量子力學(xué)中有關(guān)角動(dòng)量及其耦合問(wèn)題的討論

1、量子力學(xué)中有關(guān)角動(dòng)量及其耦合問(wèn)題的討論(隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院, 甘肅 慶陽(yáng) 745000)摘 要:軌道角動(dòng)量在直角坐標(biāo)系與球極坐標(biāo)系下的算符表示及相關(guān)推導(dǎo)，同時(shí)通過(guò)對(duì)易關(guān)系,得出軌道角動(dòng)量并不能描寫一個(gè)可觀察量。然后運(yùn)用力學(xué)量算符和波函數(shù)的矩陣表示，在給定表象下,討論電子自旋算符的表示及自旋波函數(shù)的構(gòu)造。接著討論角動(dòng)量的LS耦合, 其中主要計(jì)算總角動(dòng)量與角動(dòng)量分量的共同本征態(tài)，并且通過(guò)介紹耦合表象與非耦合表象，以及在展開耦合基矢的基礎(chǔ)上規(guī)定量子數(shù)j的取值,進(jìn)而分析角動(dòng)量的JJ耦合關(guān)鍵詞:角動(dòng)量;算符;對(duì)易關(guān)系;自旋;角動(dòng)量耦合The Disscussion of Angular Moment

2、um and ItsCoupling Question in Quantum Mechemics(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu, China)Abstract:First,using a basic assumption that the mechanical quantities in Quantum Mechanics is the appropriate operatorthe, it discuss the representation of orbital ang

3、ular momentum optrator in both rectangular and spherical systems and related deduction in the text,at the same time it gets that orbital angular momentum optrator does not describe an observable quantity through the communication relations.Then useing mechanical quantity operator and matrix represen

4、tation of wave funtion, it discusse the reprentation of the electronic spin operators and retructrue of spin wave funtion in a given reprentation.Next it discusse the LS coupling of angular momentum, in which it mainly calculate the common eigenstates of the total angular momentum and angular moment

5、um component,and through introdution the coupling and the non-coupling reprentation and determine the values of quantum number j on the basis of expand the coupling vectors, analyzeing the JJ coupling of angular momentum.Key words:angular momentum;operator;commutation relation;spin;angular momentum

6、coupling; clebsh-gordan cofficient0 引言量子力學(xué)中有關(guān)角動(dòng)量及其耦合的問(wèn)題，在很多量子力學(xué)教材和文獻(xiàn)1,2,3,4,5,6中都作過(guò)比較簡(jiǎn)明的闡述,但在許多文獻(xiàn)中都是就某一方面進(jìn)行分析的，并且由于角動(dòng)量耦合的克萊布希-高登系數(shù)計(jì)算比較繁瑣,大多數(shù)教材和文獻(xiàn)中都是直接給出或查表得到,只有在一些高等量子力學(xué)教材中出現(xiàn)過(guò)較簡(jiǎn)明扼要的計(jì)算。本文對(duì)量子力學(xué)中的角動(dòng)量及其耦合的問(wèn)題進(jìn)行了比較系統(tǒng)的闡述，首先詳細(xì)討論軌道角動(dòng)量在直角坐標(biāo)系下的算符表示向球極坐標(biāo)系下的算符表示的推導(dǎo),進(jìn)而通過(guò)角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系得出了軌道角動(dòng)量的一些重要性質(zhì)。接下來(lái)討論自旋角動(dòng)量的算符表示和波函數(shù)

7、的矩陣形式。最后討論角動(dòng)量的LS耦合，主要通過(guò)比較耦合表象與非耦合表象的異同，詳細(xì)分析角動(dòng)量的JJ耦合。1 軌道角動(dòng)量1.1 軌道角動(dòng)量算符三個(gè)分量算符為 L=yp-zp=y-zxzy izy L=zp-xp=z-xyxy (1)ixzL=xp-yp zyz=i xy-yx平方算符表示為L(zhǎng)2=L2x+L2y+L2z=- 2-z22 yzy+ zx-xz+2 xy-yx. 笛卡兒坐標(biāo)（x,y,z）和球極坐標(biāo)（r,）之間的關(guān)系為x=rsincos,y=rsinsin, z=rcosr2=x2+y2+z2,cos=zy r,tan=x將r2=x2+y2+z2兩邊對(duì)x,y,z分別求偏導(dǎo)數(shù),得rxx=r

8、=sinsin r=y=sinsinyr rzz=r=cos將cos=zr兩邊分別對(duì)x,y,z求偏導(dǎo)數(shù),得 x=1zrsinr2x=1rcoscos 1zr1y=sinr2y=rcossin 1zr1cos2z=sinr2z=rsin再將tan=yx兩邊分別對(duì)x,y,z求偏導(dǎo)數(shù),得 (2) (3) (4) (5)1ysin=-=-xsec2x2rsin111cos (6) =ysec2xrsinz=0聯(lián)立(4),(5),(6)式,得 rx=xr+x+x=sincos+1coscos1sinrr-rsinry=yr+y+y.=sinsin+1cossin+1cosrrrsin=r+zzrzz=c

