不等關(guān)系與不等式復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

1、§7.1不等關(guān)系與不等式1.考查有關(guān)不等式的命題真假及數(shù)式的大小比較；2.考查和函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟練掌握不等式的性質(zhì)，并會(huì)正確理解和應(yīng)用；2.對(duì)含參數(shù)的不等式，要把握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)和技巧1不等式的定義在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的我們用數(shù)學(xué)符號(hào)>、<、連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系含有這些不等號(hào)的式子，叫作不等式2兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b>0)3不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>ca>c；(3)可加

2、性：a>bac>bc，a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b>0，c>d>0ac>bd；(5)可乘方：a>b>0an>bn(nN，n1)；(6)可開(kāi)方：a>b>0> (nN，n2)4不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì)a>b， ab>0_<_.a<0<b_<_.a>b>0,0<c<d_>_.0<a<x<b或a<x<b<0_<_<_.(2)

3、有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：<；>(bm>0)假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：>；< (bm>0)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí)，要特別注意下面幾點(diǎn)(1)不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩實(shí)數(shù)a、b有ab>0a>b，ab0ab，ab<0a<b，這是比較兩數(shù)(式)大小的理論根據(jù)，也是學(xué)習(xí)不等式的基石(2)一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)，并注意在解題中靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用(3)不等式的傳遞性：若a>b，b>c，則a>c，這是放縮法的依據(jù)，在運(yùn)用傳遞性時(shí)，要注意不等式的方

4、向，否則易產(chǎn)生這樣的錯(cuò)誤：為證明a>c，選擇中間量b，在證出a>b，c>b后，就誤認(rèn)為能得到a>c.(4)同向不等式可相加，但不能相減，即由a>b，c>d，可以得出ac>bd，但不能得出ac>bd.2理解不等式的思想和方法(1)作差法是證明不等式的最基本也是很重要的方法，應(yīng)引起高度注意，要注意強(qiáng)化(2)加強(qiáng)化歸意識(shí)，把比較大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算(3)通過(guò)復(fù)習(xí)要強(qiáng)化不等式“運(yùn)算”的條件如a>b、c>d在什么條件下才能推出ac>bd.(4)強(qiáng)化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系1已知a>b>0，且c&g

5、t;d>0，則與的大小關(guān)系是_答案>解析a>b>0，c>d>0，>>0， > .2已知a<0，1<b<0，那么a，ab，ab2的大小關(guān)系是_答案ab>ab2>a解析由1<b<0，可得b<b2<1.又a<0，ab>ab2>a.3限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40 km/h，寫(xiě)成不等式就是 ()Av<40 km/h Bv>40 km/hCv40 km/h Dv40 km/h答案D4(2011·浙江)設(shè)a，b為

6、實(shí)數(shù)，則“0<ab<1”是“b<”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案D解析0<ab<1，a，b同號(hào)，且ab<1.當(dāng)a>0，b>0時(shí)，b<；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，b>.“0<ab<1”是“b<”的不充分條件而取b1，a1，顯然有b<，但不能推出0<ab<1，“0<ab<1”是“b<”的不必要條件5(2012·湖南)設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個(gè)結(jié)論：>；ac<bc；logb(ac

7、)>loga(bc)其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()A BC D答案D解析根據(jù)不等式的性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)求解a>b>1，<.又c<0，>，故正確構(gòu)造函數(shù)yxc.c<0，yxc在(0，)上是減函數(shù)又a>b>1，ac<bc，故正確a>b>1，c>0，ac>bc>1.a>b>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，即logb(ac)>loga(bc)，故正確題型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1已知<<<，求，的取值范圍思維啟迪：不等式性質(zhì)的應(yīng)用是本題的突破點(diǎn)解因?yàn)?/p>

