大學(xué)物理 第四章機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波

1、第七章本章內(nèi)容第一節(jié)機(jī)械振動(dòng)動(dòng)畫動(dòng)畫用圖動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程x正X向反X向微分形式微分方程彈簧振子x動(dòng)畫例運(yùn)動(dòng)方程AA最大最大最大最大最大最大振動(dòng)曲線特征參量振幅、角頻率初相相位相位差計(jì)算方法例At 0 xxot0t 矢量圖法矢量圖法振幅矢量振幅矢量vA 質(zhì)點(diǎn)的投影點(diǎn)在軸上做簡諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的投影點(diǎn)在軸上做簡諧振動(dòng))tcos(Ax0 x = A cos ( t ) )簡諧運(yùn)動(dòng)方程簡諧運(yùn)動(dòng)方程旋轉(zhuǎn)矢量AAXXOM ( 0 )A初相初相矢量端點(diǎn)矢量端點(diǎn)在在X X 軸上軸上的投影對的投影對應(yīng)振子的應(yīng)振子的位置坐標(biāo)位置坐標(biāo)M ( t )tM ( t )ttM ( t )M ( t )ttM ( t )tM

2、 ( t )M ( t )tM ( t )tM (T )T周期 TxOM ( 0 )初相初相M ( t )tAt 時(shí)刻的時(shí)刻的振動(dòng)相位振動(dòng)相位( t ) )旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A以勻角速以勻角速逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)x = A cos ( t ) )簡諧運(yùn)動(dòng)方程簡諧運(yùn)動(dòng)方程循環(huán)往復(fù)例例21 xt時(shí)時(shí)，找找特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)矢量法，知由旋轉(zhuǎn)矢量法，知 2321 34 例例例4-4 物體沿物體沿x軸作諧振動(dòng)，其振幅為軸作諧振動(dòng)，其振幅為A=10.0cm周期為周期為T=2.0 s，t=0時(shí)物體的位移為時(shí)物體的位移為x0=-5cm.且向且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng).試求試求 (1) t=0.5s時(shí)物體的

3、位移；時(shí)物體的位移； (2) 何時(shí)物體第一次運(yùn)動(dòng)到何時(shí)物體第一次運(yùn)動(dòng)到x=5cm處處? (3) 再經(jīng)過多少時(shí)間物體第二次運(yùn)動(dòng)到再經(jīng)過多少時(shí)間物體第二次運(yùn)動(dòng)到x=5cm處處?解解由已知條件，該諧振動(dòng)在由已知條件，該諧振動(dòng)在t=0時(shí)時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖所示刻的旋轉(zhuǎn)矢量位置如圖所示.由由圖及初始條件可知圖及初始條件可知 23由于由于 22s, TT所以所以,該物體的振動(dòng)方程為該物體的振動(dòng)方程為20.1cos3xtx0t -5O(1)將將t=0.5s代入振動(dòng)方程，得質(zhì)點(diǎn)的位移為代入振動(dòng)方程，得質(zhì)點(diǎn)的位移為 20.1cos0.50.087m3x (2) 當(dāng)物體第一次運(yùn)動(dòng)到當(dāng)物體第一次運(yùn)動(dòng)到x=5cm處

4、時(shí)，旋處時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量從初始位置轉(zhuǎn)過的角度為轉(zhuǎn)矢量從初始位置轉(zhuǎn)過的角度為，如圖，如圖所示，所以有所示，所以有 1t即即 11s2Tt(3)當(dāng)物體第二次運(yùn)動(dòng)到當(dāng)物體第二次運(yùn)動(dòng)到x=5cm處時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量又轉(zhuǎn)過處時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量又轉(zhuǎn)過23)2123ttt 22s333Tt x0t 23-552t1t振動(dòng)能量諧振子能量AAA簡諧運(yùn)動(dòng)勢能曲線簡諧運(yùn)動(dòng)勢能曲線簡諧運(yùn)動(dòng)能量守恒，振幅不變簡諧運(yùn)動(dòng)能量守恒，振幅不變kEpEx221kAE EBCAApExO續(xù)上能量表達(dá)式例書例8能量能量第三節(jié)第三節(jié)4 - 4compose of simple harmonic motion 振動(dòng)合成振動(dòng)合成同向同頻合成同向同頻合成振

