N角星的尖角度數(shù)之和

1、N角星的尖角度數(shù)之和有一道這樣的數(shù)學(xué)題：如圖所示，為五角星圖案，圖、圖叫做蛻變的五角星試回答以下問(wèn)圖1（1）在圖中，試證明A+B+C+D+E=180；（2）對(duì)于圖或圖，還能得到同樣的結(jié)論嗎？若能，請(qǐng)?jiān)趫D或圖中任選其一證明你的發(fā)現(xiàn)；若不能，試說(shuō)明理由 這道題實(shí)際并不難，只要利用三角形內(nèi)角和定理及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和的知識(shí)就可以解答。解答過(guò)程如下：1.證明: 如圖。設(shè)BD、EC的交點(diǎn)為F，AC、BD的交點(diǎn)為G； BFC=B+E,DGC=A+D;A+B+C+D+E=BFC+DGC+CBFC+DGC+C=180A+B+C+D+E=1802，能；如圖，設(shè)蛻變前的五角星為ABCDF,

2、連結(jié)BC;證明一: 在 FBC中， F+FBC+ FCB=180 F+1+2+3+4+5+6=180 EBC中E+EBC ECB=180 E+1+2+3+4=180 F+1+2+3 +4+5+6=E+1+ 2+3+4 F+1+2+3+4=E+1+2圖2GABCDEF圖FE51234ABCD6圖GH E+ EBD+ECA= F+ FBD+ FCA A+ D+E+EBD+ECA=A+ D+F+FBD+FCA=180 證明二:設(shè)BD、AC的交點(diǎn)為G，AC、BE的交點(diǎn)為H； HGD=1+BHD,BHD=E+2;A+EBD+ACE+D+E=A+1+2+D+E=A+AGD+D=180作為一道數(shù)學(xué)題，本應(yīng)到

3、此為止。但解答完之后，感覺(jué)好像發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)兒什么，所以，就對(duì)N角星圖案做了一下對(duì)比研究。你還別說(shuō)，還真就發(fā)現(xiàn)了很多有意思的內(nèi)容。首先說(shuō)一下由第一個(gè)問(wèn)題引發(fā)的思考：五角星的五個(gè)尖角之和為180度，那么，六角星、七角星會(huì)怎么樣？八角星、九角星呢？N角星呢?為了說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，先要介紹一下一個(gè)概念：芒星。芒星是由幾個(gè)完全的等腰三角形（有時(shí)是正三角形）和一個(gè)正多邊形組成的平面圖形。等腰三角形的個(gè)數(shù)與正多邊形的邊數(shù)相等。任何芒星都可以一筆畫(huà)出，并且起筆點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)在同一位置。由五個(gè)等腰三角形和正五邊形組成的圖形叫“五芒星”（俗稱：五角星）。由六個(gè)等腰三角形和正六邊形組成的圖形叫“六芒星”依此類推。另外，還要說(shuō)明

4、一下多邊形的有關(guān)概念。同一平面內(nèi)的若干條線段首尾順序相接而組成的封閉圖形叫做多邊形。周界不自交的多邊形叫做簡(jiǎn)單多邊形；簡(jiǎn)單多邊形應(yīng)滿足三個(gè)條件：1.頂點(diǎn)與頂點(diǎn)不重合；2.任何頂點(diǎn)都不在其他邊內(nèi)；3.不相鄰的邊也不相交。非簡(jiǎn)單多邊形叫做星形多邊形。比較發(fā)現(xiàn)，芒星和星形多邊形并不是一回事。芒星并不都是星形多邊形，星形多邊形也并不都是芒星。為了能夠看出規(guī)律，我們不妨把兩種圖形或者圖案都叫做多角星，圖形也好，圖案也罷，它有幾個(gè)尖角（小于平角的角）我們就叫它幾角星。我們?cè)囍信e一些簡(jiǎn)單的多角星圖案（形），分別計(jì)算出它們各自的尖角度數(shù)之和，看看能不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。邊數(shù)最少的正多邊形應(yīng)是正三角形，三芒星的圖案如

5、圖3所示，其三個(gè)尖角之和為1800。其次是四芒星，圖案如圖3，四個(gè)尖角之和為3600。 3 3 五角星就有兩種：如圖4所示左邊為5400、右邊為1800.圖4.六角星兩種、七角星三種如下：圖下是其尖角度數(shù)之和。 7200 3600 1800 5400 9000八角星三種，九角星四種：圖下是其尖角度數(shù)之和。 3600 7200 10800 12600 9000 5400 1800十角星四種： 14400 10800 7200 3600十一角星有五種，十二角星有五種；十三角星六種，十四角星六種，。設(shè)多角星的尖角個(gè)數(shù)為N，觀察上述列舉結(jié)果可知，若N為奇數(shù)，則N角星有（N-1）種，其尖角度數(shù)之和分別為

6、1800,31800，（N-2）1800.若N為偶數(shù)，則N角星有（N-1）種，其尖角度數(shù)之和分別為21800,41800，（N-2）1800.按此規(guī)律推算，二十九角星應(yīng)該有14種，其尖角度數(shù)之和分別為1800,31800，271800。三十角星也應(yīng)該有14種，其尖角度數(shù)之和分別為21800,41800，281800。 以上說(shuō)的N角星都是指正N角星,因?yàn)檎齆角星相鄰各頂點(diǎn)所連線段組成的圖形都是正多邊形，只要畫(huà)出N角星的外接圓，然后數(shù)出每一個(gè)尖角的兩邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)之間的其他尖角的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用圓周角的知識(shí)很容易求出N角星的尖角度數(shù)之和，所以上述結(jié)論不證自明。如果N角星發(fā)生了蛻變，即不再是正N角

