定積分的概念（課堂PPT）

1、1定積分的概念2exit引例曲邊梯形的面積引例曲邊梯形的面積 3exit定積分的定義定積分的定義 4exit定積分的幾何意義定積分的幾何意義 5求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對應(yīng)的對應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積用個小曲邊梯形的面積用高為高為f(x xi)而寬為而寬為D Dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積S為為 取取n個小矩形面積的和作為曲邊梯個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積S的近似

2、值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxx=D1( )niiSfxx=D (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個點個點,將它等分成將它等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間: 每個小區(qū)間寬度每個小區(qū)間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-6一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面積和S=如果當(dāng)n時，S 的無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 baf (x)dx，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 從求曲邊梯形面積從

3、求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即7定積分的定義： 定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy

4、=8 S=baf (x)dx； 按定積分的定義，有 (1) 由連續(xù)曲線y=f(x) (f(x)0) ，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運動的速度v=v(t)，則此物體在時間區(qū)間a, b內(nèi)運動的距離s為 s=bav(t)dt。 Oab( )vv t=tv定積分的定義：1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即9112001( )3Sf x dxx dx=根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S =1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD11200

5、5( )(2)3Sv t dttdt=- =根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為101.dxxf)(與badxxf)(的差別3定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有=bababaduufdttfdxxf)()()(4規(guī)定： -=abbadxxfdxxf)()(0)(=aadxxfdxxf)(是)(xf的全體原函數(shù) 是函數(shù)badxxf)(是一個和式的極限 是一個確定的常數(shù)注：2 .當(dāng)xfiniD=)(1x的極限存在時，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與區(qū)間ba,的分法及xi點的取法無關(guān)。f(x)a,b11(2)定積分的幾何意義：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)

6、dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) a=b 時，有baf (x)dx=0。 12 當(dāng)f(x)0時，由y=f (x)、x=a、x=b 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義：積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx

7、。 =-S13ab y=f (x)Ox y( )yg x=探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中如何用定積分表示圖中陰影部分的面積陰影部分的面積?ab y=f (x)Ox y1()baSfx dx=( )yg x=12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx= -=-2( )baSg x dx=14三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk15三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 定積分關(guān)于積

8、分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab y=f (x)16性質(zhì)性質(zhì) 3 不論不論a，b，c的相對位置如何都有的相對位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 17 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計算計算 的

9、值的值. 130 x dx18例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12=xfaxxf解：dxxAa20=0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-119積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22-=xfxxf解：dxxA221-=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-120積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上

10、連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3=xfbaxf解：dxAba=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-121可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42-=xfxfxxf解：dxxdxxA-=- 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-122成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22=-xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf=-=0)(1222=-=-AAdxxf2-22A1Axyf(x)=sinx1-123 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分 值的正、負(fù)號。20sinxdx-212dxx利用定積分的幾何意義，說明下列各式。 成立：0sin20=xdx=200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.練習(xí)：試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0yxy=x21 2