簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（課堂PPT）

1、12一、教學(xué)目標(biāo)：一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解簡單復(fù)合函數(shù)、了解簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；的求導(dǎo)法則；2、會運(yùn)用上述法則，求簡、會運(yùn)用上述法則，求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。二、教學(xué)重點(diǎn)：二、教學(xué)重點(diǎn)：簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用則的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用應(yīng)用三、教學(xué)方法：三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過程四、教學(xué)過程3復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：兩個函數(shù)的和、差、積、商的兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式。求導(dǎo)公式。1、 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：0C1)(nnnxxxxcos)(sinxx

2、sin)(cos2、法則、法則1 )()()()(xvxuxvxu法則法則2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x , ( )( )Cu xCu x 法則法則3 2(0)uu vuvvvv4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)新授課新授課函數(shù)函數(shù) ， ， 構(gòu)成間的關(guān)系？構(gòu)成間的關(guān)系？2uy 23 xu2)23( xy可由可由 與與 復(fù)合得到復(fù)合得到 2uy 23 xu2)23( xy例例1 指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系： 32)2(xy （1）2sin xy （2） xy4cos （3）)13sin(ln xy（4） 由由 復(fù)合而成復(fù)合

3、而成 32)2(xy 232,xuuy 解解：（：（1）（2 2） 由由 復(fù)合而成復(fù)合而成 2sin xy 2,sinxuuy （3 3） 由由 復(fù)合而復(fù)合而成成 xy4cos xuuy 4,cos （4 4） 由由 復(fù)合而復(fù)合而成成 )13sin(ln xy13,sin,ln xvvuuy5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)新授課新授課例例2 寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)： （1） （2 2）21,cosxuuy xuuyln,ln 解解：（：（1 1）).ln(lnxy )1cos(2xy （2）6引例引例 一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油輪發(fā)生泄漏

4、事故，泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，其面積成一個圓形油膜，其面積 是半徑是半徑 的函數(shù)：的函數(shù)：Sr 油膜半徑油膜半徑 隨著時間隨著時間 的增加而擴(kuò)大，其函數(shù)關(guān)的增加而擴(kuò)大，其函數(shù)關(guān)系為：系為：tr2)(rrfS12)(ttr 問：油膜面積問：油膜面積 關(guān)于時間關(guān)于時間 的瞬時變化率是多的瞬時變化率是多少？少？St7分析：分析：油膜面積油膜面積 關(guān)于時間關(guān)于時間 的新函數(shù)：的新函數(shù)：St2)12()(ttfS)12(4)48()(tttf)144()12()(2tttftf由于由于所以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：所以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：2)(,2)(trrrf)()12(2)12(2)(tt

5、fttf8概括概括 一般地，對函數(shù)一般地，對函數(shù) 和和 ，給定給定 的一個值，可得的一個值，可得 的值，進(jìn)而確定的值，進(jìn)而確定 的值，的值，這就確定了新函數(shù)這就確定了新函數(shù) ，它是由，它是由 和和 復(fù)合而成的，我們稱之為復(fù)合函復(fù)合而成的，我們稱之為復(fù)合函數(shù)，其中數(shù)，其中 是中間變量。是中間變量。)(ufy baxxu)(xyu)(baxfy)(ufy baxxu)(u復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：)(baxfy)()()()(baxf axufuf9復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 中，令中，令 ，則，則)(xfy)(xu)()()(xufxf注意：注意： 復(fù)合函數(shù)的中間變量可以是任何函數(shù)，在高中復(fù)合函數(shù)

6、的中間變量可以是任何函數(shù)，在高中階段我們只討論階段我們只討論 的情況。的情況。baxxu)(推廣：推廣：注意：注意：不要寫成不要寫成 ！)(xf對對x求導(dǎo)求導(dǎo)對對 求導(dǎo)求導(dǎo))(x10復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若若 ， ，求，求 23,2 xuuy)(,xfuyxu 2)23()( xxf并分析三個函數(shù)解析式以及導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系并分析三個函數(shù)解析式以及導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系新授課新授課128)4129()23()(22 xxxxxfuyu2 3 xu12183)23(232 xxuuyxu函數(shù)函數(shù) 可由可由 復(fù)合而成復(fù)合而成23,2 xuuy)(xfxuuyxf )(11復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)新授

7、課新授課 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ，函，函數(shù)數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的對應(yīng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn) 處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ，則復(fù)合，則復(fù)合函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處也有導(dǎo)數(shù)，且處也有導(dǎo)數(shù)，且或?qū)懽骰驅(qū)懽?)(xu xx)(xux )(ufy u)(ufyu )(xfy xuxuyy )()()(xufxfx x12復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例題講解例題講解例例3 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)5)12( xy解：設(shè)解：設(shè) ， 則則 12,5 xuuyxuxuxxuuyy) 12()(5 444) 12(102) 12( 525 xxu13 例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。13 xy例例2 求函數(shù)