5、幅合振幅合振動(dòng)合振動(dòng)分振動(dòng)分振動(dòng)；其中，合振幅其中，合振幅若若為合振幅可能達(dá)到的最大值為合振幅可能達(dá)到的最大值若若則則則則若若則則值為合振幅可能達(dá)到的最小值為合振幅可能達(dá)到的最小若若則若為其它值，則為其它值，則 處于處于與與之間之間例書例9例書例11第一節(jié)機(jī)械波的產(chǎn)生 波源帶動(dòng)彈性媒質(zhì)中與其相鄰的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)相繼波源帶動(dòng)彈性媒質(zhì)中與其相鄰的質(zhì)點(diǎn)發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)相繼傳播到后面各相鄰質(zhì)點(diǎn)，其振動(dòng)時(shí)間和相位依次落后。傳播到后面各相鄰質(zhì)點(diǎn)，其振動(dòng)時(shí)間和相位依次落后。 波動(dòng)現(xiàn)象是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質(zhì)點(diǎn)波動(dòng)現(xiàn)象是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質(zhì)點(diǎn)仍在其各自平衡位置附近作振動(dòng)。仍在其

6、各自平衡位置附近作振動(dòng)。振動(dòng)的傳播過程稱為波動(dòng)。振動(dòng)的傳播過程稱為波動(dòng)。產(chǎn)生機(jī)械波的必要條件：產(chǎn)生機(jī)械波的必要條件：橫波軟繩軟繩波的傳播方向波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向軟繩軟繩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向波的傳播方向波的傳播方向抖動(dòng)一下，產(chǎn)生一個(gè)脈沖橫波抖動(dòng)一下，產(chǎn)生一個(gè)脈沖橫波連續(xù)抖動(dòng)，產(chǎn)生連續(xù)橫波連續(xù)抖動(dòng)，產(chǎn)生連續(xù)橫波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直縱波抽送一下，產(chǎn)生一個(gè)脈沖縱波抽送一下，產(chǎn)生一個(gè)脈沖縱波軟彈簧軟彈簧軟彈簧軟彈簧波的傳播方向波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向連續(xù)連續(xù)抽送抽送，產(chǎn)生連續(xù)，產(chǎn)生連續(xù)縱縱波波波的傳播方向波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向

7、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向 在機(jī)械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庠跈C(jī)械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動(dòng)情況較復(fù)雜，不是單純的縱波或橫波。中的聲波是縱波。液體表面的波動(dòng)情況較復(fù)雜，不是單純的縱波或橫波。質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行機(jī)械波傳播特征波長周期波速波速波速單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)（振動(dòng)相位）的傳播速度，單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)（振動(dòng)相位）的傳播速度，又稱相速。機(jī)械波速又稱相速。機(jī)械波速取決于彈性媒質(zhì)的物理性質(zhì)取決于彈性媒質(zhì)的物理性質(zhì)?；蚧虿ㄩL波長振動(dòng)狀態(tài)完全相同的相鄰兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離

8、。振動(dòng)狀態(tài)完全相同的相鄰兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離。周期周期波形移過一個(gè)波長所需的時(shí)間。波形移過一個(gè)波長所需的時(shí)間。頻率頻率周期的倒數(shù)。周期的倒數(shù)。, 取決于波源振動(dòng)頻率取決于波源振動(dòng)頻率。波傳播方向波傳播方向波速波速幾何描述波波 前前波波 面面波波 線線波面波面振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面。振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面。波前波前最前面的波面。最前面的波面。平面波（波面為平面的波）平面波（波面為平面的波）球面波（波面為球面的波）球面波（波面為球面的波）波線（波射線）波線（波射線）沿波的傳播方向的射線。在各向同沿波的傳播方向的射線。在各向同性媒質(zhì)中，波線恒與波面垂直。性媒質(zhì)中，波線恒與波面垂直。第一節(jié)平面簡諧波正

9、向波波函數(shù)三種表達(dá)式負(fù)向波一般形式例)(cos0 uxtAy0)40(200cos02. 0)5200(cos02. 0)2005(cos02. 0 xtxttxy 比較可知：比較可知： 200 40 u100120022 THZT1001 muT4 . 0100140 正向波正向波反向波反向波)10(2cos2 . 0 xty 2 smu/10 sT1222 HZ1 muT10110 說明說明X-dX-d點(diǎn)的相位比點(diǎn)的相位比x x點(diǎn)的相位落后點(diǎn)的相位落后例物理意義若給定某點(diǎn)若給定某點(diǎn) P 的的 ，波函數(shù)變?yōu)椋ê瘮?shù)變?yōu)?P 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的距原點(diǎn)為距原點(diǎn)為 處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初

