高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題限時集訓(xùn)8空間向量與立體幾何理

1、-7 -專題限時集訓(xùn)（八）空間向量與立體幾何專題通關(guān)練（建議用時：20分鐘）AiC的中模)在直三棱柱 ABCABiCi, / BCA= 90° , M N分別是 ABb.£點，BC= AO CC= 1,則AN與BM所成角的余弦值為（）1A.102C.5D 建立如圖所示的空間直角坐標系:則 A(1,0,0) , B(0,1,0)'2，212，。，1 !,BMM=12, 1cosAN BMAN- BMI AN BM1 1-2X2+14+0+1X114+4+13430苴x范10 .22故選D.2.二面角的棱上有 A, B兩點，直線AC BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，

2、且都垂直于AB已知 AB= 2, AO 3, BD= 4, CD=/,則該二面角的大小為 （）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°， 一 _.一 DLT>, 一C 由已知可得CA- AB= 0, AB- BD= 0,如圖， CD=C/VAB+ BQ 1 Cid2=(CAAb+ BD)2= |CA2+|AB2+| bd2+2Cav Ab+ 2AB be>2亦 bd= 32 + 22 + 42+ 2 X 3 X 4cos Ck BD> =(師)： 1 一 .cosCA BD = 2,即CA BD =120 ,，所求二面角的大小

3、為 60° ,故選C.3. (2018 全國卷I )在長方體 ABCDABCD中，AB= BO2, AC與平面BBCC所成的角 為30° ,則該長方體的體積為 ()A. 8C. 8 2D. 8 3C 在長方體 ABCDABCQ中，ABL平面BCCB,連接BC, AC,則/ ACB為直線 AC與 ，一 ，AB平面 BBCC 所成的角，/ACB= 30 .又 AB= BC= 2,所以在 RtABC 中，BC=2g tan / ACB "在RtA BCC中，CC=q 納 2_22 = 2y2,所以該長方體體積 V= BO CCx AB= 8>/2.4 .(2019

4、 汕頭模擬)如圖，在正方體 ABCDABCD中，M N分別是BC, CD的中點，則 下列判斷錯誤的是()A. MNL CCB. MNL平面 ACCA1C. MN/平面 ABCDD. MIN/ AiBiD 在正方體 ABCEAiBGD中，M N分別是BC, CD的中點，以D為原點，DA為x軸， DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標系， 設(shè)正方體 ABCDABCD的棱長為2,則M121), N0,1,1) , C(0,2,0) , C(0,2,2) , MN= ( -1, 1,0) , CC= (0,0,2) , MIN CC= 0, .MNLCC, ， 故 A正確；A(2,0,0) , AC

5、= (2,2,0), MN AC= 0,MNLAC.AS CC= C,，MN_ 平面 AC(A1,故 B 正確；平面ABCD勺法向量n= (0,0,1), 一 一一 一 一一 一 _ 一MN- n=0,又 MN¥面 ABCD MN/平面 ABCD 故 C正確；A(0,2,2) , B(2,2,2). AB = (2,0,0),MNW A1B1不平行，故D錯誤.故選 D.5 .(2019 全國卷出)如圖，點 N為正方形 ABCD勺中心， ECD正三角形，平面 ECDL 平面ABCD M是線段ED的中點，則()A. BM= EN,且直線 BM ENf交直線B. BW EN,且直線BM &

6、#163;可相交直線C. BM= EN且直線 BM EN面直線D. BW EN,且直線 BM EN面直線B 取CD的中點Q連接ON EQ因為乙ECM正三角形，所以 EO_CD又平面ECDL 平面ABCD平面ECm平面ABCD： CD所以ECL平面 ABC似正方形 ABCD勺邊長為2,則EO =班，ON= 1,所以EN=EO+ ON= 4,得EN= 2.過M作CD的垂線，垂足為 P,連接BP,則 M2 坐，C鼻|,所以 BM= MP + BP2=斗：+，|；+22=7,得 BM=詬,所以 BWEN 連接BD BE因為四邊形 ABC西正方形，所以 N為BD的中點，即EN MB均在平面BDEJ,所以

7、 直線BM EN是相交直線，選 B.6 .一題多解如圖，AB是。的直徑，PA垂直于。所在平面，點 C是圓周上不同于 AB兩點的任意一點，且 AB= 2, PA= BC= ® 則二面角 A-BCP的大小為 .法一：（幾何法）由題意可知 ACL BC 3又PAL平面ABC PAL BC. PAH AC= A,BCL平面 PACBCL PC / PC曲二面角 A BC P的平面角.在 RtBCA中，AB= 2, BC= & AC= 1.在 RtPCA中，PA= 73, tan / PCA= 77 AC / PCA= y.法二：（坐標法）以A為原點，AP為z軸，AC為y軸，過A且垂直