8、<<<，所以<<，<<.所以<<，<<.因?yàn)?lt;，所以<0.故<<0.探究提高(1)利用不等式的性質(zhì)求范圍要充分利用題設(shè)中的條件，如本題中的條件<；(2)注意“”形式，利用不等式要正確變形 已知1<xy<4且2<xy<3，則z2x3y的取值范圍是_(答案用區(qū)間表示)答案(3,8)解析設(shè)2x3ym(xy)n(xy)，解得2x3y(xy)(xy)，1<xy<4,2<xy<3，2<(xy)<，5<(xy)<，3<(xy)(xy)&

9、lt;8，即3<2x3y<8，所以z2x3y的取值范圍為(3,8)題型二比較大小問(wèn)題例2已知a1且aR，試比較與1a的大小思維啟迪：要判斷與1a的大小，只需研究它們差的符號(hào)解(1a)，當(dāng)a0時(shí)，0，1a.當(dāng)a<1，且a0時(shí)，>0，>1a.當(dāng)a>1時(shí)，<0，<1a.探究提高實(shí)數(shù)的大小比較常常轉(zhuǎn)化為對(duì)它們差(簡(jiǎn)稱作差法)的符號(hào)的判定，當(dāng)解析式里面含有字母時(shí)常需分類討論 (2012·四川)設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)現(xiàn)有下列命題：若a2b21，則ab<1；若1，則ab<1；若|1，則|ab|<1；若|a3b3|1，則|ab|<1.

10、其中的真命題有_(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))答案解析中，a2b2(ab)(ab)1，a，b為正實(shí)數(shù)，若ab1，則必有ab>1，不合題意，故正確中，1，只需abab即可如取a2，b滿足上式，但ab>1，故錯(cuò)中，a，b為正實(shí)數(shù)，所以>|1，且|ab|()()|>1，故錯(cuò)中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取a>b>1，則必有a2abb2>1，不合題意，故正確題型三不等式與函數(shù)、方程的綜合問(wèn)題例3已知f(x)是定義在(，4上的減函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得f(msin x)f對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立？若存在，求

11、出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思維啟迪：不等式和函數(shù)的結(jié)合，往往要利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域解假設(shè)實(shí)數(shù)m存在，依題意，可得即因?yàn)閟in x的最小值為1，且(sin x)2的最大值為0，要滿足題意，必須有解得m或m3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.探究提高不等式恒成立問(wèn)題一般要利用函數(shù)的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min. 已知a、b、c是實(shí)數(shù)，試比較a2b2c2與abbcca的大小解方法一(作差法)a2b2c2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)，a2b2c2abbcca.方法二(函數(shù)法)記ta2b2c2(abbcca)a2(bc)ab2c2

12、bc，(bc)24(b2c2bc)3b23c26bc3(bc)20，t0對(duì)aR恒成立，即a2b2c2abbcca.不等式變形中擴(kuò)大范圍致誤典例：(12分)已知1lg 2,2lg 3，求lg 的取值范圍易錯(cuò)分析根據(jù)不等式性質(zhì)先解出lg x，lg y的范圍，再求lg的范圍，錯(cuò)誤原因是lg x，lg y的最值不一定能同時(shí)取到，這種做法可能擴(kuò)大所求范圍審題視角(1)注意已知條件1lg 2,2lg 3.(2)分析lg 與lg 、lg 的線性關(guān)系(3)先將它們表示成lg x、lg y的線性關(guān)系規(guī)范解答解由變形，得2分令解得4分lg3lg xlg y3··ba.6分由得9分ba3，即lg

13、3.11分lg的取值范圍是.12分溫馨提醒(1)此類問(wèn)題的一般解法是：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過(guò)”一次性“使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍；(2)本題也可以利用線性規(guī)劃思想求解；(3)求范圍問(wèn)題如果多次利用不等式有可能擴(kuò)大變量取值范圍方法與技巧1用同向不等式求差的范圍ad<xy<bc這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時(shí)經(jīng)常用到2倒數(shù)關(guān)系在不等式中的作用<；>.3比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，比差法的主要步驟：作差變形判斷正負(fù)在所給不等式完全是積、商、冪的形式時(shí)，可考慮比商失誤與防范1a>bac>bc或a<ba

