2018年高考北京卷理數(shù)試題(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上絕密啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1. 已知集合A=x|x|<2，B=2，0，1，2，則AB=A. 0，1 B. 1，0，1C. 2，0，1，2 D. 1，0，1，2【答案】A【解析】分析：先解含絕對值不等式得集合A，再根據(jù)數(shù)軸求集合交集.詳解：因此AB=，選A.點(diǎn)睛：認(rèn)清元素的屬性

2、，解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個(gè)先決條件.2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析：將復(fù)數(shù)化為最簡形式，求其共軛復(fù)數(shù)，找到共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點(diǎn)，判斷其所在象限.詳解：的共軛復(fù)數(shù)為對應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，故選D.點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于送分題，解題時(shí)注意審清題意，切勿不可因簡單導(dǎo)致馬虎丟分.3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：初始化數(shù)值，執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷條件是否成立，詳解：初始化數(shù)值循環(huán)

3、結(jié)果執(zhí)行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選B.點(diǎn)睛：此題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)型程序框圖，解決此類問題的關(guān)鍵在于：第一，要確定是利用當(dāng)型還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二，要準(zhǔn)確表示累計(jì)變量；第三，要注意從哪一步開始循環(huán)，弄清進(jìn)入或終止的循環(huán)條件、循環(huán)次數(shù).4. “十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義

4、可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則故選D.點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列. 等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（）， 數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.5. 某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個(gè)數(shù).詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，由勾股定理

5、可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個(gè)，故選C.6. 設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“ab”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】分析：先對模平方，將等價(jià)轉(zhuǎn)化為0，再根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為零得充要關(guān)系.詳解： ，因?yàn)閍，b均為單位向量，所以 ab，即“”是“ab”的充分必要條件.選C.點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法1定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假并注意和圖示相結(jié)合，例如“”為真，則是的充分條件2等價(jià)法：利用與非非，與非非，與非非的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法3集合法：若，則是的

6、充分條件或是的必要條件；若，則是的充要條件7. 在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos，sin）到直線的距離，當(dāng)，m變化時(shí)，d的最大值為A. 1 B. 2C. 3 D. 4【答案】C【解析】分析：P為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)A（2，0），則根據(jù)幾何意義得d的最大值為OA+1.詳解： P為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)A（2，0），所以d的最大值為OA+1=2+1=3,選C.點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化8. 設(shè)集合則A. 對任意實(shí)數(shù)a， B. 對任意實(shí)數(shù)a，（2，1）C.

7、 當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2，1） D. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2，1）【答案】D【解析】分析：求出及所對應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)成立時(shí)對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷. 設(shè)，若，則；若，則，當(dāng)一個(gè)問題從正面思考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式.第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9. 設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項(xiàng)公式為_【答案】【解析】分析：先根據(jù)

8、條件列關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可.詳解：點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為首項(xiàng)與公差（公比）問題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.10. 在極坐標(biāo)系中，直線與圓相切，則a=_【答案】【解析】分析：根據(jù)將直線與圓極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)圓心到直線距離等于半徑解出a.詳解：因?yàn)?，由，得，由，得，即，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)睛：(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式及

9、直接代入并化簡即可； (2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過變形，構(gòu)造形如的形式，進(jìn)行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗(yàn).11. 設(shè)函數(shù)f（x）=，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為_【答案】【解析】分析：根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得，進(jìn)而確定其最小值.詳解：因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取最小值為.點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由 求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足，最小值對應(yīng)自變量滿足，(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間.12. 若x，

10、y滿足x+1y2x，則2yx的最小值是_【答案】3【解析】分析：作可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.詳解：作可行域，如圖，則直線過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，取最小值3.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.13. 能說明“若f（x）>f（0）對任意的x（0，2都成立，則f（x）在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是_【答案】y=sinx（答案不唯一）【解析】分析：舉的反例要

11、否定增函數(shù)，可以取一個(gè)分段函數(shù)，使得f（x）>f（0）且（0，2上是減函數(shù).詳解：令，則f（x）>f（0）對任意的x（0，2都成立，但f（x）在0，2上不是增函數(shù).又如，令f（x）=sinx，則f（0）=0，f（x）>f（0）對任意的x（0，2都成立，但f（x）在0，2上不是增函數(shù).點(diǎn)睛：要判定一個(gè)全稱命題是假命題，只要舉出集合中的一個(gè)特殊值，使不成立即可.通常舉分段函數(shù).14. 已知橢圓，雙曲線若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的離心率為_【答案】 (1). (2). 2【解析】分析：由正六邊形性

12、質(zhì)得漸近線的傾斜角，解得雙曲線中關(guān)系，即得雙曲線N的離心率；由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，解得橢圓M的離心率.詳解：由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，所以橢圓M的離心率為雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為， 點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15. 在ABC中，a=7，b=8，c

