一元二次函數(shù)問題的探究

1、一元二次函數(shù)問題的探究（高三復(fù)習(xí)）以二次函數(shù)為載體考察數(shù)學(xué)知識(shí)與能力的題型日趨豐富多彩學(xué)生又無所適從的感覺，本文就各地的模擬試題進(jìn)行探討并歸納其求解方法與技巧供學(xué)習(xí)參考。一：設(shè)解析式法求解：二次函數(shù)有三種表示式；一般式：y=ax2+bx+c(a0)根式y(tǒng)=a(x-)(x-)(、是f(x)0的兩根)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(h、k為頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo))。題1：設(shè)f(x)=x2+ax+b 若方程f(x)=0兩個(gè)非整數(shù)根,且這兩實(shí)根在相鄰兩整數(shù)之間,證明存在整數(shù)k使得|f(k)|證明: 設(shè)f(x)=0的兩根為、且n、n+1(nz)f(x)=x2+ax+b=(x-)(x-) f(n)=(n-)(n-

2、)f(n+1)=(n+1-)(n+1-)|f(n)f(n+1)|=|(-n)(-n)(n+1-)(n+1-)| =f(n)f(n+1) ，則f(n)或f(n+1)必有一個(gè)成立。二：替代法求證：即把a(bǔ)、b、c用已知的函數(shù)值代替這是一種常用的方法題2：已知f(x)=ax2+bx+c,若x 1,1均有|f(x)|1設(shè)g(x)=cx2+bx+a x 1,1求證：|g(x)|2證明 ：依題知： f(0)=c c=f(0)f(1)=a+b+c a=-f0)f(-1)=a-b+c b=g(x)=|f(0)(x2-1)+(x+1)+(1-x)|f(0)|(x2-1)|+ |(x+1)|+ |(1-x)|f(0

3、)|+(|x+1|+|1-x|) (-1x1 x+1+1-x=2 )2三：特值法求證：已知 f(x)=x2+ax+b當(dāng)x-1,1 f(x)的最大值為M 求證:M證明:|f(x)|M x-1,1 取x=0,1,2 得|f(0)|M |b|M|f(1)|M |a+b+1|M|f(-1)|M |1-a+B|M4M|-2b|+|a+b+1|+|b-a+1|2M 四：判別式法求證：ax2+bx+c0對(duì)xR恒成立則 a>0 或 a=b=0 b2-4ac0 c0對(duì)有恒成立這類問題求解最實(shí)用題4：已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR) a-b+c=0 對(duì)任意的x有f(x)-x0并且x0,

4、2時(shí)有f(x)()2求f(1)的值求證：ac=1:解 f(x)x f(1)1 又f(x) ()2f(1)1 f(1)=12:證： a-b+c=0 a+b+c=0 b= a+c=f(x)-x=ax2-x+c0(xR)恒成立a>0 =-4ac0 a>0 ac又ac=a(-a)=-(a-)2+ ac=五：端點(diǎn)最值法求解：二次函數(shù)y=f(x)取最值點(diǎn)在區(qū)間的端點(diǎn)或頂點(diǎn)把握這點(diǎn)是證題的關(guān)鍵如題5：設(shè)f(x)=x2+ax+b x-1,1時(shí)f(x)的最大值為 M 證明Mb+1：當(dāng)0<a< 證明對(duì)任意x-1,1 |f(x)|1 -1b-a1:解：y=f(x)開口向上 y=f(x)在x=-1或1取最大值 若在x=-1點(diǎn)取最大值 則對(duì)稱軸x=-a0 M=1-a+b1+b若在x=1點(diǎn)取最大值 則對(duì)稱軸x=-a0 M=1+a+b1+b2：證明0<a< 對(duì)稱軸x=-a0f(-1)f(1) |f(x)|1 x-1,1f(1)1 1+a+b1