初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何模型專題講解14---對(duì)頂角三角形

1、初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)幾何模型專題講解專題14對(duì)頂角三角形一、解答題1.閱讀材料:如圖1, A8、CD交于點(diǎn)、O,我們把AO。和 8OC叫做對(duì)頂三角形.結(jié)論：若 AO。和 8OC是對(duì)頂三角形，則NA+NO=N8+NC.結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即NA+N8+NACE+NAD8+NE的度數(shù).解：連接C。，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：ZB+ZE=Z1 + Z2,在AC。中，NA+NACO+NAOC=180。，即 NA+N3+N 1+N2+N4= 180°,/. ZA+ZACE+ZB+ZE+ADB= 180°即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180。.解決問題：(1)如圖，ZA+ZB+

2、ZC+ZD+ZE+ZF=_；(2)如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=_；(3)如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=_；(4)如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+ZN=請(qǐng)你從圖或圖中任選一個(gè)，寫出你的計(jì)算過程.【分析】(1)連接C。，山對(duì)頂角三角形可得N4+N8=N5OC+N4CO,再由四邊形的內(nèi)角 和定理得出結(jié)論：(2)連接E。，由對(duì)頂角三角形可得NA+N8=N8E£>+NADE,再由五邊形的內(nèi)角和 定理得出結(jié)論；(3)連接6"、OE,由對(duì)頂角三角形可知再根據(jù) 五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論：(4)連接NO、NE,由

3、對(duì)頂角三角形可知N1 + N2=NNGH+NEHG,再由六邊形的 內(nèi)角和定理得出結(jié)論.【詳解】解：(1)連接 8,由對(duì)頂角三角形可得N4 + N8=N83C+N4CZ),則NA + N8+NC+ ZD+ZE+ZF=360°；(2)連接ED,由對(duì)頂角三角形可得NA + N8=N8E£>+NA£>石，則N4 + N3+NC+ZD+ NE+ ZF4- ZG=540°；(3)連接 5"、DE,丁 III對(duì)頂角三角形可知/EBH+ /BHD= /HDE+ /BED, ：.NA+ N8+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF+ NG+ /"=

4、五邊形 CDEFG 的內(nèi)角和 十 4 ABH的內(nèi)角和=540° +180° = 720° ；(4)連接 N。、NE,由對(duì)頂角三角形可知Z1 + N2= NNGH+ ZEHG,：.ZA + N8+ ZC+ ZD+ NE+ ZF+ ZG+ Z/7+ ZM+ NN=六邊形 BCFGHM 的內(nèi)角和+ Zk4NO的內(nèi)角和+ /XNOE 的內(nèi)角和=(6-2) x 180°+360°= 1080°,故答案為:360°； 540°； 720°； 1080°.10/13利用AOO和8OC叫做對(duì)(3)如圖,540&

5、#176;圖【點(diǎn)睛】 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線, 頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關(guān)鍵.2 . (1)如圖，求NA+N8+NC+N0+NE+N/的度數(shù);(2)如圖,求NA+N3+NC+NO+NE+NF+NG+N”的度數(shù);求NA+N3+NC+NO+NE+NF+NG 的度數(shù).【分析】（1）連接40,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得N5+NC=N84O+NCD4,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形A8CQEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形48CDE的內(nèi)角和.【詳解】解：（1）如圖，連接A。，由三角形的內(nèi)角和定

6、理得，ZB+ ZC= ZBAD+ZCDA,，NBA/ + N8+ ZC+ ACDE+ ZE+ ZF= ZBAF+ ABAD+ NCZM+ NO+ ZE+NF即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360。，J N8AE+ N8+ NC+ NCDE+ ZE+ ZF=360°,（2）如圖，由（1）方法可得：ZBAH+ N8+ NC+ NO+ ZE+ NEFG+ ZG+ ZH 的度數(shù)等于六邊形 ABCDEF 的內(nèi)角和，A ZBAH+ ZB+ ZC+ ZD+ ZE+ ZEFG+ ZG+ ZH= （6-2） x 180° = 720°,（3）如圖，根據(jù)（1）的方法得，NF

7、+NG=NG4E+NFE4,N84G+ ZB+ZC+ ZD+ ZDEF+ ZF+ ZG的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，A ZBAG+ ZB+ ZC+ ZD+ ZDEF+ ZF+ ZG= （5-2） x 180°=540°,【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵.3 .如圖，求NA+NB+NC+NO+NE+N/+NG+NH+NK的度數(shù).【答案】540?！痉治觥咳鐖D所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：NA+NB=NL, ZC+ZD=ZMLJ, NH+NK=NG，NE+NF=NGML,然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案.【詳解】解：如圖

8、所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：ZA+ZB=ZIJL, NC+ND=NMLJ, NH+NK=NGIJ,NE+NF=NGML,.NA+ N8+ ZC+ NO+ NE+ ZF+ NG+ Z/7+ NK= NL+ NMU+ NGML+NG+NG"= (5-2) xl80° = 3xl80°=540°.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵4 .如圖，求六個(gè)角的和.【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)可得：NG+NO=N3, ZF+ZC=Z4, NE+NH=N2,再根

9、據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】解：VZG-FZ£)=Z3, NF+NC=N4, ZE+Z/7=Z2,/. NG+ NO+ ZF-F ZC+ ZE+ NH= N3 + N4+ Z2,./8+N2+N 1 = 180。，N3+N5 + NA=180°,J NA+ NB+ N2+ Z4+ Z3 = 360°,J NA + NB+ ZC+ N£>+ ZE+ N尸+ NG+ Z77=360°.此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相 鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.5.如圖，在直角AABC中，6。是NA8C的平分線，NB

