統(tǒng)計(jì)學(xué)原理重要公式

1、.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)： xf fx 或 x xff加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：mxfx mfx頻數(shù)也稱次數(shù)。在一組依大小順序排列的測(cè)量值中，當(dāng)按一定的組距將其分組時(shí)出現(xiàn)在各組內(nèi) 的測(cè)量值的數(shù)目，即落在各類別（分組）中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。再如在3.14159265358979324中，9出現(xiàn)的頻數(shù)是 3,出現(xiàn)的頻率是 3/18=16.7%一般我們稱落在不同小組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為該組的頻數(shù)，頻數(shù)與總數(shù)的比為頻率。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對(duì)總數(shù)據(jù)按某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)出各個(gè)組內(nèi)含個(gè)體的個(gè)數(shù)。而頻 率則每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。在變量分配數(shù)列中，頻數(shù)（頻率）表明對(duì)應(yīng)組標(biāo)志值的作用程度。頻數(shù)（

2、頻率）數(shù)值越大表明該組標(biāo)志值對(duì)于總體水平所起的作用也越大，反之，頻數(shù)（頻率）數(shù)值越小，表明該組標(biāo) 志值對(duì)于總體水平所起的作用越小。擲硬幣實(shí)驗(yàn)：在10次擲硬幣中，有 4次正面朝上，我們說(shuō)這 10次試驗(yàn)中正面朝上的 頻數(shù)是4例題：我們經(jīng)常擲硬幣，在擲了一百次后，硬幣有40次正面朝上，那么，硬幣反面朝上的頻數(shù)為.解答，擲了硬幣100次，40次朝上，則有100-40=60 （次）反面朝上，所以硬幣反面朝上 的頻數(shù)為60.一.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：一 xf -fx 或 x xffx代表算術(shù)平均數(shù)； 匯是總和符合；f為標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)是具有不同比重的數(shù)據(jù)（或平

3、均數(shù)）的算術(shù)平均數(shù)。比重也稱為權(quán)重，數(shù)據(jù)的 權(quán)重反映了該變量在總體中的相對(duì)重要性，每種變量的權(quán)重的確定與一定的理論經(jīng)驗(yàn)或變量在總體中的比重有關(guān)。依據(jù)各個(gè)數(shù)據(jù)的重要性系數(shù)（即權(quán)重）進(jìn)行相乘后再相加求和，就是加權(quán)匯 xf /Ef和。加權(quán)和與所有權(quán)重之和的比等于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)=各組（變量值 X次數(shù)）之和/各組次數(shù)之和加權(quán)調(diào)和平均數(shù):m xfX 如以算術(shù)干土勺數(shù)以各組單位數(shù) 算內(nèi)容和結(jié)果都是相同的。f為權(quán)數(shù)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)以各組標(biāo)志總量m為權(quán)數(shù)但計(jì)二.標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算方法 標(biāo)準(zhǔn)差：n-I公式標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，公式如圖。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的

4、一種度量。一個(gè)較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部 分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。例如，兩組數(shù)的集合 0, 5, 9, 14和5, 6, 8, 9其平均值都是7 ,但第二個(gè)集合具有較小的 標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測(cè)量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測(cè)量時(shí)，測(cè)量數(shù)值集 合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測(cè)量的精確度。當(dāng)要決定測(cè)量值是否符合預(yù)測(cè)值，測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決 定性重要角色：如果測(cè)量平均值與預(yù)測(cè)值相差太遠(yuǎn)（同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測(cè)量 值與預(yù)測(cè)值互相矛盾。這很容易理解，因?yàn)槿绻麥y(cè)量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推 論預(yù)測(cè)值是否正確。標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作

5、為量度回報(bào)穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報(bào)遠(yuǎn)離過(guò)去平均數(shù)值，回報(bào)較不穩(wěn)定故風(fēng)險(xiǎn)越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越細(xì)，代表回報(bào)較為穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)亦較小。例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45, B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70,但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.07分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.37分（此數(shù)據(jù)時(shí)在 R統(tǒng)計(jì)軟件中運(yùn)行獲得），說(shuō)明 A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。如是總體，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以n如是樣本，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以（n-1）因?yàn)槲覀兇罅拷佑|的是樣本，所以普遍使用根號(hào)內(nèi)除以（n-1）公式意義所有

