組合數(shù)學(xué)教案

1、組合數(shù)學(xué)教案        （1）使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；（2）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式、組合數(shù)的性質(zhì)用組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；（3）通過學(xué)習(xí)組合知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；（4）通過對(duì)排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維深刻性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。 教學(xué)建議 一、知識(shí)結(jié)構(gòu)   二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析 本小節(jié)的重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理與乘法原理的掌握和應(yīng)用，并將這

2、兩個(gè)原理的基本思想貫穿在解決組合應(yīng)用題當(dāng)中。 組合與組合數(shù)，也有上面類似的關(guān)系。從n個(gè)不同元素中任取m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合。所有這些不同的組合的個(gè)數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的一個(gè)集合（無序集），相當(dāng)于一個(gè)組合，而這種集合的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的組合數(shù)。 解排列組合應(yīng)用題時(shí)主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步切記：排組分清（有序排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘） 三、教法設(shè)計(jì) 1對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，建議把排列與組合的概念進(jìn)行對(duì)比的進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣有利于搞請(qǐng)這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系

3、2學(xué)生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當(dāng)班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、體委、學(xué)委、生委有多少種選法？”這是兩個(gè)相近問題，同學(xué)們會(huì)根據(jù)自己身邊的實(shí)際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題這樣既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又在編題辨題中澄清了概念 為了理解排列與組合的概念，建議大家學(xué)會(huì)畫排列與組合的樹圖如，從a,b,c,d 4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列樹圖與組合樹圖分別為： 排列樹圖         由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個(gè)元素的所有排列有24個(gè)，

4、它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.dca,dcb. 組合樹圖   由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個(gè)元素的組合有4個(gè)，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd). 從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對(duì)稱的，組合圖式不是對(duì)稱的，之所以排列樹圖具有對(duì)稱性，是因?yàn)閷?duì)于a,b,c,d四個(gè)字母哪一個(gè)都有在第一位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第二位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第三位的機(jī)會(huì)，而組合只考慮字母不考慮順序，為實(shí)現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了

5、自己的樹圖 學(xué)會(huì)畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導(dǎo)組合數(shù)的計(jì)算公式 3排列組合的應(yīng)用問題，教師應(yīng)從簡(jiǎn)單問題問題入手，逐步到有一個(gè)附加條件的單純排列問題或組合問題，最后在設(shè)及排列與組合的綜合問題 對(duì)于每一道題目，教師必須先讓學(xué)生獨(dú)立思考，在進(jìn)行全班討論，對(duì)于學(xué)生的每一種解法，教師要先讓學(xué)生判斷正誤，在給予點(diǎn)播對(duì)于排列、組合應(yīng)用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題解決問題的能力，在學(xué)生的多種解法基礎(chǔ)上教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇最佳方案，總結(jié)解題規(guī)律對(duì)于學(xué)生解題中的常見錯(cuò)誤，教師一定要講明道理，認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，使學(xué)生在是非的判斷得以提高 4兩個(gè)性質(zhì)定理教學(xué)時(shí)，對(duì)定

6、理1，可以用下例來說明：從4個(gè)不同的元素a，b，c，d里每次取出3個(gè)元素的組合及每次取出1個(gè)元素的組合分別是   這就說明從4個(gè)不同的元素里每次取出3個(gè)元素的組合與從 4個(gè)元素里每次取出1個(gè)元素的組合是一對(duì)應(yīng)的 對(duì)定理2，可啟發(fā)學(xué)生從下面問題的討論得出從n個(gè)不同元素  ，  ，  里每次取出m個(gè)不同的元素（  ），問：（1）可以組成多少個(gè)組合；（2）在這些組合里，有多少個(gè)是不含有  的；（3）在這些組合里，有多少個(gè)是含有  的；（4）從上面的結(jié)果，可以得出一個(gè)怎樣的公式在此基礎(chǔ)上引出定理2 對(duì)于  ，和 

7、 一樣，是一種規(guī)定而學(xué)生常常誤以為是推算出來的，因此，教學(xué)時(shí)要講清楚     教學(xué)設(shè)計(jì)示例 教學(xué)目標(biāo) （1）使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題； （2）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式； （3）通過學(xué)習(xí)組合知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力； 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式； 難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題 教學(xué)過程設(shè)計(jì) （）導(dǎo)入新課 （教師活動(dòng)）提出下列思考問題，打出字幕 字幕一條鐵路線上有6個(gè)火車站，（1）需準(zhǔn)備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價(jià)的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？

8、 （學(xué)生活動(dòng)）討論并回答 答案提示：（1）排列；（2）組合 評(píng)述問題（1）是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題；（2）是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題這節(jié)課著重研究組合問題 設(shè)計(jì)意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的上面設(shè)計(jì)的問題目的是從排列知識(shí)中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題 （二）新課講授 提出問題 創(chuàng)設(shè)情境 （教師活動(dòng)）指導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀課文 字幕1排列的定義是什么？ 2舉例說明一個(gè)組合是什么？ 3一個(gè)組合與一個(gè)排列有何區(qū)別？ （學(xué)生活動(dòng)）閱讀回答 （教師活動(dòng)）對(duì)照課文，逐一評(píng)析 設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生的思維，使