10、AO = 3NO4。,A。的延長(zhǎng)線與 N3DC的平分線交于點(diǎn)尸，求N尸的度數(shù).【答案】" = 22.5?！窘馕觥俊痉治觥吭O(shè) NOAO = x。，則"AO = 3x。，ZABO = 450-2x°, NO。b=22.5。+*。，根據(jù)三角形A8O與三角形。FO的內(nèi)角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案.【詳解】解：設(shè) NOAO = x。，則 NBAO = 3x。，在直角 AABC 中，ZA5C = 90°-4x°, 8。是乙48c的平分線，ZABO = 45°-2a°,在宜角 AP8C 中，ZODF = 22.5°

11、+x°.,? ZOAB+AOBA + ZAOB = ZODF + ZF+ZFOD =180°,乂 ,? ZAOB = ZFOD, NOAB+/OBA = Z.ODF + NF,B|J 3x°+45° - 2x° = 22.5°+j°+ZF,，ZF = 22.5°.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識(shí).根據(jù)對(duì)頂三角形構(gòu)建方程是 解題的關(guān)鍵.6 .如圖所示，求NA + NB + NC+NO+NE+N/的度數(shù).【答案】360。.【解析】【分析】首先利用三角新的外角的性質(zhì)，然后根據(jù)多邊形的外角和定理

12、即可求解.【詳解】解：VZ1=ZA+ZB, Z2=ZC+ZD, N3=NE+NF,XVZ1+Z2+Z3=36O°,，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°.本題考查了三角形的外角的性質(zhì)以及多邊形的外角和是360°,理解定理是關(guān)鍵.7 .如圖，求NA + 4 + NC+NO+NE+N尸的度數(shù)./f【答案】ZA + ZB + ZC+ZD+ZE+ZF = 360°.【解析】【分析】連接CO,將NA + N8+NC+NQ+NE+N尸轉(zhuǎn)化為四邊形COEF的內(nèi)角和即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，連接CDIII對(duì)頂三角形得，ZA + ZB = ZACD+ZB

13、DCf, ZA + ZB + ZC+ZD+ZE+ZF = ZCDE+ZDCF + ZE+ZF = 360°.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形、四邊形的內(nèi)角和定理、對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí).將所求角的度數(shù)和轉(zhuǎn)化 為四邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.8 .如圖，求NA + NB + NC + ND+NE的度數(shù).【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解【詳解】解：連結(jié)3E,BC與DE相交成對(duì)頂三角形，:.ZC+ZD = ZCBE+ZDEB,:.ZA + ZABC+ZC+ZD+ZAED = ZA+ZABC+ZCBE+ZDEB+ZAED= ZA+ZABE+ZAEB = SO°【點(diǎn)睛】本題主要考查三角

14、形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9 .如圖，ZF = 300,求 NA + 4 + NC+ND+NE 的度數(shù).【答案】330。.【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解【詳解】解：在-ABM 中，ZA + ZB+Z3=?80°在 eCDP 中，ZC+ZD+Z1 =?80°在EFN 中，ZE+ZF + Z2=?80°在-PNM 中，Zl + Z2+Z3=T80°工 ZA+ZB+N3+NC+NO+N1 + ZE+NR+N2=340。VZF = 30° ZA+ZB+ZC+ZD+ZE =330°【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角

15、和定理，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵二、填空題10.如圖，求NA+N8+NC+ND+NE+N/+NG+NH+N/=_.【答案】900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案.【詳解】解：連E凡G/,如圖CD:6邊形48coEFK的內(nèi)角和=(62) x 180° = 720°,/. NA+ NB+ ZC+ N£>+ ZE+ N 尸=720° (Z1 + Z2),即 N4+N8+NC+N£>+NE+N/+ (Z1 + Z2) =720°,VZ1 + Z2=Z3+Z4, N5+N6+N=180。，A ZA+ ZB+ Z

16、C+ ZD+ ZE+ ZFZH+ (N3+N4) =900°,/. ZA4- ZB+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF (Z3+Z4) + N5 +N6+NH=7200+180°, NA+ NB+ NC+ ZD+ ZE+ NF+ NG+ N+ N/=900。，故答案為：900°.【點(diǎn)睛】本題考查了邊形的內(nèi)角和定理：邊形的內(nèi)角和為(h-2) X 1800 (/3的整數(shù)).11.如圖，N4+N8+NC+NO+NE+N尸+NG+N/7+N/+NK的度數(shù)為【答案】1080°【分析】連心，GI,根據(jù)邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形A8C0EFK的內(nèi)角和=(7-2) x180

17、°=900% 則NA+N8+NC+NO+NE+N尸+NK+ (Z1 + Z2) =900°,由三角形內(nèi)角和定理可得到N1 + N2=N3+N4, N5+N6+N= 180。，則NA+N8+NC+ZD+ZE+ZF4-Z/C+ (Z3+Z4) + N5 +N6+/=900。+180。，即可得到NA +N8+ NC+ ZD+ ZE+ ZF+ NG+ NH+ N/+ NK 的度數(shù).【詳解】 .7 邊形48C0EFK的內(nèi)角和=(7-2) x 180°=900°, NA+ N6+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF+ NK=900。一 (Z1 + Z2),即 NA + N6+NC+NO+NE+NF+NK+ (Z1 + Z2) =900°,VZ14-Z2=Z3+Z4, N5+N6+N=180。，