高一數(shù)學(xué)等系數(shù)和線奔馳定理圓錐曲線

1、三角形“五心”的向量表示（二）旁心Z滿足-sin ALA+sin 8/了+sin CI .C = 0/Irl/Imi在月5。中，角月、仄。所對的邊分別為a、b、。，且2a二6七 0, 1分別為其外心和內(nèi)心, 求證：OILAI.證明AbOiAI(AI-AO=1 而+就就.而 (n + /，+ cn + 8 + c 八4+ + c0 + + c ) abcn +8+ c)=)-以 2 ABAB 21)cABAC+c2 AC-AC)- -) bABAO+cACAO)(。+ + 叩f 4 +。+ /71,2 J_2吐2+兒僅+片一標(biāo))_”C +”C(n + + c)2a + b + c_ bc(hc-

2、2a)2(a + + c)=0.因而原命題得證.習(xí)題1如圖，在嫉中，角A、B、0所對的邊分別為a、枚c,且D、上分別在邊？15、 月。上，且BD=CE=a, 0, Z分別為其外心和內(nèi)心，求證：01 IDE.習(xí)題21 i y- 如圖，0、G、1分別為三角形嫉的外心、重心、內(nèi)心，且月GJ_ 求證：1 + 1 = -.b c aBC圓錐曲線初步一、平行四邊形中的一些結(jié)論 在平行四邊形 3中，對角線的平方和為邊的平方和的兩倍，即 |AC|2 + |BD|2 = 2(|AB|2 + |AD|2)在此基礎(chǔ)上，得出中線長公式：在曲:中，BOa, AOb,冷c, W為5。的中點，則 有=同2 +匕乃一|a|2

3、三，b共起點。終點分別為月，&則向量三角形為/用由S = ；absinB得出向量三角形，平行四邊形面積公式： 憫bl康S 二 2二、硬解定理29設(shè)直線月6的方程為y=kx + m,與橢圓i ： 1 +京:1交于46兩點，。為坐標(biāo)原點.聯(lián)立直線與橢圓，可得(a2k2 + b2)x2 + 2kma2x + a2m2 - a2b2 = 0A = 4a2b2(a2k2 + b2 - m2) 0, El=o的距離為d=77,必使 弦長AB為則月仍的面積為SOB = 3AB卜 d 乙W、b點。到直線AB:kx - y+m當(dāng)且僅當(dāng)不行=1 京手，即+ b2 = 0)2時，取等號.三、仿射變換在求。位面積最大

4、值的問題中，若橢圓特殊為圓，那么S = psin e這$2,當(dāng)0A1_ 仍時等號成立.2-2那么對于橢圓工：十1=1，我們設(shè)X、= X,=,在新的坐標(biāo)系下得到x2 + y2 = a2 所以面積取到最大值時， 、， Ya YBkw. koB = - =- 1Xa Xb即3rAYB _ b2xaxb a2 也就是b2 koA 味=-f a-四、垂徑定理已知不過原點。的直線與橢圓捺+ = 1交于A, 6兩點，必為弦相的中點，則直線AB 與直線QV的斜率之積b2 % .卜情二- a-注一：當(dāng)&二6;r時，橢圓的垂徑定理描述的內(nèi)容即為圓的垂徑定理：注二：這里并不要求a8,也就是說此結(jié)論對焦點在x軸和焦點

5、在j，軸上的橢圓均適用；注三：雙曲線5 - 5 = 1的垂徑定理中的斜率之積b2 k&B * W or五、切線公式在任意二次曲線Ax2 + By? + Cx + Dy + F=0上一點P （如加處的切線方程為： xo + x yo + yAxqx + Byoy + C- + D + F = 0六、面積公式由有向線段oA%, Yi） OB（X2, 丫2）圍成的。奶的有向面積例題ai a2 、設(shè) A, a為3s, a； R ,且二1， 記 f (A,a二，小,a：)a： + aj + a/+ / + 233 +a2a4,求 f(&, 土，土, aJ 的最小值。i解 設(shè)m = (ai.aj，n =

6、(a3,a4)=f = ImT + |n|2 + in n 記cos 8 =而南,則Sa =摘苗in 6 =料同- cos =疆；：/4間=焉nf221MlM + m ncos 0sin 9sin 98阿波羅尼斯圓動點產(chǎn)J, y）到定點E（-c, 0）,三（, 0）的距離之比為，（c,4為正數(shù)），則尸點的軌 跡方程（1 - X2）x2 + （1 - X，2）y2 + 2c（l + X 2）x + （1 - A2）c2 = 0 討論：1 .當(dāng)入=1時，即x = 0,2點軌跡為直線3匹的中垂線）2 .當(dāng)入W 1時，判定軌跡為圓，即阿波羅尼斯圓進一步，對于圓錐曲線有：動點尸到動點尸與定直線的距離之比