9、os-1sinrr三個(gè)分量算符是 Lx=i sin+ctgcos L=-yi cos-ctgsinLz=-i 三個(gè)分量算符的平方表示分別為 (7)(8)222222sin2+2ctgsincos+ctgcos22=- 2Lx222+ctgcos-ctg+cscsincos()222222cos2-2ctgsincos+ctgsin222 (9) Ly=- 222+ctgsin+ctg+cscsincos()222Lz=- 2算符平方表示為 12222221. (10) L=Lx+Ly+Lz=- sin+22sinsin1.2 軌道角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系,L,L之間的對(duì)易關(guān)系為 三個(gè)分量Lxyz,

10、L=i LLxyz (11) Ly,Lz=i Lx,L=i LLyzx即L=i L (12) L2和L,L,L的對(duì)易關(guān)系為 Lxyz,L2=0Lx2 Ly,L=0 (13),L2=0Lz的三個(gè)分量L是厄米矢量算符,L,L彼此不對(duì)易,意味著雖然L 由此可見(jiàn),軌道角動(dòng)量算符Lxyz但其并不能描寫一個(gè)可觀察量,不能描寫量子力學(xué)中所謂軌道角動(dòng)量這么一個(gè)矢量力學(xué)量，即是說(shuō),量子力學(xué)中沒(méi)有角動(dòng)量矢量。雖然經(jīng)典力學(xué)中有軌道角動(dòng)量,對(duì)應(yīng)到量子力學(xué)中就有軌道角動(dòng)量算符,卻不存在軌道角動(dòng)量,因此,軌道角動(dòng)量矢量是經(jīng)典概念而不是量子概念。量子力學(xué)中沒(méi)有軌道角動(dòng)量矢量,但是,經(jīng)典力學(xué)中有軌道角動(dòng)量,特別是有軌道角動(dòng)量

11、平方及軌道角動(dòng)量在n方向上的投影。和L和L,而且L存在本征值和本值矢量完全集,可以描寫對(duì)應(yīng)到量子力學(xué)中就有相應(yīng)的算符Lnn22量子力學(xué)中軌道角動(dòng)量平方以及軌道角動(dòng)量n分量這樣的力學(xué)量。2 自旋角動(dòng)量2.1 自旋角動(dòng)量算符自旋角動(dòng)量算符滿足的對(duì)易關(guān)系為S=i S (14) S在Sz表象中,自旋角動(dòng)量的分量算符的矩陣表示為 S 01x=210 S0-iy=2i0 = 0S1z20-1因?yàn)镾 01 01 210 2 22x=2 102 10=4 01=4I=4其中I是單位矩陣。 同樣可得S2222 y=4,Sz=4從而可以得到S2=S2+S2+S2xyz=3 24所以S2,S2xy,S2z和S2算符

12、都是常數(shù)算符。 并且Sx,Sy,Sz滿足反對(duì)易關(guān)系 Sx,Sy+=0 Sy,Sz +=0Sz,Sx+=02.2 自旋波函數(shù)在Sz表象中,自旋角動(dòng)量的一般態(tài)可表示為 =c11(Sz)+c21(Sz) 2-2其中101(Sz)= ,1(Sz)= 1;20-2同理可得(15) (16) (17) (18) (19)(20)1(Sx)=2S=1(y)211,S=1(x)21-22-1. （21）11,1(Sy)=i-2-i3 總角動(dòng)量(LS耦合)3.1 基本關(guān)系之和，即 為軌道角動(dòng)量L=rp與自旋角動(dòng)量S電子的總角動(dòng)量JJ=L+S 或J=L+S, =x,y,z 由于L與S屬于不同自由度,相應(yīng)的算符相互

13、對(duì)易,即 L,S=0, ,=x,y,z 總角動(dòng)量仍滿足角動(dòng)量的普遍對(duì)易式JJ=i J 3.2 下面討論J2,L2,JZ的共同本征態(tài) 波函數(shù)的一般形式可寫為(r,sz,t)=1(r,t)1(sz)+2(r,t)sz) 2-1(2采用(x,y,z,sz)表象,上式可以表示成(r,sz,t)=101(r,t)1(r,t) 0+2(r,t) 1= 2(r,t)歸一化條件為+dxdydz=(*11+*22)dxdydz=1.如果采用球極坐標(biāo)(r,),則本征函數(shù)表示成(,s1(,)z)=1(,)1(sz)+2(,)1(sz)= 2-2(,)2, 試令：(,sz)=c1Ylml(,)1(sz)+c2Ylml