6、數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個(gè)數(shù)（或個(gè)數(shù)減一），再把所得值開(kāi)根號(hào)，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差越高，表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越離散，也就是說(shuō)越不精確反之標(biāo)準(zhǔn)差越低代表實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)越精確離散度標(biāo)準(zhǔn)差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精密確的最要指標(biāo)。說(shuō)起 標(biāo)準(zhǔn)差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測(cè)它，但檢測(cè)方法總是有誤差的，所以檢測(cè)值并不是其真實(shí)值。檢測(cè)值與真實(shí)值之間的差距就是評(píng)價(jià)檢測(cè)方法最有決定性的指標(biāo)。但是真實(shí)值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測(cè)方法的準(zhǔn)確性就成了難題。這也是臨床工 作質(zhì)控的目的：保證每批實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確可靠。雖然樣本的真實(shí)值是不可

7、能知道的，但是每個(gè)樣本總是會(huì)有一個(gè)真實(shí)值的，不管它究竟是 多少?？梢韵胂螅粋€(gè)好的檢測(cè)方法，基檢測(cè)值應(yīng)該很緊密的分散在真實(shí)值周圍。如何不緊 密，那距真實(shí)值的就會(huì)大，準(zhǔn)確性當(dāng)然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會(huì)測(cè)出準(zhǔn)確 的結(jié)果。因此，離散度是評(píng)價(jià)方法的好壞的最重要也是最基本的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù):標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)又均方差系數(shù)。反映標(biāo)志變動(dòng)程度的相對(duì)指標(biāo)。式中：Vb為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)；b為標(biāo)準(zhǔn)差；X為平均數(shù)。當(dāng)以樣本標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（稱變異系數(shù)/離散系數(shù)）估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)時(shí)，VS=式中：VS為變異系數(shù)；S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于不同水平的總體不宜直接用標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)能更好的反映不同水平總體的標(biāo)志 變動(dòng)

8、度。標(biāo)準(zhǔn)差變動(dòng)系數(shù)為標(biāo)志變異系數(shù)的一種。標(biāo)志變異系數(shù)指用標(biāo)志變異指標(biāo)與其相應(yīng)的平均指標(biāo)對(duì)比，來(lái)反應(yīng)總體各單位標(biāo)志值之間離散程度的相對(duì)指標(biāo)，一般用 v表示。標(biāo)志變異指標(biāo)有全距、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差，相對(duì)應(yīng)的，便有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)3種。計(jì)算方法為：標(biāo)志變異系數(shù)=標(biāo)志變異值/相對(duì)應(yīng)的平均值三.總體平均數(shù)和總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)。抽樣平均誤差的計(jì)算公式：1 .總體平均數(shù)：重復(fù)抽樣：x.n重復(fù)抽樣又稱放回式抽樣。每次從總體中抽取的樣本單位，經(jīng)檢驗(yàn)之后又重新放回總體，參加下次抽樣，這種抽樣的 特點(diǎn)是總體中每個(gè)樣本單位被抽中的概率是相等的。,2不重復(fù)抽樣：*(1 ),n N不重復(fù)抽樣亦稱不放回式抽樣。

9、每次從總體中抽取的樣本單位，經(jīng)檢驗(yàn)之后不再放回總體，在下次抽樣時(shí)不會(huì)再次抽到前 面已抽中過(guò)的樣品單位?？傮w每經(jīng)一次抽樣，其樣品單位數(shù)就減少一個(gè)，因此每個(gè)樣品單位在各次抽樣中被抽中的 概率是不同的。2 .總體成數(shù):重復(fù)抽樣：p出二不重復(fù)抽樣：p 叵下Dn1n N抽樣極限誤差：抽樣極限誤差又稱 “置信區(qū)間和抽樣允許誤差范圍 ”，是指在一定的把握程度(P)下保證樣 本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的抽樣誤差不超過(guò)某一給定的最大可能范圍，記作。抽樣極限誤差是指用絕對(duì)值形式表示的樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)偏差的可允許的最大范圍。它表明被估計(jì)的總體指標(biāo)有希望落在一個(gè)以樣本指標(biāo)為基礎(chǔ)的可能范圍。它是由抽樣指標(biāo)變動(dòng) 可允許的上限

