B是階對(duì)稱(chēng)矩陣_第1頁(yè)
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1、第九章 二次型1.設(shè)A,B是階對(duì)稱(chēng)矩陣,B是非奇異的.又設(shè)的根互異,分別是齊次線(xiàn)性方程組的非零解,證明:的線(xiàn)性無(wú)關(guān).2.設(shè)A,B,C為階方陣,且正定,證明:也是正定的.3.用非退化線(xiàn)性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果：(1) ；(2) ；(3) +；(4) ，其中4.設(shè)實(shí)二次型=，證明：的秩等于矩陣的秩5設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)c使對(duì)任一個(gè)實(shí)n維向量X都有.6證明:(1) 如果是正定二次型，那么是負(fù)定二次型；(2)如果A是正定矩陣，那么，這里是A的階的順序主子式(3)如果A是正定矩陣，那么. (4)如果是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,那么7證明：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A是半正定的充分必要條件

2、是A的一切主子式全大于或等于零（所謂k階主子式是指形為的k階子式，其中）第九章 二次型一、填空題(第小題3分,共15分)1二次型的矩陣為 2實(shí)數(shù)域上3階對(duì)稱(chēng)矩陣按合同關(guān)系可分為 類(lèi)3兩個(gè)元實(shí)二次型等價(jià)的充分必要條件是 4A正定 5某四元二次型有標(biāo)準(zhǔn)形，則其典范形為 二、判斷說(shuō)明題（先判斷正確與錯(cuò)誤，再簡(jiǎn)述理由每小題5分，共20分）1元實(shí)二次型的符號(hào)差與秩有相同的奇偶性2階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A若滿(mǎn)足，則A正定3A為階復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣，則與合同4設(shè)A，B分別是階正定矩陣，則也是正定矩陣三、計(jì)算題（每小題15分，共45分）1用可逆線(xiàn)性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形寫(xiě)出所用的線(xiàn)性變換及變換矩陣，并求出的正慣性指數(shù)與符號(hào)差2設(shè)矩陣其中為實(shí)數(shù)，I為單位矩陣求對(duì)角矩陣，使B與相似，并求為何值時(shí)，B為正定矩陣3已知二次型通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求的值及所作的正交變換四、證明題（第小題10分，共20分）1A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，B為對(duì)稱(chēng)正定矩陣，證明：存在可逆矩陣T，使

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