14、(,)-1(sz) 22征函數(shù),應(yīng)滿足Jz的本征方程 Jz=(Lz+Sz)=m1j = m+2 只須m1=m,m2=m+1,有 =c1Ylm1+c2Ylm+12-1 2(22) (23) （24） (25) (26)(27) (28) (29) 作為Jz的本(30)(31)的本征函數(shù),應(yīng)該滿足J的本征方程 又作為J22=L2+2SL2+ L (32) 2=L+S2+S=L2+S J即應(yīng)該滿足L的本征方程。因?yàn)?()2()()L=L+L+Lxxyyzz L的本征值為l ,-(l+1) (33) (Lx±iLy)Ylm=l,m±1得 zLzYlm1=m Ylm1,22zLzYl

15、m+1-1=-(m+1) Ylm+11,(2-2xLx+yLy)Ylm1=(Lx+iLy)Ylm-122=l+m+1l-m Ylm+11,-2(xLx+yLy)Ylm+1-1=(Lx-iLy)Ylm+1122=l+m+1l-m Ylm1.2由此可得出(J2,L2,Jz)的共同本征函數(shù)ljmj.(1)j=l+112,mj=m+2時(shí), 11l+m+122ljm=2l+1Y+ l-mj lm1Ylm+122l+1-12=1 +m+1Ylm2l+1 -mYlm+1(2)j=l-12,mm+1j=2時(shí), 11l-m2l2ljmj=-2l+1Y+m+1lm1+22l+1Ylm+112=1 -l-mYlm2

16、l+1 +m+1Ylm+14 任意兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(JJ耦合)4.1 體系的兩種表象,它滿足 和J假設(shè)體系有兩個(gè)角動(dòng)量J21J=i J,JJ=i JJ1112222,J=0,J2,J=0J1122 (37) J21,J22=0,J1,J2=0(,=x,y,z)有2J1j1m1=j1(j1+1) 2j1m1J1zj1m1=m1 j1m1J2j 2 j22m2=j2(j2+1)2m2J2zj2m2=m2 j2m2由于J21,J22,J1z,J2z相互對(duì)易,因此它們的共同本征矢寫為 j1m1j2m2=j1m1j2m2 構(gòu)成正交歸一完全系,用它們作為基矢的表象稱為無(wú)耦合表象。定義體系的總角動(dòng)量為J=J

17、1+J2，則其滿足角動(dòng)量的基本對(duì)易關(guān)系式JJ=i J2J,J=0 (=x,y,z)由于J1,J2=0,總角動(dòng)量平方算符可寫為J2=(J1+J2)2=J21+J22+2J1J2滿足J2,J21=0,J2,J22=0J2,J10,J2,J20J,J2=0,J,J2=0 12J,J10,J,J20(,=x,y,z)可見(jiàn),J21,J22,J2,Jz對(duì)易,它們必有共同本征矢,以j1j2jm表示,有 (38) (39) (40) (41) 42） （2jjjm=j(j+1) 2jjjmJ121222J1j1j2jm=j1(j1+1) j1j2jm (43) 22jjjm=j(j+1) jjjmJ21222

18、12Jzj1j2jm=m j1j2jm由此,j1j2jm也構(gòu)成一組正交歸一完備系,用它們作為基矢的表象稱為耦合表象。4.2 耦合表象基矢的展開算符與無(wú)2,J2相同,但因耦合表象中J以上兩個(gè)表象,從它們相應(yīng)的力學(xué)量完全集來(lái)看,盡管J122,J算符不對(duì)易,因此它們是描述同一體系的兩個(gè)不同的表象. 耦合表象中J1z2z,J確定,可將耦合表象基矢按無(wú)耦合表象基矢展開 假定J12j1j2jm=m1,m2j1m1j2m2j1m1j2m2j1j2jm (44) 式中j1m1j2m2j1j2jm稱為矢量耦合系數(shù).=J+J可知,m=m1+m2,有m1=m-m2,因此(44)式可寫為 由Jz1z2zj1j2jm=

19、m2j1,m-m2,j2m2j1,m-m2,j2m2j1j2jm. (45)4.3 量了數(shù)j的取值,J給定時(shí),mmax=m1max+m2max=j1+j2,而-jmmaxj,有當(dāng)J12jmax=mmax=j1+j2.兩個(gè)表象中的基矢數(shù)都為(2j+1)=(2jjminjmax1+1)(2j2+1) (46) 從而只能有jmin=j1-j2,因此j的取值為j1+j2,j1+j2-1, ,j1-j24.4 在JJ耦合下CG系數(shù)的計(jì)算2,J,J2,J,正交歸一本征矢量為jmjm；耦合表象非耦合表象中,力學(xué)量完備集為J11z22z1122()2,J2,J2,J),正交歸一本征態(tài)基矢量為jjjm,其中,力