14、c<bc，當(dāng)c0時(shí)不成立2 a>b<或a<b>，當(dāng)ab0時(shí)不成立3a>ban>bn對(duì)于正數(shù)a、b才成立4.>1a>b，對(duì)于正數(shù)a、b才成立5注意不等式性質(zhì)中“”與“”的區(qū)別，如：a>b，b>ca>c，其中a>c不能推出.6求范圍問(wèn)題要整體代換，“一次性”使用不等式性質(zhì)，注意不要擴(kuò)大變量的取值范圍A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分不必要的條件是()Aa>b1 Ba>b1Ca2>b2 Da3>b3答案A解析由

15、a>b1，得a>b1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b1，因此，使a>b成立的充分不必要條件是a>b1.2設(shè)a<b<0，則下列不等式中不成立的是()A.> B.> C|a|>b D.>答案B解析由題設(shè)得a<ab<0，所以有<成立，即>不成立3設(shè)alg e，b(lg e)2，clg ，則()Aa>b>c Ba>c>b Cc>a>bDc>b>a答案B解析0<lg e<lg，lg e>lg e>(lg e)2.a&g

16、t;c>b.4已知pa，qx22，其中a>2，xR，則p，q的大小關(guān)系是()Apq Bp>q Cp<q Dpq答案A解析paa22224，當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)取等號(hào)因?yàn)閤222，所以qx2224，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)所以pq.二、填空題(每小題5分，共15分)5(2011·天津改編)設(shè)x，yR，則“x2且y2”是“x2y24”的_條件答案充分不必要解析x2且y2，x2y24，“x2且y2”是“x2y24”的充分條件；而x2y24不一定得出x2且y2，例如當(dāng)x2且y2時(shí)，x2y24亦成立，故“x2且y2”不是“x2y24”的必要條件“x2且y2”是“x2y24”的充分

17、不必要條件6若角、滿足<<<，則2的取值范圍是_答案解析<<<，<2<，<<，<2<，又2()<<，<2<.7對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c有下列命題：若a>b，則ac<bc；若ac2>bc2，則a>b；若a>b，>，則a>0，b<0.其中真命題為_(kāi)(把正確命題的序號(hào)寫(xiě)在橫線上)答案解析若c0，不成立；由ac2>bc2知c20，則a>b，正確；當(dāng)a>b時(shí)，>0，則a>0，b<0，成立三、解答題(共22分)8(10分)已知a，b是

18、正實(shí)數(shù)，求證：.證明方法一().>0，>0，()20，()0，.方法二11，a>0，b>0，>0，>0，.9(12分)設(shè)f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍解方法一設(shè)f(2)mf(1)nf(1) (m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得，解得，f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法二由，得，f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由確定的

19、平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)f(2)4a2b過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最小值4×2×5，當(dāng)f(2)4a2b過(guò)點(diǎn)B(3,1)時(shí)，取得最大值4×32×110，5f(2)10.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1設(shè)0<x<，則“xsin2x<1”是“xsin x<1”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)0<x<時(shí)，0<sin x<1.由xsin2x<1知xsin x<，不一定得到xsin x<1.反之，當(dāng)xsi

20、n x<1時(shí)，xsin2x<sin x<1.故“xsin2x<1”是“xsin x<1”的必要不充分條件2已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足bc64a3a2，cb44aa2，則a、b、c的大小關(guān)系是()Acb>a Ba>cbCc>b>a Da>c>b答案A解析cb44aa2(2a)20，cb，已知兩式作差得2b22a2，即b1a2，1a2a2>0，1a2>a，b1a2>a，cb>a.3若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()Aa>b B.>Ca>b D.>答案A解析取a2，b1，排除B與D；另外，函數(shù)f(x)x是(0，)上的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)x在(0,1上遞減，在1，)上遞增，所以，當(dāng)a>b>0時(shí)，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，這樣，a>ba>b.二、填空題(每小題5分，共15分)4已知f(n)n，g(n)n，(n)(nN*，n>2)，則f(