7、為定值 人 則動點產(chǎn) 的軌跡是二次曲線.其中八即圓錐曲線的離心率快速判斷直徑，圓心的方法：過尸作內(nèi)外角平分線分別交直線E匹于T，D,則根據(jù)角平 分線性質(zhì)容易得到D為直徑.即：在后色上找到一對調(diào)和分比點7, （根據(jù)比例可以快速判斷），7P中點即圓心.另：角平分線性質(zhì)：IPF1I _ iTFilIPFN _ |PF2|WT = WTW = ITFJ例題一求滿足條件上2,需二也的放的面積的最大值。解品4眄I r=眄| （一 +X2X1 - 2 =IBCI2其實不難發(fā)現(xiàn)通式|BC|己知兩定點月（-2,0）, 5（1,0）,如果動點尸滿足PA =2 PB，求點尸的軌跡所包圍的面機習(xí)題2已知共面向量a,

8、b, c滿足a=3, 5+占2a,且占；=6c -若對于每個確定的向 量6，記b-ta （R）的最小值為&皿則當(dāng)b變化時，的最大值為托勒密定理平面上四邊形的四邊與對角線滿足關(guān)系：對角線的乘積不超過兩組對邊分別相乘乘積 之和，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形的四個頂點共圓時兩者相等.例題1已知月6。滿足A = y,（AB + AC” BC二葭點必在嫉外，且 32VC=2,則坳的取 值范圍是靜態(tài)觀察（解法一）易知月弘為等邊三角形，如圖，設(shè).序與，月慶aN；!,那么由左右兩圖分別應(yīng)用托勒密 定理可得tx W 3t,2t W tx + t由于兩側(cè)等號均能取得（如圖），又根據(jù)圖形連續(xù)變化，因此物的取值范圍是動態(tài)探索（解法

9、二）如圖，先固定5 M使得必上2,然后讓。在半徑為1的圓必上運動，觀察月點的軌跡（暫 時忽略必在月6。外的條件）.由平而幾何知識容易得到4的軌跡是圓也繞點S旋轉(zhuǎn)60后得到的圓加 據(jù)此容易求得必的取值范圍是1,3（注意取得最值時也均在血外部）.例題2己知橢圓4 y2 = 1，尸在橢圓上，求尸點到G點（。，J的距離的最大值.解根據(jù)托勒密定理有PG2c2a GA當(dāng)且僅當(dāng)兄凡，G四點共圓時等號取得.易知等號可以取得.此時為垂直過戶的切 線1,且尸G平分NE軍，這里用到了一個二級結(jié)論：圓錐曲線上一點的切線為該點與焦點組成的焦點三角形的外角平分線.同時證明了取得最大值時，屆總在年，質(zhì)之間，也即構(gòu)成凸四邊形

10、，從而可以利 用托勒密定理.進一步思考，當(dāng)離心率熄時，這種做法只適用于G點在短軸上時，（此 時防廷的外接圓與橢圓有交點）；若G在短軸所在直線上（不在短軸上），最大值為尸點 在遠離G點的短軸端點時取到.更一般的表述：這種做法只適用于G點在短軸所在直線上時，（且此時成其的外接圓 與橢圓的另半部分有交點）：若G在短軸所在直線上（且此時笫乏的外接圓與橢圓另半部 分沒有交點），最大值為產(chǎn)點在遠離G點的短軸端點時取到.其中“橢圓另半部分”是指, 當(dāng)G在x軸一側(cè)時，x軸另一側(cè)的橢圓曲線被稱為“橢圓另半部分”.其他情況，利用二 次函數(shù)最值求解.向量叉乘在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們接觸到向量的概念，并了解其性質(zhì)、

11、線性運算、坐標(biāo)表 示、數(shù)量積以及在實際問題中的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，可進一步深化，引入向量的叉乘運算, 能夠提升對向量的理解，方便問題的解決。1 .叉乘的定義要確定一個向量，需要知道它的模和方向。如圖1，對于給定的向量a和6,規(guī)定向量。=aXb,滿：足：/Hrj(1)模：c = a b sin(a b)/(2)方向：向量。的方向垂直于向量a和4且符合右 /手定則：用右手的食指表示向量&的方向，然后手指朝著手 l_心的方向擺動角度。0,可到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向。這里的。也就是a,b)。這樣的運算就叫向量的叉乘，又叫外積、向量積。應(yīng)特別注意的是，不同于向量的數(shù) 量積，向量的叉

12、乘的結(jié)果仍是一個向量。給定叉乘的定義后，就可以利用高中數(shù)學(xué)知識推 導(dǎo)出一系列結(jié)論。2 .叉乘的性質(zhì)(1)顯然有aX&R(2)反交換律：和其他運算不同，向量的叉乘滿足反交換律，即aX加-bXa，這 是因為右手定則中手指一定是從乘號前的向量擺動到乘號后的向量，如果將二者順序交 換，則一定要將手倒過來才能滿足OW 肛也就使得積向量反向。(3)易得對數(shù)乘的結(jié)合律，即(八d) X爐aX( 4公=43X6)(4)可以證明分配律：X c=aX EbX c或aX (c)=aX加aX c3 .叉乘的幾何意義如圖，在平面上取點0,作卜&，品=5=asin(a, b),由三角形面積公式S = Jab sin，可知a

