概率解答題答案

1、1、設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件滿足條件：，且已知，求.解： ， 則，其中舍去，因?yàn)? 2、設(shè)事件與相互獨(dú)立，兩事件中只有發(fā)生及只有發(fā)生的概率都是，試求及.解：由已知條件知：則 解得 3、一口袋中有6個(gè)紅球及4個(gè)白球。每次從這袋中任取一球，取后放回，設(shè)每次取球時(shí)各個(gè)球被取到的概率相同。求：（1）前兩次均取得紅球的概率；（2）取了次后，第次才取得紅球的概率。解：（1）記A=前兩次均取得紅球， （2）記B=取了次后，第次才取得紅球，4、甲、乙、丙3位同學(xué)同時(shí)獨(dú)立參加概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試，不及格的概率分別為.（1）求恰有兩位同學(xué)不及格的概率；（2）如果已經(jīng)知道這3位同學(xué)中有2位不及格，求其中一位是同學(xué)乙的

2、概率.解：（1）設(shè)，.則 （2）、甲、乙、丙三門炮向同一架飛機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙炮射中飛機(jī)的概率依次為0.4，0.5，0.7，又設(shè)若只有一門炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.2，若有兩門炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.6，若三門炮同時(shí)射中，飛機(jī)必墜毀.試求飛機(jī)墜毀的概率？解：設(shè)甲炮射中飛機(jī)，乙炮射中飛機(jī)，丙炮射中飛機(jī)，一門炮射中飛機(jī)，兩門炮射中飛機(jī)，三門炮射中飛機(jī)，飛機(jī)墜毀，則由題意可知事件相互獨(dú)立，故 故由全概率公式可得： 6、已知一批產(chǎn)品中96 %是合格品. 檢查產(chǎn)品時(shí)，一合格品被誤認(rèn)為是次品的概率是0.02；一次品被誤認(rèn)為是合格品的概率是0.05. 求在被檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率

3、.解：設(shè)為被查后認(rèn)為是合格品的事件，為抽查的產(chǎn)品為合格品的事件. ， 7、某廠用卡車運(yùn)送防“非典”用品下鄉(xiāng)，頂層裝10個(gè)紙箱，其中5箱民用口罩、2箱醫(yī)用口罩、3箱消毒棉花。到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失1箱，不知丟失哪一箱?，F(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱，結(jié)果都是民用口罩，求丟失的一箱也是民用口罩的概率。解：考慮成從10個(gè)紙箱中取3箱這樣一個(gè)模型，設(shè)=第i次取道民用口罩，i=1，2，3。 則8、設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各名，名和名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為份，份和份.隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率

4、.解：設(shè)事件表示報(bào)名表是個(gè)考區(qū)的,；事件表示第次抽到的報(bào)名表是女生表,；則有 (1)由全概率公式可知，先抽到的一份是女生表的概率為 (2)所求事件的概率為 先考慮求解，依題意可知，抽簽與順序無(wú)關(guān)，則有 ， 由全概率公式可知： 因?yàn)椋?則由全概率公式可知： 故所求事件的概率為：9、玻璃杯成箱出售，每箱只，假設(shè)各箱含只殘次品的概率相應(yīng)為，一顧客欲購(gòu)買一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)售貨員隨意取一箱，而顧客開箱隨機(jī)查看只，若無(wú)殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回.試求：(1)顧客買下該箱的概率；(2)在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率.解：令表示顧客買下所查看的一箱玻璃杯，表示箱中恰有件殘次品,由題意可得：

5、 (1)由全概率公式可知，顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為： (2)由貝葉斯公式知，在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率為： 10、設(shè)有兩箱同類零件，第一箱內(nèi)裝件，其中件是一等品；第二箱內(nèi)裝件，其中件是一等品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件(取出的零件均不放回)，試求(1)現(xiàn)取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解:(1)記表示在第次中取到一等品, 表示挑到第箱.則有 (2) 11、有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)，他坐火車、坐船、坐汽車、坐飛機(jī)來(lái)的概率分別是.若坐火車來(lái)遲到的概率是；坐船來(lái)遲到的概率是；坐汽車來(lái)遲到的概