7、星了，或者說(shuō)N角星的頂點(diǎn)不一定共圓了，那么，上述結(jié)論是否還成立？這時(shí)應(yīng)怎樣求N角星的尖角度數(shù)之和？這是由前述蛻變的五角星問(wèn)題引發(fā)的第二個(gè)思考。由于N角星數(shù)量眾多，且隨著N的增大，尖角個(gè)數(shù)相同的N角星的種類也會(huì)越來(lái)越多，所以不能一一列舉。下邊僅以七角星為例，說(shuō)明一下多角星尖角度數(shù)之和的求法。七角星有三種，其中最簡(jiǎn)單的一種其實(shí)就是簡(jiǎn)單的七邊形，利用三角形內(nèi)角和的知識(shí)很容易求出其內(nèi)角和為9000。其次是如下圖（1）所示的七角星：借鑒本文開(kāi)始的問(wèn)題（1）中五角星的幾個(gè)尖角度數(shù)之和的求法可以求出來(lái)其尖角的度數(shù)和為1800。還有一種就是下圖（2）所示的七角星。由于此時(shí)七角星發(fā)生了蛻變，再用圓周角的知識(shí)就求

8、不出來(lái)了。五角星的那種尖角度數(shù)和的求法也不能用了。不過(guò)，只要按照AD、DG、GC、CF、FB、BE、EA的順序添加輔助線，就會(huì)得到七個(gè)以尖角的頂點(diǎn)和這個(gè)角的兩邊與其他尖角的邊的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，同時(shí)得到一個(gè)與圖（1）類似的七角星。（1）圖七角星尖角度數(shù)之和為1800，所以圖（2）七角星的尖角度數(shù)之和由圖可知為：（7180-180）0=5400。當(dāng)N3時(shí)，任意N角星不外乎兩大類：一類是有公共邊的兩角的另外兩邊相交，另一類是不相交。求各種N角星的尖角度數(shù)之和，相交的可以用圖（1）的方法，不相交的可以用圖（2）的方法。由上述計(jì)算過(guò)程可知，任意N角星或者說(shuō)蛻變N角星與正N角星的尖角度數(shù)之和相等，仍然

9、滿足上述規(guī)律。這是為什么？實(shí)際上，這一現(xiàn)象的背后隱藏著一個(gè)簡(jiǎn)單的規(guī)律，還以七邊形為例；蛻變以后的七角星非常復(fù)雜，但復(fù)雜的事實(shí)背后總隱藏著簡(jiǎn)單普遍的規(guī)律。物理學(xué)中有個(gè)控制變量法。即物理學(xué)中對(duì)于多因素（多變量）的問(wèn)題，常常采用控制因素（變量）的方法，把多因素的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成多個(gè)單因素的問(wèn)題，而只改變其中的某一個(gè)因素，從而研究這個(gè)因素對(duì)事物的影響；先分別對(duì)每一個(gè)因素加以研究，最后再綜合解決；這種方法叫控制變量法。它是科學(xué)探究中的一種重要思想方法，被廣泛地運(yùn)用在各種科學(xué)探索和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究之中。現(xiàn)在我們不妨拿來(lái)一用。如圖（3），假設(shè)正七角星的頂點(diǎn)A蛻變到A的位置，而其他頂點(diǎn)不動(dòng)；從圖中明顯能夠看出，在CA

10、F蛻變到CAF的同時(shí)，ACF和AFC也在蛻變，但無(wú)論怎樣蛻變，總有1=3+5，2=4+6；CAF-CAF=5+6.也就是說(shuō)，無(wú)論點(diǎn)A處在什么位置，只要不在ACF的外部，都有CAF+ACF+AFC=C AF+AFC+ACF, 所以七個(gè)尖角的度數(shù)總和并沒(méi)發(fā)生變化。 實(shí)際上即使點(diǎn)A退化到了圖（4）、圖（5）所示的位置時(shí)，也很容易證明七個(gè)尖角的度數(shù)之和并沒(méi)有發(fā)生變化；因?yàn)锳CF和ACF的內(nèi)角和始終相等，都等于180。其他頂點(diǎn)發(fā)生蛻變時(shí)，情形一樣。最后的結(jié)論是，任意N角星的尖角度數(shù)之和與與其對(duì)應(yīng)的正N角星的尖角度數(shù)之和相等。要求任意N角星的尖角度數(shù)之和，只需求出與其對(duì)應(yīng)的正N角星的尖角度數(shù)之和。而一般情況下，利用圓周角的有關(guān)知識(shí)，正N角星的尖角度數(shù)之和是比較好求的；這也算體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想吧。數(shù)學(xué)的殿堂總是那么絢爛多彩，引人入勝。復(fù)雜的事實(shí)背后總隱藏著簡(jiǎn)單普遍的規(guī)律。同時(shí)，看似簡(jiǎn)單問(wèn)題的背后也往往透視著高深莫測(cè)的科學(xué)原理。作為一名教師，我的一貫看法是做數(shù)學(xué)題是為了學(xué)好數(shù)學(xué)，但學(xué)好數(shù)學(xué)并不是單單為了做數(shù)學(xué)題。數(shù)學(xué)從它誕生的那天起，就緊緊伴隨著人類的生活