13、Xb 表示以，如為相鄰兩邊的三角形的面積的兩倍，也就6M,仍為兩邊的平行四邊形的面積。即 aX b -2S/.oaSoabc4 .叉乘的坐標(biāo)表示將叉乘運算引入坐標(biāo)系是探討叉乘運算必不可少的一步，因為 如果能在空間直角坐標(biāo)系中引入叉乘的坐標(biāo)運算，許多問題將會得 到極大簡化。要想得到叉乘運算的坐標(biāo)表示，必須回到空間直角坐標(biāo)系的一 根基一一單位正交基底出發(fā)。給定一組單位正交基底 j. A,為滿足運算要求，應(yīng)使上上A符合右手定則，即建立一個右手系，如圖。d “ 加- . X AC| 一 更一遛 d y宙-謁班2(3)求平面的法向量由于向量叉乘運算尸aXb中。，且仁工小由立體幾何 知識可知，如果選取一個

14、平面內(nèi)兩個不共線的向量，計算它 們的叉乘，那么其積向量就可以作為平面的法向量。正是由 于法向量在立體幾何中的廣泛應(yīng)用，這種方法也就可以大展 身手。【例3】月成。為邊長為4的正方形，“J_平而月比。，心2, E、尸分別是月。、月6的中 點，求點6到平面與防的距離?！痉治觥窟@是高中數(shù)學(xué)的常見問題。按照常規(guī)做法，應(yīng)利用數(shù)量積求出平而呼的法 向量，再利用點到平面距離公式求解。引入了向量的叉乘后，可以方便地求出平而G所 的法向量。下面列出兩種解法，以供比較?！窘夥?1】月(4, 4, 0), 5(0, 4, 0), (4, 0, 0), 5(4, 2, 0),尸(2, 4, 0), (7(0, 0, 2

15、)o設(shè)平而反防的一個法向量為方(x, y, z),則n tf-n , GF- (x, y, z) (- 2, 2, 0) = (x, y, z) (2, 4, - 2)=0令后1,則jG, z=33(1,1,3)：.d(3 用防)-【解法2】空間直角坐標(biāo)系的建立同解法L,%世(-2,2,0),卜志(2, 4, - 2)，平而說的法向量為品四匕聲（一 4, - 4, - 12）：.d 出 EFIn BF| 8 2班TT 二而二 TF6 .叉乘的物理意義正如向量的數(shù)量積對應(yīng)于物理學(xué)中的外力做功等物理情景，向量的叉乘也與一些物理 模型有著密切的聯(lián)系，下而僅以通電直導(dǎo)線在勻強磁場中的受力（安培力）為例

16、作簡要說 明.如圖，在磁感應(yīng)強度為6,方向水平向左的勻強磁場中，有一段長為的導(dǎo)線通有電 流強度為2的電流，導(dǎo)線與磁場成角0o由物理學(xué)規(guī)律可知F=BILsin 0o從數(shù)學(xué)的角度理解，雖然中學(xué)物理中電流強度？被定義為標(biāo)量，但由于電流有方向， 不妨把1理解為矢量工則F =B I Zsin（）0又耳垂直于5和所成的平面， 且符合物理學(xué)中的“左手定則”（類似于前面所提到的“右手定則”），故尸2（2X6）這樣，就將向量的叉乘與這個物理模型結(jié)合到了一起，再一次體現(xiàn)出數(shù)學(xué)和物理緊密 結(jié)合的特點，表現(xiàn)出科學(xué)世界的和諧與統(tǒng)一之美?？傊?，在高中數(shù)學(xué)所學(xué)知識的基礎(chǔ)之上，引入向量的叉乘運算，又一次拓展了同學(xué)們 的視野，

17、令人感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力。巴普斯定理1、在一平而上取任一閉合區(qū)域，其面積為S,使它沿垂直于該區(qū)域的平而運動形成一個 體積為P的立體，那么這個立體圖形的體枳就等于質(zhì)心所經(jīng)路程r乘以區(qū)域面積。表達式 為S，2、若有某一長為的曲線段，使它沿著垂直于它所在平面的方向掃過一個而積S,那么 這個面積的大小就等于線段移動的距離r乘以線段的長度。表達式為S-L -r.注：是質(zhì)心，而不是重心，求半圓而質(zhì)心，因為除非重力場是均勻的，否則同一物質(zhì)（系 統(tǒng)）的質(zhì)心與重心通常不在同一假想點上。用法1求半圓面質(zhì)心令半圓面繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)形成一個球體，假設(shè)半圓面的半徑為兄那么它的而積即為所得球體體積為4 3TR3y : 亍又設(shè)質(zhì)心離半圓面的圓心距離為乂則質(zhì)心旋轉(zhuǎn)一周經(jīng)過的路程為二2 “X,由巴普斯定理 得V = SL所以4R，二技用法2求圓環(huán)體表面積圓心。距中心軸必的長度為斤，圓0半徑