6、率是；坐飛機(jī)來(lái)，則不會(huì)遲到.實(shí)際上他遲到了，推測(cè)他坐火車來(lái)的可能性的大??？解：設(shè)表示朋友坐火車來(lái)，表示朋友坐船來(lái)，表示朋友坐汽車來(lái)，表示朋友坐飛機(jī)來(lái)； 表示朋友遲到了. 朋友坐飛機(jī)遲到的可能性為.12、甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝三場(chǎng)，則比賽結(jié)束假定在每場(chǎng)比賽中甲隊(duì)獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場(chǎng)數(shù)的數(shù)學(xué)期望解：設(shè)表示比賽結(jié)束時(shí)的比賽場(chǎng)數(shù)，則的可能取值為3，4，5 其分布律為； 故， 13、一箱中裝有6個(gè)產(chǎn)品,其中有2個(gè)是二等品,現(xiàn)從中隨機(jī)地取出3個(gè),試求取出二等品個(gè)數(shù)的分布律.解:的可能取值為 從而的分布律為: X012P14、甲、乙兩個(gè)獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為，乙的命

7、中率為，以和分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求和的聯(lián)合概率分布.解：由題意知：， 因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，則 從而隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布律為： 012 04/252/251/100 18/25 4/251/50 24/25 2/251/10015、袋中有只白球，只黑球，現(xiàn)進(jìn)行無(wú)放回摸球，且定義隨機(jī)變量和：；求：(1)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布；(2)與的邊緣分布.解：(1)由題意可知：的可能取值為0,1；的可能取值為0,1. 從而隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為： XY0103/103/1013/101/10 (2)因?yàn)?從而的邊緣分布律為： X01P 因?yàn)?從而的邊緣分布律為：Y01P16、某射手每次打靶能命中的概率

8、為，若連續(xù)獨(dú)立射擊5次，記前三次中靶數(shù)為，后兩次中靶數(shù)為,求（1）的分布律；（2）關(guān)于和的邊緣分布律解：(1)由題意的所有可能取值為0，1，2，3，的所有可能取值為0，1，2. 1分 , , , , , , , , , , , 故的聯(lián)合分布律為：012 (2) 和的邊緣分布律分別為： 0123 17、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為， 試求（1）常數(shù);（2）方差.解：(1)因?yàn)?，所以，即 (2), 因而， . 18、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求：(1)確定常數(shù)和；（2）的概率密度函數(shù)解：（1）因是連續(xù)函數(shù)，故 ， 即，解得 （2）由可知，19、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 求（1）的值；（2）解：（1）

9、 (2) 20、某工廠生產(chǎn)的一種設(shè)備的使用壽命（年）服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 。工廠規(guī)定，設(shè)備在售出一年之內(nèi)損壞可以調(diào)換，若售出一臺(tái)可獲利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備需花費(fèi)300遠(yuǎn)，試求廠方售出一臺(tái)設(shè)備凈獲利的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)Y=廠方售出一臺(tái)設(shè)備凈獲利，則Y的可能取值為100，-200。 ， 故，21、某種型號(hào)的器件的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度 ?，F(xiàn)有一大批此種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立），任取4只，問(wèn)其中至少有一只壽命大于2000小時(shí)的概率是多少？解：設(shè)4只器件中壽命大于1000小時(shí)的器件個(gè)數(shù)為,則， 且其中 故 22、 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 . 求的概率密度.解：的分布函數(shù)為：

10、當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故的概率密度函數(shù)為：23、設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率.解：依題意可知，則的概率密度為： 若要使得方程有實(shí)根，則有：，即；解得或 故方程有實(shí)根的概率為： 24、設(shè)一物體是圓截面，測(cè)量其直徑，設(shè)其直徑服從上的均勻分布，則求橫截面積的數(shù)學(xué)期望和方差，其中解:由題意可得,直徑的概率密度為:則 而橫截面積故 5 分 25、設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)。 解： 服從為偶函數(shù)， 即 26、設(shè)某種藥品的有效期間以天計(jì)，其概率密度為求：(1)的分布函數(shù)；(2)至少有天有效期的概率. 解：(1)當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 則 (2) 27、設(shè)隨機(jī)變量服從均勻分布，求的概

11、率密度.解：的反函數(shù)為，且 當(dāng)即時(shí)， 故的概率密度為： 28、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度解：函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為， 則 29、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，求.解：在的區(qū)域上作直線，并記，則 = = = = 30、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試求(1)的分布函數(shù)；(2)的邊緣密度函數(shù).解：(1)當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 在其他情況下， 從而的分布函數(shù)為 (2)當(dāng)時(shí)， 7分 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為：31、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 試求(1)和的邊緣密度函數(shù)；(2).解：(1)當(dāng)時(shí)， 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為： 當(dāng)時(shí)， 在其他情況下， 從而的邊緣密度函數(shù)為：

12、 (2)32、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，（1）確定常數(shù)；（2）討論的獨(dú)立性解：（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋煌砜傻?顯然對(duì)任意的，恒有，故隨機(jī)變量相互獨(dú)立33、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù), 求：(1)的分布函數(shù)；(2) 關(guān)于的邊緣分布函數(shù). 解： (1) 即有 （2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，的邊緣分布密度函數(shù) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的邊緣分布函數(shù) 34、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量的概率密度為求：(1)的分布函數(shù)；(2)關(guān)于的邊緣概率密度.解：(1) (2) 35、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 求（1）的值；（2）.解：（1）因 故 （2） 36、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為試求：（1）邊緣分布Y的分布律；（