8、求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。3)12(xy14例例4 4、一個港口的某一觀測點(diǎn)的水位在退潮的過程一個港口的某一觀測點(diǎn)的水位在退潮的過程中，水面高度中，水面高度y y（單位：（單位：cmcm）。關(guān)于時間）。關(guān)于時間t t（單位：（單位：s s）的函數(shù)為）的函數(shù)為12100)(tthy，求函數(shù)在，求函數(shù)在t t=3=3時的導(dǎo)數(shù)，時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義。并解釋它的實(shí)際意義。12100)(tthyxxf100)(12)(ttx解：解：函數(shù)函數(shù)是由函數(shù)是由函數(shù)與與復(fù)合而成的，其中復(fù)合而成的，其中x x是中間變量。是中間變量。22) 12(2002100)()()(txtxfthyt將將t t=3=3代

9、入代入)(th得：得：49200)3( h（cm/s）。）。它表示當(dāng)它表示當(dāng)t=3時，水面高度下降的速度為時，水面高度下降的速度為 49200 cm/s。15例例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：)(sin)2()()1(2xfyxfy 前面所求的都是具體的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而此題前面所求的都是具體的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而此題中的對應(yīng)法則中的對應(yīng)法則 f 是未知的，是抽象的復(fù)合函數(shù)。它們是未知的，是抽象的復(fù)合函數(shù)。它們的導(dǎo)數(shù)如何求得？的導(dǎo)數(shù)如何求得？16（1）首先要）首先要弄清復(fù)合關(guān)系弄清復(fù)合關(guān)系，特別要，特別要注意中間變量注意中間變量；（2）盡可能地將函數(shù)）盡可能地將函數(shù)化簡化簡，然后再，然

10、后再求導(dǎo)求導(dǎo)；（3 3）要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與四則運(yùn)算的綜合要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與四則運(yùn)算的綜合運(yùn)用；運(yùn)用；（4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，常被稱為）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，常被稱為“鏈條法則鏈條法則”，一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意問題：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意問題：17xeyxycos110) 2() 25()(11. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2. 求曲線求曲線 在在 處的切線方程。處的切線方程。2)12(xxy6x)25(50 xyxexycos1sin014343 yx動手做一做動手做一做18)1()2()1()(2xfyxfy1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求

11、下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：動手做一做動手做一做)1(xf )1(12xfx)1(1222xfxx19小結(jié)小結(jié)關(guān)鍵：關(guān)鍵：分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，合理選定中間變量。分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，合理選定中間變量。 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：)()()(xufxf利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可以求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可以求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 對于抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)對于抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo), , 要從其形式上把握其要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，找出中間變量；另外要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)結(jié)構(gòu)特征，找出中間變量；另外要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。系的求導(dǎo)法則。 抽象復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：抽象復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：20 利用復(fù)合函數(shù)

12、的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，首先要利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，首先要弄清復(fù)合關(guān)系，弄清復(fù)合關(guān)系，而選擇而選擇中間變量中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。關(guān)鍵。分析：分析： 令令 ，則函數(shù)是由，則函數(shù)是由 與與 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：可知：13)(xxu21)(uuuf13)(xxu解：解：1323321)()()13(xuxufx21解：解： 令令 ，則函數(shù)是由，則函數(shù)是由 與與 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知：可知：12)(xxu12)(xxu3)(uuf223)12(623)()()12(xuxufx22 利用

13、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，選擇中間選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。必須。必須正確分析復(fù)合函數(shù)正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，的，分清分清其間的復(fù)合關(guān)系其間的復(fù)合關(guān)系。要善于把一部分量、式子暫時當(dāng)作。要善于把一部分量、式子暫時當(dāng)作一個整體，這個暫時的整體，就是中間變量。求導(dǎo)時一個整體，這個暫時的整體，就是中間變量。求導(dǎo)時需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏，而其中需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏，而其中特別要注意中間變量的系數(shù)，求導(dǎo)后，要把中間變量特別要注意中間變量的系數(shù)，求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)?？偨Y(jié)總結(jié)23 而而對于抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)對于抽象復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo), ,一方面要從其形式一方面要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，找出中間變量，另一方面要充上把握其結(jié)構(gòu)特征，找出中間變量，另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。分析分析: : 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù), ,關(guān)鍵關(guān)鍵在于在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系系，合理選定中間變量，明確求導(dǎo)過程中每次是哪，合理選定中間變量