10、相P點(diǎn)的點(diǎn)的若給定若給定 ，波動(dòng)方程表示所給定的，波動(dòng)方程表示所給定的 時(shí)刻波線上各振動(dòng)質(zhì)時(shí)刻波線上各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對各自平衡點(diǎn)的位置分布，即該時(shí)刻的點(diǎn)相對各自平衡點(diǎn)的位置分布，即該時(shí)刻的t t1 1 時(shí)刻的時(shí)刻的例例2340 T 0由旋轉(zhuǎn)矢量法知由旋轉(zhuǎn)矢量法知tT/4時(shí)的相位時(shí)的相位T/42121121222xxxxxu 11122212222222xxtttuTTxxtttuTT 兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的相位差相位差為其初相位差：為其初相位差：21xxx 兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的波程差波程差為：為：在同一時(shí)刻，距離原點(diǎn)在同一時(shí)刻，距離原點(diǎn)O分別為分別為x1和和x2的兩質(zhì)點(diǎn)的相位分別為：的兩質(zhì)點(diǎn)的相位分別為： cosx

11、yAtu波函數(shù)1 波的能量波的能量 波動(dòng)在彈性介質(zhì)內(nèi)傳播時(shí)，波所達(dá)到的質(zhì)元要發(fā)生振動(dòng)，波動(dòng)在彈性介質(zhì)內(nèi)傳播時(shí)，波所達(dá)到的質(zhì)元要發(fā)生振動(dòng)，因而有因而有動(dòng)能動(dòng)能，質(zhì)元還要發(fā)生形變因而有，質(zhì)元還要發(fā)生形變因而有彈性勢能彈性勢能.動(dòng)能與彈動(dòng)能與彈性勢能的性勢能的總和總和即為該質(zhì)元含有的波的能量即為該質(zhì)元含有的波的能量. 在波線上坐標(biāo)為在波線上坐標(biāo)為x處取一個(gè)體積元處取一個(gè)體積元V，其質(zhì)量，其質(zhì)量d dm= = V )(cosuxt Ay該體積元的振動(dòng)速度為該體積元的振動(dòng)速度為 sin()yx A ttu 設(shè)平面簡諧波為設(shè)平面簡諧波為 xxOx該體積元該體積元V的動(dòng)能為的動(dòng)能為 2222k11 sin

12、()22xWm VAtu可以證明，因?yàn)榻橘|(zhì)形變，體積元可以證明，因?yàn)榻橘|(zhì)形變，體積元V的的勢能勢能與與動(dòng)能相等動(dòng)能相等 222pk1sin()2xWW VAtu 在波的傳播過程中，彈性介質(zhì)體積元中的動(dòng)能、勢能和在波的傳播過程中，彈性介質(zhì)體積元中的動(dòng)能、勢能和機(jī)械能都是時(shí)間機(jī)械能都是時(shí)間t的周期性函數(shù)，它們的周期性函數(shù)，它們同時(shí)最大同時(shí)最大平衡位平衡位置，同時(shí)最?。榱悖┲?，同時(shí)最?。榱悖┳畲笪灰铺幾畲笪灰铺?。 體積元體積元V的機(jī)械能為的機(jī)械能為222kpsin()xWWW VAtu 222sin()WxwAtVu單位體積的介質(zhì)中波所具有的能量稱為單位體積的介質(zhì)中波所具有的能量稱為能量密度能量

13、密度 。( )w能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值稱為平均能量密度平均能量密度 。 )w22222 011 sin ()d2 TxwAttATu2 波的能流波的能流 單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某一截面的能量稱為通過該面積單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某一截面的能量稱為通過該面積的能流，以的能流，以P表示。表示。 能流密度：能流密度：/PSwuPwuS 對能流密度取時(shí)間的平均值，稱為對能流密度取時(shí)間的平均值，稱為平均能流密度平均能流密度，以以I表示。又稱表示。又稱波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度。2212PIwuAuS在在SISI中，能流密度的單位是瓦每平方米，符號(hào)為中，能流密度的單位是瓦每平方米，符