10、或下限與總體指標(biāo)之差的絕對(duì)值求得的。由于總體平均數(shù)和總體成數(shù)是未知的，它要靠實(shí)測(cè)的抽樣平均數(shù)成數(shù)來(lái)估計(jì)。因而抽樣極 限誤差的實(shí)際意義是希望總體平均數(shù)落在抽樣平均數(shù)的范圍內(nèi)，總體成數(shù)落在抽樣成數(shù)的范圍 內(nèi)。基于理論上的要求，抽樣極限誤差需要用抽樣平均誤差科x或w p為標(biāo)準(zhǔn)單位來(lái)衡量。即把極限誤差 x或4p相應(yīng)除以科X或W P ,得出相對(duì)的誤差程度 t倍，t稱為抽樣誤差的 概率度。于是有：1 .總體平均數(shù)定義：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)。原理：考察的對(duì)象中的每一個(gè)考察對(duì)象的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)2 .總體成數(shù)： 4p = t科p總體成數(shù)。它是指總體中具有某一相同標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單

11、位數(shù)的比重，一般用表示?？傮w中具有相同標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)用N1表示。總體平均數(shù)和總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)：1 .總體平均數(shù)：x - tuxWXWx + tu x2 .總體成數(shù)：p - tup p p + tu p樣本單位數(shù)的確定：1.總體平均數(shù)：重復(fù)抽樣：n = t 2b2/A2x不重復(fù)抽樣：n = t 2(T2 N /( N A 2x + t 2(T2 )2-總體成數(shù)：重復(fù)抽樣：n = t 2P(1-p) /A2p不重復(fù)抽樣：n = t 2P(1-p) N /( N A2p + t 2P(1-p)四.相關(guān)系數(shù)的計(jì)算、回歸方程的建立和應(yīng)用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：n xy x yn x2 (x)2 n y2 (

12、 y)2簡(jiǎn)單線性回歸方程的建立：Y = a + bx甘木 n xy x y其中：b 2rn x ( x)a y bx五.統(tǒng)計(jì)指數(shù)的編制和兩因素分析1 .綜合指數(shù)的計(jì)算(1)數(shù)量指標(biāo)指數(shù)：qiPo(qi Po -qoPo)qoPo(2)質(zhì)量指標(biāo)指數(shù)：qiPi (qiPi- qiPo )qi Po2 .平均指數(shù)的計(jì)算算術(shù)平均數(shù)指數(shù)：qo Po. % /qo Poqo Po. Kq-qo Po調(diào)和平均數(shù)指數(shù)：qi Pi / (qi Pi/KP)qiPi - qi Pi/KP3 .復(fù)雜現(xiàn)象總體總量指標(biāo)變動(dòng)的因素分析相對(duì)數(shù)變動(dòng)分析:qiPo-qPo)x (qi Pi- qPo)qiPi = qo Po絕對(duì)值變動(dòng)分析：qiPi- qoPo= (qi Poqi Pix qo Poqi Po六.平均發(fā)展水平的計(jì)算i.由總量指標(biāo)動(dòng)態(tài)數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)(i)由時(shí)期數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)：- a a n(2)由間隔相等的時(shí)點(diǎn)數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)i ai a2 a 2ian二 an i2n i(3)由間隔不相等的時(shí)點(diǎn)數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)且fniaia2 f a2a3ffi If222f2.由相對(duì)指標(biāo)或平均指標(biāo)動(dòng)態(tài)數(shù)列計(jì)算序時(shí)平均數(shù)a C = b七.現(xiàn)象發(fā)