兩邊對t求導(dǎo)，得d2xdt2=abxdy-a -即初始條件為d2xdt2-abx=0(27)dt-177-#-解之，得同

23、理可求得x(0) = xo, dxdtx(t) = xoch(labt) -恵 yoshab t)V by(t)的表達(dá)式為y(t) = yochabt.if xosh(V0bt) a3.2 模型二游擊戰(zhàn)模型模型假設(shè)-#-（i ） y方士兵看不見x方士兵，x方士兵在某個面積為Sx的區(qū)域內(nèi)活動。y方士兵不 是向x方士兵射擊，而是向該區(qū)域射擊。此時，x方士兵的戰(zhàn)斗減員不僅與 y方兵力有關(guān)，而且隨著x方兵力增加而增加。因為在一個有限區(qū)域內(nèi)，士兵人數(shù)越多，被殺傷的可能 性越大?？稍O(shè)，x方的戰(zhàn)斗減員率為cxy，其中c為y方戰(zhàn)斗效果系數(shù)，c二初丫二口也，其中Sxr仍為射擊率，命中率Py為y方一次射擊的有效面

24、積（S ）與x方活動面積（Sx ）之比 假設(shè)（ii），（ iii ）同模型一的假設(shè)（ii），（ iii ）。模型與求解 由假設(shè)，可得方程dx丄(28)=_cxy _x + u(t) dt業(yè)=-dxy -舟+v(t)其中d FPx 7字是x方戰(zhàn)斗效果系數(shù)。Sy式容易求解，可以做一些簡化：設(shè)交戰(zhàn)雙方在作戰(zhàn)中均無非戰(zhàn)斗減員為了使（28）和增援。此時，有dx=-cxy dtdy一 =-dxy(29)-179-兩式相除，得dydx c-#-其解為c（y -y。）=d（x -X。）令l =cy。-dx。，上式可化為cy - dx =丨當(dāng)丨=0，雙方打成平局。當(dāng)丨。時，（30）y方獲勝。當(dāng)0時，x方獲勝。-

25、#-#-y方獲勝的條件可以表示為Yoxx Srx Sxr S S1 y ry yUy與有效射擊面積即初始兵力之比 匹以線性關(guān)系影響戰(zhàn)斗的結(jié)局。當(dāng)雙方的射擊率 XoSrx,Sry 一定時，增加活動面積 Sy與增加初始兵力起著同樣的作用3.3 模型三混合戰(zhàn)模型模型假設(shè)（i） x方為游擊隊，y方為正規(guī)部隊。（ii）交戰(zhàn)雙方均無戰(zhàn)斗減員與增援。模型與求解借鑒模型一與二的思想，可得-181-dx一 =-cxydt嚴(yán)7x dtx(O) = x,y（o）=y。其解為其中 m = cy - 2bx0。2cy -2bx 二 m(32)-#-經(jīng)驗表明，只有當(dāng)兵力 也遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時，正規(guī)部隊y才能戰(zhàn)勝游擊隊。當(dāng)m 0

26、時，Xo2hPxSxr y Sry X o方勝，此時(33)一般來說，正規(guī)部隊以火力強而見長，游擊隊以活動靈活，活動范圍大而見長。這 可以通過一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。不妨設(shè)Xo TOO，命中率Px =0.1，活動區(qū)域的面積Sx=io6mt y方有效射擊面積ry 2Srym，則由（33），y方取勝的條件為-183-K 22 o.1 o.1106 =100x02 1 100yo 1Oxo , y方的兵力是x方的10倍。美國人曾用這個模型分析越南戰(zhàn)爭。根據(jù)類似于上面的計算以及四五十年代發(fā)生在 馬來亞、菲律賓、印尼、老撾等地的混合戰(zhàn)爭的實際情況估計出，正規(guī)部隊一方要想取 勝必須至少投入8倍于游擊部隊一方

27、的兵力，而美國至多只能派出6倍于越南的兵力。越南戰(zhàn)爭的結(jié)局是美國不得不接受和談并撤軍，越南人民取得最后的勝利。3.4 模型四一個戰(zhàn)爭實例J. H. Engel用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役中的美軍戰(zhàn)地記錄，對正規(guī)戰(zhàn)爭模型進(jìn)行了驗證，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果與實際數(shù)據(jù)吻合得很好。硫黃島位于東京以南 660英里的海面上，是日軍的重要空軍基地。美軍在 1945年2 月開始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一個月，雙方傷亡慘重，日方守軍21500人全部陣亡或被俘，美方投入兵力 73000人，傷亡20265人，戰(zhàn)爭進(jìn)行到28天時美軍宣布占領(lǐng)該島， 實際戰(zhàn)斗到36天才停止。美軍的戰(zhàn)地記錄有按天統(tǒng)計的戰(zhàn)斗減員和增援情況。日軍沒有后援

28、，戰(zhàn)地記錄則全部遺失。用A(t)和J(t)表示美軍和日軍第t天的人數(shù)，忽略雙方的非戰(zhàn)斗減員，則-#-dA(34)dtA(0) =0, J (0) =21500美軍戰(zhàn)地記錄給出增援率 u(t)為54000,0 蘭 t v 16000,2 蘭 t 3u(t)二13000,5 蘭tv 60,其它并可由每天傷亡人數(shù)算出A(t) , t =1,2,36F面要利用這些實際數(shù)據(jù)代入(34)式，算出A(t)的理論值，并與實際值比較。利用給出的數(shù)據(jù)，對參數(shù) a,b進(jìn)行估計。對(34)式兩邊積分，并用求和來近似代替 積分，有ttA(t) - A(0) J( ) u( )( 35)w皆tJ(t) _ J(0) = -b A( )(36)136為估計b在(36)式中取t=36，因為J(36)=0，且由A(