14、號(hào)為WmWm-2-22AI 2IudtuS3 波的振幅波的振幅 在波動(dòng)過程中，如果各處傳波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀況不隨時(shí)間改變，在波動(dòng)過程中，如果各處傳波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀況不隨時(shí)間改變，并且振動(dòng)能量也不為介質(zhì)吸收，那么單位時(shí)間內(nèi)通過不同波面的并且振動(dòng)能量也不為介質(zhì)吸收，那么單位時(shí)間內(nèi)通過不同波面的總能量就相等，這是能量守恒定律要求的總能量就相等，這是能量守恒定律要求的. 對對平面波平面波，可任取兩個(gè)面積為，可任取兩個(gè)面積為S1、S2的波面，相應(yīng)的強(qiáng)度的波面，相應(yīng)的強(qiáng)度分別為分別為I1,I2. 由于由于S1S2 ，且根據(jù)能量守恒，在單位時(shí)間有，且根據(jù)能量守恒，在單位時(shí)間有1122I SI S所以所以 12II

15、從而從而 12AA對球面波對球面波 1s2s1r2r2222221221421421ruAruA1122I SI S仍有仍有 即即1221rrAA所以所以 （振幅與半徑成反比）（振幅與半徑成反比） 令令 221,1(AA rr r單位）有有 1/AA r由此可寫出球面簡諧波的波動(dòng)方程由此可寫出球面簡諧波的波動(dòng)方程)1c/ostryA r其中其中 號(hào)表示波的傳播方向。號(hào)表示波的傳播方向。 第一節(jié) 在波的傳播過程中，波前上的每一點(diǎn)都可看成是發(fā)射子波的波在波的傳播過程中，波前上的每一點(diǎn)都可看成是發(fā)射子波的波源，在源，在t時(shí)刻這些子波源發(fā)出的子波，經(jīng)時(shí)刻這些子波源發(fā)出的子波，經(jīng)t時(shí)間后形成半徑為時(shí)間后

16、形成半徑為ut(u為波速為波速)的球形波面，在波的前進(jìn)方向上這些子波波面的包的球形波面，在波的前進(jìn)方向上這些子波波面的包跡就是跡就是t+t時(shí)刻的新波面時(shí)刻的新波面.這就是惠更斯原理這就是惠更斯原理. 球球 面面 波波平平 面面 波波O1R2Rtuu t障礙物的小孔成為新的波源障礙物的小孔成為新的波源原波陣面原波陣面新波陣面新波陣面S1S2t 時(shí)刻時(shí)刻t+t 時(shí)刻時(shí)刻ut 反射線與入射線和界面法線位反射線與入射線和界面法線位于同一平面內(nèi)，并且入射線與法于同一平面內(nèi)，并且入射線與法線的夾角線的夾角(入射角入射角)等于反射線與等于反射線與法線的夾角法線的夾角(反射角反射角).這就是波的這就是波的反射

17、定律反射定律. 1 波的反射波的反射N界面界面RN界面界面IiirRA用惠更斯原理證明反射定律用惠更斯原理證明反射定律波的反射定律波的反射定律 用惠更斯原理證明反射定律用惠更斯原理證明反射定律 設(shè)平面波設(shè)平面波AB以波速以波速v入射到入射到兩種介質(zhì)兩種介質(zhì)1和和2的分界面的分界面MN上上.在不同時(shí)刻，波前的位置分別在不同時(shí)刻，波前的位置分別為為AB， CC， DD， EE，. 由于是在同種介質(zhì)中傳播，波速不變，因而由于是在同種介質(zhì)中傳播，波速不變，因而AA=BB，CC=CB，DD=DB，EE=EB ，.中心在中心在A，C，D，E，的一組圓柱面的包跡的一組圓柱面的包跡AB就是反射波的波前就是反射

18、波的波前. 當(dāng)振動(dòng)由點(diǎn)當(dāng)振動(dòng)由點(diǎn)B傳至點(diǎn)傳至點(diǎn)B，由，由C，傳至，傳至B時(shí)，在點(diǎn)時(shí)，在點(diǎn)A，C，D，E，發(fā)出的次波分別通過了由半徑發(fā)出的次波分別通過了由半徑AA，CC，DD，EE，所決定的距離所決定的距離. 1）折射線、入射線和界面折射線、入射線和界面的法線在同一平面內(nèi)；的法線在同一平面內(nèi)；21sinsinuuri2） 2 波的折射波的折射 N界面界面RN界面界面IiirRA用惠更斯原理證明折射定律用惠更斯原理證明折射定律波的折射定律波的折射定律 當(dāng)波在第一種介質(zhì)中通過距離當(dāng)波在第一種介質(zhì)中通過距離BB時(shí)，波在同一時(shí)間內(nèi)將在另時(shí)，波在同一時(shí)間內(nèi)將在另一種介質(zhì)中通過距離一種介質(zhì)中通過距離AA.二