13、osB= （）求A；（）求AC邊上的高【答案】(1) A=(2) AC邊上的高為【解析】分析：（1）先根據(jù)平方關(guān)系求sinB,再根據(jù)正弦定理求sinA，即得A；（2）根據(jù)三角形面積公式兩種表示形式列方程，再利用誘導(dǎo)公式以及兩角和正弦公式求，解得AC邊上的高詳解：解：（）在ABC中，cosB=，B（，），sinB=由正弦定理得 =，sinA=B（，），A（0，），A=（）在ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如圖所示，在ABC中，sinC=，h=，AC邊上的高為點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的

14、關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.16. 如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=2（）求證：AC平面BEF；（）求二面角B-CD-C1的余弦值；（）證明：直線FG與平面BCD相交【答案】(1)證明見解析(2) B-CD-C1的余弦值為(3)證明過程見解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性質(zhì)得，由線面垂直性質(zhì)得,由三棱柱性質(zhì)可得，因此，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系E-ABF，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面BCD一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求得兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果，（3）根

15、據(jù)平面BCD一個(gè)法向量與直線FG方向向量數(shù)量積不為零，可得結(jié)論.詳解：解：（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四邊形A1ACC1為矩形又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）知ACEF，ACBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如圖建立空間直角坐稱系E-xyz由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1），設(shè)平面BCD的法向量為，令a=2，則b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC1的法向量為，由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角

16、，所以二面角B-CD-C1的余弦值為（）平面BCD的法向量為，G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），與不垂直，GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，GF與平面BCD相交點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.17. 電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的

17、部數(shù)的比值假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立（）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評的概率；（）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）寫出方差，的大小關(guān)系【答案】(1) 概率為0.025(2) 概率估計(jì)為0.35(3) >>=>>詳解：解：（）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，第四類電影中獲得好評的

18、電影部數(shù)是200×0.25=50故所求概率為（）設(shè)事件A為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”故所求概率為P（）=P（）+P（）=P（A）（1P（B）+（1P（A）P（B）由題意知：P（A）估計(jì)為0.25，P（B）估計(jì)為0.2故所求概率估計(jì)為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35（）>>=>>點(diǎn)睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨(dú)立事件概率乘法公式:若A,B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).18. 設(shè)函數(shù)=（）若曲線y= f（x）在

19、點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求a；（）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍【答案】(1) a的值為1(2) a的取值范圍是（，+）【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍詳解：解：（）因?yàn)?，所以f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由題設(shè)知f (1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此時(shí)f (1)=3e0所以a的值為1（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若

20、a>，則當(dāng)x(，2)時(shí)，f (x)<0；當(dāng)x(2，+)時(shí)，f (x)>0所以f (x)<0在x=2處取得極小值若a，則當(dāng)x(0，2)時(shí)，x2<0，ax1x1<0，所以f (x)>0所以2不是f (x)的極小值點(diǎn)綜上可知，a的取值范圍是（，+）點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.19. 已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于

21、M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值【答案】(1) 取值范圍是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)證明過程見解析【解析】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，再由，得，利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡可得結(jié)論.詳解：解：（）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x由題意可知直線l的斜率存在且不為

22、0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k0）由得依題意，解得k<0或0<k<1又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)（1，-2）從而k-3所以直線l斜率的取值范圍是（-，-3）（-3，0）（0，1）（）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，直線PA的方程為y2=令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為由，得，所以所以為定值點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，

23、到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).20. 設(shè)n為正整數(shù)，集合A=對于集合A中的任意元素和，記M（）=（）當(dāng)n=3時(shí)，若，求M（）和M（）的值；（）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值； （）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由【答案】(1) M(，）=1(2) 最大值為4(3)答案見解析【解析】分析：（1）根據(jù)定義對應(yīng)代入可得M（）和M（）的值；（2）先根據(jù)定義得M(，）= x1+x2+x3+x4再根據(jù)x1，x

24、2，x3，x40，1，且x1+x2+x3+x4為奇數(shù)，確定x1，x 2，x3，x4中1的個(gè)數(shù)為1或3可得B元素最多為8個(gè)，再根據(jù)當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)代入驗(yàn)證，這8個(gè)不能同時(shí)取得，最多四個(gè)，最后取一個(gè)四元集合滿足條件，即得B中元素個(gè)數(shù)的最大值；（3）因?yàn)镸（）=0，所以不能同時(shí)取1，所以取共n+1個(gè)元素，再利用A的一個(gè)拆分說明B中元素最多n+1個(gè)元素，即得結(jié)果.詳解：解：（）因?yàn)?（1，1，0），=（0，1，1），所以M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M(，）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）設(shè)=（x1，x 2，x3，x4）B，則M(，）= x1+x2+x3+x4由題意知x1，x 2，x