1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解

1、1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外 面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據(jù)就是乘法分配律。多項(xiàng)式的公因式的確定方法是：(1)當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次哥。(2)系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。下面我們通過(guò)例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解 【分類解析】1 .把下列各式因式分解2 m 2m 1m m3(1) a x abx acx ax(2) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)分析：(1)

2、若多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng) 系數(shù)是正數(shù)，在提出”號(hào)后，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。分力2 m 2m 1mm 3m .23.解： a x abx acx ax ax (ax bx c x )(2)有時(shí)將因式經(jīng)過(guò)符號(hào)變換或?qū)⒆帜钢匦屡帕泻罂苫癁楣蚴?，如：?dāng)n為自然數(shù)時(shí)，(a b)2n (b a)2n;(a b)2n 1 (b a)2n 1 ,是在因式分解過(guò)程中常用的因式 變換。解：a(ab)32a2(b a)22ab(ba)322a(ab)2a (ab)2ab(ab)2_a(ab)(a b)2a(ab) 2 b22a(a b)(3a2 4ab b2 2b)2. 利

3、用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程 987例：計(jì)算1231368987268 -1368987987456 521 -13681368分析：算式中每一項(xiàng)都含有987.衛(wèi)-,可以把它看成公因式提取出來(lái)，再算出結(jié)果。1368“987解：原式1368987(123268 456 521)136813689873. 在多項(xiàng)式恒等變形中的應(yīng)用2x y 3例：不解方程組，求代數(shù)式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y) 的值。5x 3y 2分析：不要求解方程組，我們可以把2x y和5x 3y看成整體，它們的值分別是和 2 ，觀察代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)都含有2x y ，利用提公因式法把代數(shù)式恒等變形，化為含有2x y

4、和5x 3y的式子，即可求出結(jié)果。解： (2x y)(2x 3y) 3x(2x y) (2x y)(2x 3y 3x) (2x y)(5x 3y)把2x y和5x 3y分別為3和2帶入上式，求得代數(shù)式的值是6。4. 在代數(shù)證明題中的應(yīng)用例：證明：對(duì)于任意自然數(shù) n, 3n 2 2n 2 3n 2n一定是10的倍數(shù)。分析： 首先利用因式分解把代數(shù)式恒等變形，3n 22n 23n2 n3n 23n2n 2接著只需證明每一項(xiàng)都是2n10 的倍數(shù)即可。3n (32 1) 2n (22 1)10 3n5 2n對(duì)任意自然數(shù)n， 10 3n 和 5 2n 都是10的倍數(shù)。3n 2 2n 2 3n 2n一定是

5、10的倍數(shù)5、中考點(diǎn)撥：例 1。因式分解3x(x 2) (2 x)解： 3x(x 2) (2 x)3x(x 2) (x 2) (x 2)(3x 1)說(shuō)明：因式分解時(shí)，應(yīng)先觀察有沒(méi)有公因式，若沒(méi)有，看是否能通過(guò)變形轉(zhuǎn)換得到。32例 2分解因式：4q(1 p)3 2(p 1)232解： 4q(1 p) 2( p 1)324q(1 p)3 2(1 p)222(1 p)22q(1 p) 122(1 p)2(2q 2pq 1)說(shuō)明： 在用提公因式法分解因式前，必須對(duì)原式進(jìn)行變形得到公因式，同時(shí)一定要注意符號(hào)，提取公因式后，剩下的因式應(yīng)注意化簡(jiǎn)。題型展示：例 1. 計(jì)算： 2000 20012001 20

6、01 20002000精析與解答：設(shè) 2000 a ，則 2001 a 12000 20012001 2001 20002000a10000(a 1) (a 1) (a 1)(10000a a)a(a 1) 10001 a(a 1) 10001a(a 1) (10001 10001)0說(shuō)明：此題是一個(gè)有規(guī)律的大數(shù)字的運(yùn)算，若直接計(jì)算，運(yùn)算量必然很大。其中2000、2001 重復(fù)出現(xiàn)，又有2001 2000 1 的特點(diǎn)，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)，將復(fù)雜數(shù)字間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再利用多項(xiàng)式的因式分解化簡(jiǎn)求值，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。24242例 2. 已知： x bx c( b、 c 為整數(shù))是x 6x25及 3x

7、 4x 28x 5的公因式，求 b、 c 的值。分析：常規(guī)解法是分別將兩個(gè)多項(xiàng)式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比較麻煩。注 意 到 x2 bx c 是 3(x4 6x2 25) 及 3x4 4x2 28x 5 的 因 式 。 因 而 也 是(3x4 4x228x 5) 的因式，所求問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為求這個(gè)多項(xiàng)式的二次因式。24242解： x bx c 是 3(x 6x 25) 及 3x 4x 28x 5的公因式也是多項(xiàng)式3(x4 6x2 25) (3x4 4x2 28x 5)的二次因式42422而 3(x4 6x2 25) (3x4 4x2 28x 5) 14(x2 2x 5)b、 c 為整

8、數(shù)22得： x bx c x 2x 5b2， c 5說(shuō)明：這是對(duì)原命題進(jìn)行演繹推理后，轉(zhuǎn)化為解多項(xiàng)式14x2 28x 70 ，從而簡(jiǎn)便求得 x2 bx c。例 3. 設(shè) x 為整數(shù)，試判斷10 5x x(x 2)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由。解： 10 5x x(x 2)5(2 x) x(x 2) (x 2)(5 x)x 2， 5 x 都是大于1 的自然數(shù)(x 2)(5 x)是合數(shù)說(shuō)明：在大于1 的正數(shù)中，除了1 和這個(gè)數(shù)本身，還能被其它正整數(shù)整除的數(shù)叫合數(shù)。只能被 1 和本身整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1. 分解因式：( 1) 4m2n3 12m3n2 2mn2 n2n1nn1( 2) a x

9、 abx acx adx ( n 為正整數(shù))3222( 3) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)22. 計(jì)算： ( 2) 11( 2)10的結(jié)果是()A. 2100B. 210C. 2D. 13. 已知x、 y 都是正整數(shù)，且x(x y) y(y x) 12，求 x、 y。4. 證明：817 279913能被45 整除。5. 化簡(jiǎn)：1 x x(1 x) x(1 x)2 x(1 x) 1995 ,且當(dāng)x 0時(shí)，求原式的值?！驹囶}答案】1. 分析與解答：2332（ 1） 4m n 12m n 2mn222mn(2mn 6m n 1)2）2 n2 axabxn 1n acxadxn3）原式n ax原式13(axbx2cxd)a(ab)32a2(a b)22ab(a b)2a(aa(a2b)2(a b) 2a2b) 2 (3a 3b)2b23a(a b)2注意：結(jié)果多項(xiàng)因式要化簡(jiǎn)，同時(shí)要分解徹底。2. B3. x(x y) y(y x) 12(x y)(x y) 12x、 y 是正整數(shù)12分解成1 12， 2 6， 3 4又 x y 與 x y 奇偶性相同，且x y x yxy2xy6x4y2說(shuō)明：求不定方程的整數(shù)解，經(jīng)常運(yùn)用因式分解來(lái)解決。4. 證明：817 279 913328327326