19、者之二者之比應(yīng)等于波在兩種介質(zhì)中的波速比應(yīng)等于波在兩種介質(zhì)中的波速u1、u2之比，即有之比，即有 用惠更斯原理證明折射定律用惠更斯原理證明折射定律12/BBAAuu因?yàn)橐驗(yàn)?sin ,sinBBABi AAABr所以所以 12sinsiniBBurAAuir 水波通過狹縫后的衍射水波通過狹縫后的衍射 波的衍射是指波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，傳播方向波的衍射是指波在傳播過程中遇到障礙物時(shí)，傳播方向發(fā)生改變，能繞過障礙物的現(xiàn)象發(fā)生改變，能繞過障礙物的現(xiàn)象. 波的衍射波的衍射a障礙物的小孔成為新的波源障礙物的小孔成為新的波源第一節(jié) 實(shí)驗(yàn)表明，幾列波同時(shí)通過同一介質(zhì)時(shí)，它們各自保持實(shí)驗(yàn)表明，幾列波同時(shí)

20、通過同一介質(zhì)時(shí)，它們各自保持自己的頻率、波長、振幅和振動(dòng)方向等特點(diǎn)不變，彼此互自己的頻率、波長、振幅和振動(dòng)方向等特點(diǎn)不變，彼此互不影響，這稱為不影響，這稱為波傳播的獨(dú)立性波傳播的獨(dú)立性. 在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)所引起的該質(zhì)元的位移的矢量和，這稱為傳播時(shí)所引起的該質(zhì)元的位移的矢量和，這稱為波的疊加原理波的疊加原理. 1 波傳播的獨(dú)立性波傳播的獨(dú)立性2 波的疊加原理波的疊加原理波疊加原理過程分解過程分解 兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定或相位相兩個(gè)頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定或相位相同的波源發(fā)出的兩列波

21、，在它們相遇區(qū)域內(nèi)，某些點(diǎn)處同的波源發(fā)出的兩列波，在它們相遇區(qū)域內(nèi)，某些點(diǎn)處的振動(dòng)始終加強(qiáng)，而在另一些點(diǎn)處的振動(dòng)始終減弱，這的振動(dòng)始終加強(qiáng)，而在另一些點(diǎn)處的振動(dòng)始終減弱，這一現(xiàn)象稱為波的干涉。一現(xiàn)象稱為波的干涉。 1 1）頻率相同；頻率相同；2 2）振動(dòng)方向相同；振動(dòng)方向相同；3 3）相位相同或相位差恒定。相位相同或相位差恒定。波的相干條件波的相干條件 1s2sP*1r2r1s2sP*1r2r波源振動(dòng)波源振動(dòng)10101cos()yAt20202cos()yAt1111cos(2)ryAt2222cos(2)ryAtP點(diǎn)的兩個(gè)分振動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)分振動(dòng)P點(diǎn)的合振動(dòng)為點(diǎn)的合振動(dòng)為 12cos()yyyA

22、tP點(diǎn)的合振動(dòng)為點(diǎn)的合振動(dòng)為 12cos()yyyAt其中其中 2212122cosAAAA A其中兩個(gè)分振動(dòng)的相位差為其中兩個(gè)分振動(dòng)的相位差為 21122()()rr 由于由于 的值是由波源決定的，且對空間各點(diǎn)的值是由波源決定的，且對空間各點(diǎn)此值都相同，故可令其為零，從而有此值都相同，故可令其為零，從而有12212()rr212()rr說明說明2212122cosAAAA A1）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即時(shí)，即 212()2,0,1,2rrkk 21AAA合振幅最大，振動(dòng)最大加強(qiáng)合振幅最大，振動(dòng)最大加強(qiáng)21, 0,1,2rrkk 波程差波程差 2）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即時(shí)，即 )212()21,0,1,2rrkk 12AAA合振幅最小，振動(dòng)最大減弱合振幅最小，振動(dòng)最大減弱2121, 0,1,22krrk 波程差波程差 2