13、2）；（3）.112解：（1）邊緣分布Y的分布律為： （2） (3), 因, 故 37、從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)，求(1)的分布律；(2)的期望. 解：(1)由題意可知： 則 從而的分布律為：0123(2) 38、設(shè)盒中放有五個(gè)球，其中兩個(gè)白球，三個(gè)黑球?，F(xiàn)從盒中一次抽取三個(gè)球，記隨機(jī)變量X,Y分別表示取到的三個(gè)球中的白球數(shù)與黑球數(shù)，試分別計(jì)算X和Y的分布律和數(shù)學(xué)期望. 解： 的可能取值為0，1，2， ， 的分布列為X012P0.60.3類似可求 的分布列為Y321P0.60.3 所以 ， 又因?yàn)?3

14、9、一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率分別為0.10,0.20,0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù),試求的數(shù)學(xué)期望和方差. 解：設(shè) 易見有四個(gè)可能值0，1，2，3。由于獨(dú)立，可見 所以 40、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度，試求：（1）概率；（2）數(shù)學(xué)期望。解：（1）=1-=1-=1-1=0 （2）41、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為已知，求系數(shù).解：由概率密度的性質(zhì)而所以有(1) 又因所以有(2) 因故而所以 (3) 解由(1),(2),(3)所組成的方程組，得42、設(shè)的概率密度為 試求：（1）的分布函數(shù)； （2）數(shù)學(xué)期望。解：（1）當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)， ；

15、當(dāng)時(shí)， . 綜上，的分布函數(shù) （2）43、設(shè)隨機(jī)變量代表某生物的一項(xiàng)生理指標(biāo)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可認(rèn)為其數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差試用切比雪夫不等式估計(jì)概率解：因?yàn)?，而， 由切比雪夫不等式，44、設(shè)是總體的一個(gè)樣本，若，樣本方差，試求.解：因是總體的一個(gè)樣本，且，則由題意可知 故 因， 故45、已知總體服從(二點(diǎn)分布)，為總體的樣本，試求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)解：的分布律, 似然函數(shù) 令 解得,故最大似然估計(jì)量46、設(shè)總體X服從正態(tài)分布，其中是末知參數(shù)，是來(lái)自總體的一個(gè)容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試求的極大似然估計(jì)量。解：由題意，的概率密度函數(shù)為： 樣本的似然函數(shù)為： 所以對(duì)數(shù)似然函數(shù)為： 求導(dǎo)得似然方程為：，解

16、得 故的極大似然估計(jì)量為： 47、設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，是來(lái)自總體的一個(gè)容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求（1）的矩陣估計(jì)量；（2）判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量. (3)求的極大似然估計(jì)量。解：（1） 因總體期望值的矩估計(jì)為樣本平均值,則,從而的矩估計(jì)量為：. （）因 故不是的無(wú)偏估計(jì)量. （）ln（）=得到48、設(shè)服從正態(tài)分布，和均未知參數(shù)，試求和的最大似然估計(jì)量. 解：的概率密度為： 似然函數(shù)為： 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為： 令 因此得的最大似然估計(jì)量為：49、設(shè)是來(lái)自參數(shù)為的泊松分布總體的一個(gè)樣本,試求的最大似然估計(jì)量及矩估計(jì)量.解：(1)依題意可知,總體,其分布律為則似然函數(shù)為: 對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:似

17、然方程為: 解得為的最大似然估計(jì)量. (2)因?yàn)榭傮w,則故=為的矩估計(jì)量.50、設(shè)總體的概率密度為，是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.求：(1) 的矩估計(jì)量；(2) 的方差.解：(1) 記，令，則的矩估計(jì)量為：. (2)因?yàn)?所以 的方差為：51、設(shè)總體的概率分布列為： 0 1 2 3 p2 2 p(1-p) p2 1-2p其中 () 是未知參數(shù). 利用總體的如下樣本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3求 (1) p的矩估計(jì)值； (2) p的極大似然估計(jì)值 .解：(1) ， 令 ， 得 的矩估計(jì)為 . (2) 似然函數(shù)為 令 ， . 由 ，故舍去所以的極大似然估計(jì)值為 52、設(shè)總體的概率密度為 其中是未知參數(shù)，是來(lái)自總體的一個(gè)容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求(1)的矩估計(jì)量；(2)的最大似然估計(jì)量.解：