8、于AC的直線為x軸, 建立空間直角坐標系，如圖所示.由AB= 2, PA= BC= 73,可知AC= 22-3 =1. R0,0 ,出），R小，1,0）, qo,i,0）,PB=（m，1, - ® PC= （0,1 , -回設(shè)平面PBC勺法向量n=（x, v，z），則|n PB= 0,n , PC= 0,取 z=1 得 n=(0, 6 1).平面ABC勺法向量m （0,0,1）設(shè)二面角A-BGP的平面角為0 ,則cos| mv n| _ 1 Iml n| =2,兀,9 =不3能力提升練（建議用時：15分鐘）7.如圖，在各棱長均為 2的正三棱柱 ABCABC中，D, E分別為棱 AB與

9、BB的中點，MN為線段GD上的動點，其中，M更靠近D,且MN= GN.(1)證明：AE，平面 ACD;(2)若NE與平面BCCB所成角的正弦值為 嚓，求異面直線BM與N即成角的余弦值.解(1)證明：由已知得 ABG為正三角形，D為棱AB的中點，:.GDI AB,在正三棱柱 ABCABG中，AA，底面 ABC, CD底面 ABC,則AACD又 ABAAA=A, AB, AA平面 ABBAi, CD，平面 ABBA,又AE平面ABEAi,GDI AiE.易證AiE± AQ又 Am CiD= D, AD, CD平面 ACD, 二AE，平面 ACD.(2)取BC的中點Q BG的中點O,連接A

10、Q則AQL BC OO1 BC OO1 AQ以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Qxyz,則 R0,i,0) , E(0,i,i),0(0, T，2),喏,2, 2 j,設(shè)CN= xcd=侵入，3入，0 j. 則 NE=C E GN= (0,2 , 一：平入,2入,0)易知n = (i,0,0)是平面BCCB的一個法向量,烏一2(T0 |cos N nr 入 26 入 +5 =20,i解得入=式負值舍去)， 3*,1一)Cm= 2入Cb=電,i, 0)BM= BC+ GM=.cos NE, BM_11 10=40，異面直線NE與BM所成角的余弦值為嗎10408.如圖，CD AB分別是圓

11、柱的上、下底面圓的直徑，四邊形ABCO邊長為2的正方形,E是底面圓周上不同于 A, B兩點的一點，AE= 1.(1)求證：BE1平面DAE(2)求二面角 CDB E的余弦值.解(1)證明：由圓柱的性質(zhì)知，DAL平面ABE又BE平面ABEBE! DA又AB是底面圓的直徑，E是底面圓周上不同于 A B兩點的一點，BE!AE又 DAO AE= A, DA AE平面 DAEBE!平面 DAE(2)過A在平面AE臥作垂直于 AB的直線，建立如圖所示的空間直角坐標系，, AB= AD= 2, AE= 1, . . BE= &.E竽,2, 0 j D(0,0,2) , B(0,2,0), 3 x/3

12、1' 一. ED=1%, -2, 2 , BD= (0, -2,2),取平面CDB勺一個法向量為n1= (1,0,0),設(shè)平面EBD勺法向量為n2=(X2, y2, Z2),n2 - ED= 0,則彳TI2 - BD= 0,Px2 y2+2z2= 0,廠即:22取Z2=1,則氏=(，3, 1,1)為平面EBD勺一個法向量.12y2+2z2= 0,m n2315cosm, n2> = -=,|m| 丘|55又易知二面角C-DBE為鈍角,，二面角GDB-E的余弦值為一平.每日押題內(nèi)容押題依據(jù)探索性問題，線面平行的性質(zhì)、線面角的求法探索性問題圖考還未考查， 可以較好的考查考 生的思維，

13、邏輯推理、運算等核心素養(yǎng)【押題】如圖，在四棱錐 P-ABCD3,底面ABCD平行四邊形，PDL平面ABCD PAAD- BD- 2, AB= 2加，E是棱PC上的一點.(1)若 PA/平面 BDE 證明：PE= EC(2)在(1)的條件下，棱PB上是否存在點 M使直線DMI與平面BD即成角的大小為30° ? 若存在，求PM： MB的值；若不存在，請說明理由.解(1)連接AC交BD于點F,連接EF,則EF是平面PACW平面BDE勺交線，因為PA/平面BDE PA平面PAC所以PA/ EF.又因為F是AC中點，所以E是PC的中點，所以PE= EC(2)由已知條件中，aD+bD= Ad,所以AD± BD以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系.一， -則 以0,0,0) ,7200) ，口0,2,0) ,R0,0,2) ,C( 2,2,0)，及一1,1,1) ,DE= (-1,1,1),DB= (0,2,0). ， ,. 假設(shè)在棱PB上存在點 M設(shè)PM= XPB：0W入W1),17得 M0,2 入，2 2 入)，DM= (0,2 入，2 2 入)，記平面BDE勺法向量為 m=(X1, y, Z1),n1 , DE= 0, X1+