9、其將所學(xué)的知識(shí)遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境 【歸納概括  建立新知】 （教師活動(dòng)）承接上述問題的回答，展示下面知識(shí) 字幕模型：從  個(gè)不同元素中取出  個(gè)元素并成一組，叫做從  個(gè)不同元素中取出  個(gè)元素的一個(gè)組合如前面思考題：6個(gè)火車站中甲站乙站和乙站甲站是票價(jià)相同的車票，是從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組合 組合數(shù)：從  個(gè)不同元素中取出  個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱之，用符號(hào)  表示，如從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為  . 評(píng)述區(qū)分一個(gè)排列與一個(gè)組合的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當(dāng)取出元素后，

10、若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題 （學(xué)生活動(dòng)）傾聽、思索、記錄 （教師活動(dòng)）提出思考問題 投影  與  的關(guān)系如何？ （師生活動(dòng)）共同探討求從  個(gè)不同元素中取出  個(gè)元素的排列數(shù)  ，可分為以下兩步： 第1步，先求出從這  個(gè)不同元素中取出  個(gè)元素的組合數(shù)為  ； 第2步，求每一個(gè)組合中  個(gè)元素的全排列數(shù)為  根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到  字幕公式1：   公式2：  （學(xué)生活動(dòng)）驗(yàn)算 

11、 ，即一條鐵路上6個(gè)火車站有15種不同的票價(jià)的普通客車票 設(shè)計(jì)意圖：本著以認(rèn)識(shí)概念為起點(diǎn)，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識(shí)的形成過程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問題當(dāng)中去 【例題示范  探求方法】 （教師活動(dòng)）打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練 字幕例1  列舉從4個(gè)元素  中任取2個(gè)元素的所有組合 例2  計(jì)算：（1）  ；（2）  （學(xué)生活動(dòng)）板演、示范. （教師活動(dòng)）講評(píng)并指出用兩種方法計(jì)算例2的第2小題 字幕例3  已知  ，求  的所有值. （學(xué)生活動(dòng)）思考分析 解 

12、 首先，根據(jù)組合的定義，有   其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為 即  解得  綜合、，得  ，即  點(diǎn)評(píng)這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇 設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生鞏固知識(shí)，強(qiáng)化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力 【反饋練習(xí)  學(xué)會(huì)應(yīng)用】 （教師活動(dòng)）給出練習(xí)，學(xué)生解答，教師點(diǎn)評(píng) 課堂練習(xí)課本P99練習(xí)第2，5，6題 補(bǔ)充練習(xí) 字幕1計(jì)算：  2已知  ，求  .  （學(xué)生活動(dòng)）板演、解答 設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用 【點(diǎn)

13、評(píng)矯正  交流提高】 （教師活動(dòng)）依照學(xué)生的板演，給予指正并總結(jié) 補(bǔ)充練習(xí)答案： 1解：原式：  2解：由題設(shè)得 整理化簡(jiǎn)得  ， 解之，得  或  （因  ，舍去）， 所以  ，所求  字幕小結(jié)： 1前一個(gè)公式主要用于計(jì)算具體的組合數(shù)，而后一個(gè)公式則主要用于對(duì)含有字母的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)和論證 2在解含組合數(shù)的方程或不等式時(shí)，一定要注意組合數(shù)的上、下標(biāo)的限制條件 （學(xué)生活動(dòng)）交流討論，總結(jié)記錄 設(shè)計(jì)意圖：由“實(shí)踐認(rèn)識(shí)一實(shí)踐”的認(rèn)識(shí)論，教學(xué)時(shí)抓住“學(xué)習(xí)一練習(xí)反饋小結(jié)”這些環(huán)節(jié)，使教學(xué)目標(biāo)得以強(qiáng)化和落實(shí) （三）小結(jié) （師生

14、活動(dòng)）共同小結(jié) 本節(jié)主要內(nèi)容有 1組合概念 2組合數(shù)計(jì)算的兩個(gè)公式 （四）布置作業(yè) 1課本作業(yè)：習(xí)題10 3第1（1）、（4），3題 2思考題：某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競(jìng)賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人？ 3研究性題： 在  的  邊上除頂點(diǎn)  外有 5個(gè)點(diǎn)，在  邊上有 4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)（包括  ）能組成多少個(gè)四邊形？能組成多少個(gè)三角形？     （五）課后點(diǎn)評(píng)     在學(xué)習(xí)了

15、排列知識(shí)的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進(jìn)了組合概念，并推導(dǎo)出組合數(shù)公式，同時(shí)調(diào)控進(jìn)行訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力     作業(yè)參考答案     2解；設(shè)有男同學(xué)  人，則有女同學(xué)  人，依題意有  ，由此解得  或  或2即男同學(xué)有5人或6人，女同學(xué)相應(yīng)為3人或2人     3能組成  （注意不能用  點(diǎn)為頂點(diǎn)）個(gè)四邊形，  個(gè)三角形     探究活動(dòng) 同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一

16、張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？ 解  設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解 解法一  可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即： 甲拿乙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法 甲拿丙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法 甲拿丁制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法 由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種 解法二  可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮這時(shí)還存在正向與逆向兩種思考途徑 正向思考，即從滿足題設(shè)條件出發(fā)，分步完成分配先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有  種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有  種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對(duì)方制作賀卡 1種取法根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有  （種） 逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設(shè)條件的取法不滿足題設(shè)條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時(shí)即為4人均拿自己制作的賀卡）其取法分別為