20、學(xué)量完備集為(J1212z=J+J,J=J+J. 中,J12±1±2±CG系數(shù)的定義:耦合表象與非耦合表象之間的變換幺正矩陣元稱為CG系數(shù)。即將耦合表象中的基矢用非耦合表象中的基矢展開得到 j1j2=m1m2j1m1j2m2j1m1j2m2j1j2jm (47) 其中展開系數(shù)j1m1j2m2j1j2jm就是CG系數(shù).jjjm= 由J±12j,m±,得基本關(guān)系n(j-)j1j2jm=j1j2j,m-n=jjj,m+n12 （48） njj1j2jm=j1j2j,m+n()+jjj,m+n=12當(dāng)j1,j2給定,j=j1+j2,m=j時(shí),取耦合表象

21、中的本征態(tài)jj=j1+j2,j1+j2與非耦合表象中的本征態(tài)j1j1j2j2相等,即jj=j1+j2,j1+j2=j1j1j2j2 (49) 將式(49)代入式(47),可得態(tài)j1j2jm=j1j2,j1+j2,m的展開式 (j-)其中C2j=nnnjj=n!C2jj,j-n (50) (2j)!是二項(xiàng)式系數(shù),而 n!2j-n!n(j-)jjn=(j1-+j2-)jjkkn-k=Cnj1-j2-j1j1j2j2k=0nk=Cnj1,j1-kj2,j2-n+k(n-k)!kk=0n (51)由(50)和(51)兩式得 j,j-n=令:m=j-n,有 j1j2jm=k=0nnn-kC2j1C2j2

22、nC2jj1,j1-kj2,j2-n+k (52) k=0j-mkj-m-kC2j1C2j2Cj-m2jj1,j1-kj2,m+k-j1 （53)式(38)求出了j=j1+j2,m=m1+m2=j1+j2,j1+j2-1,j1+j2-2, ,-j1-j2+1,-j1-j2的CG系數(shù)j1m1j2m2j1j2jm=j1,j1-k,j2,m+k-j1j1j2jm= (54)=當(dāng)j1,j2給定時(shí),本征態(tài)j-n,j-n=j1+j2-n,j1+j2-n可由非耦合表象中的本征態(tài)的線性組合得到 j-n,j-n=akj1,j1-kj2,j2-n+k 由j-n,j-n是J2的本征態(tài)可知 J2j-n,j-n=(j-

23、n)(j-n+1)j-n,j-n 又由于J=J1+J2,可知 J2j-n,j-n=(J1+J2)2j-n,j-n=(J21+J22+2J1J2)j-n,j-n令:J1±=J1x±iJ1y,J2±=J2x±iJ2y J1+J2-=(J1x+iJ1y)(J2x-iJ2y)=J1xJ2x-iJ1xJ2y+iJ2xJ2y+J1yJ2y J1-J2+=(J1x-iJ1y)(J2x+iJ2y)=J1xJ2x+iJ1xJ2y-iJ2xJ1y+J1yJ2y所以J1+J2-+J1-J2+=2J1xJ2x+2J1yJ2y 從而有2J1J2=2J1xJ2x+2J1yJ2y+2

24、J1zJ2z =J1+J2-+J1-J2+2J1zJ2z將(61)式代入(57)式,(取自然單位 =1),得J2j-n,j-n=(J21+J22+J1+J2-+J1-J2+2J1zJ2z)j-n,j-n=j1(j1+1)+j2(j2+1)j-n,j-n(55) (56) (57) (58)則 (59) (60) (61)+ak2(j1-k)(j2-n+k)j1,j1-kj2,j2-n+kk=0nn+akk=0n-k2j2-n+k+12j1-kk+12j2-n+kn-k+1k2j1-k+1j1,j1-k-1;j2,j2-n+k+1 (62) +akj1,j1-k+1;j2,j2-n+k-聯(lián)立(5

25、4)(57)式,分別取k=0,1,2,n-1,得a0n2j2-n+1+a12j1=0,a1n-12j2-n+2+a222j1-1=0,a2n-22j2-n+1+a32j1-2=0, akn-k2j2-n+k+1+ak+1k+12j1-k=0,an-12j2+ann2j1-n+1=0.將看作參數(shù),解出(63)式,得an2j2-n+11=-2ja0,1a2-n+22=-n-12j22ja01-1=(-1)2nn-12j2-n+12j2-n+2a022j2j,11-1a=-n-22j2-n+3332j1-2=(-1)3nn-1n-22j2-n+12j2-n+22j2-n+3322j2ja0,11-12j1-2k2ja2-n+12j2-n+2k=(-1)kCn 2j2-n+k2j12ja01-k+1-k+2 2j1k=(-1)kCCkn2j2-n+kCka0,2j1 an=(-1)nCn2j2Cna0.2j1利用歸一化條件:a21+a22+ +a