導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(選修II)(呂存于)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選修II ）（呂存于）蒼南龍港咼中呂存于【考點(diǎn)解讀】1 導(dǎo)數(shù)（選修II）高考考核要求為：導(dǎo)數(shù)的概念及某些實(shí)際背景，導(dǎo)數(shù) 的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本導(dǎo)數(shù)公式；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值， 函數(shù)的最大 值和最小值等。2比例與題型：導(dǎo)數(shù)是高中新教材改革后新加進(jìn)的知識之一，從近幾年全 國統(tǒng)考試卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到現(xiàn)在基本穩(wěn)定在一大 （12 分），一小（5分）的兩題格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一個主要 得分點(diǎn)。3 命題熱點(diǎn)難點(diǎn)是：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào) 區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)

2、求函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性； 數(shù)在實(shí)際中 的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式等知識相融合的問題；導(dǎo)數(shù)與解析幾何相綜合 的問題。4 體系整合5 復(fù)習(xí)建議：學(xué)會優(yōu)先考慮利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大（小）值、最大最小 或解決應(yīng)用問題，這些問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸， 這種方法使復(fù)雜問題簡單 化。導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題，尤其是拋物線與三次函數(shù)的切線 問題，是高考中考查綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。熱點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f (x)在點(diǎn)P(xo, f(xo)處的 切線的斜率，也就是說，曲線 y=f (x)在P (xo, f (xo)處的切線的

3、斜率是f'(xo), 于是相應(yīng)的切線方程為y yo=f' (xo) (x xo)，巧借導(dǎo)數(shù)幾何意義“傳接”的各類 綜合題頻頻出現(xiàn)。【錯題分析】錯例1 (2004天津卷20(2)曲線f(x)=x3 3x，過點(diǎn)A(0，16)作曲線f (x) 的切線，求曲線的切線方程。誤解：f (x)=3x3 3,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何去何從意義可知，曲線的切線斜率k f'(0)= 3,所以曲線的切線方程為y= 3x + 16。剖析：本題錯在對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解有誤，切線的斜率k是應(yīng)是在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而點(diǎn)A (0，16)不在曲線上。故本題應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率，寫出直線 的方程。正確解法：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)M

4、(xo,x。3 3xo)，則切線的斜率k f'(xo) 3xo2 3，切 線方程y (3x。2 3)x 16，又因?yàn)辄c(diǎn)M在切線上，所以x。3 3x。3耐 3)x。16得 xo 2,切線方程為y 9x 16.【典型題例】例1:設(shè)Po (xo，yo)為曲線C : y=x 3 (x >0)上任意一點(diǎn)，過Po作曲線C的切 線與x軸交于Q1,過Q1作平行于y軸的直線與曲線C交于P1(x1，y1)，然后再 過P1作曲線C的切線交x軸于Q2,過Q2作平行于y軸的直線與曲線C交于P2(x2, y2)，依此類推，作出以下各點(diǎn)：Po,Q1,P1,Q2,P2,Q3,，Pn,Qn+1,，已知 xo=9，

5、設(shè) Pn (xn, yn) (n N)。(1) 求出過點(diǎn)Po的切線方程。(2) 設(shè) xn=f (n) (n N),求 f (n)的表達(dá)式;(3) 求 lim( xo X1 xj 的值。n點(diǎn)撥本例涉及到求切線方程的問題，其關(guān)鍵在于掌握切線的斜率等于切點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)解析 (1) y z=3x2,vPo (9, 93)，二切線 P0Q1 的斜率 k°=y'|x =xo=3x2=243 ,過P0點(diǎn)的切線即直線 P0Q1的方程為y 93=243 (x 9)，即243x y- 1458=0.(2)過Pn (xn , yn)的切線的斜率為kn=3Xn，切線方程為y yn=kn(x Xn), 即

6、 y x3 =3x* (x xn).令 y=0 得x3 22x=xn 與二一X，即 Qn+1的橫坐標(biāo)為 xn,3x2 33又直線 Qn+ lPn+1 / y 軸， P n+1 的橫坐標(biāo) xn +1= xn,由于 x0=9 , -數(shù)列 xn3是公比為-的等比數(shù)列 xn=xo)n=9X (-)n，則 f (n) = 9 x (-)n, (n N)3333(3) lim(x°nx1人)=2 =271 -3點(diǎn)評：求切線方程關(guān)鍵在于切點(diǎn)，因?yàn)榍悬c(diǎn)不僅是直線上的一個點(diǎn)，而且它 給出切線的方向(切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù));應(yīng)熟練地求出曲線在某點(diǎn)處的切線方程?！緹狳c(diǎn)沖刺】1 已知曲線y=sinx,x (0,)在P

7、點(diǎn)切線平行于直線x 2y=0，則P點(diǎn)坐標(biāo) 為(-,込。322. 若 a>0, f (x) =ax2 + bx+ c,曲線 y=f (x)在點(diǎn) P (x, f (x。)切線傾角為0,-,則P到y(tǒng)=f (x)對稱軸距離為( B )41A、0,- a3.(預(yù)測題)B、0, J C、0,|D、0 , |b 1 |2a2a2a(1990日本咼考題).設(shè)拋物線y=x2與直線y=x + a (a是常數(shù))有兩個不同的交點(diǎn)，記拋物線在兩交點(diǎn)處切線分別為11, 12,求值a變化時11與12交點(diǎn)的軌跡。解答：將y=x + a代入y=x2整數(shù)得x2x a=01為使直線與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，必須 = ( 1)

8、2+ 4a>0,所以a> 4設(shè)此兩交點(diǎn)為(a,a 2), (B, B 2),a<B，由y=x2知y'=2x,則切線11, 12的方程為 y=2 a x a 2, y=2 B x _B 2 兩切線交點(diǎn)為(x, y) 則 xy因?yàn)閍,B是的解，由違達(dá)定理可知a + B =1 , aB = a1 1由此及可得 x= - , y= av -2 411從而，所求的軌跡為直線x=1上的yv -的部分。2 4熱點(diǎn)二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、極值和最值)是高考的熱 點(diǎn)問題。高考試題常以解答題形式出現(xiàn)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)為工具解決函數(shù)、不 等式及數(shù)

9、列有關(guān)的綜合問題，題目較難。【錯解分析】錯例2已知函數(shù)f(x)= 竺在(一2,+)內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值x 2范圍。2a 1誤解：f'(x)=2，由f (x)在(2，+)內(nèi)單調(diào)遞減，知f'(x)<0在x(x 2)2a 11 ( 2，+x)內(nèi)恒立，即卩w0在 x ( 2，+x)內(nèi)恒立。因此，aW 。(x 2)22剖析：(1)上題看似正確，實(shí)際上卻忽視了一個重要問題：未驗(yàn)證 f'(x)是否 恒為零。因?yàn)閒 (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)的充要條件f'(x) > 0 (f'(x)11W 0且f' (x)在任一子區(qū)間上不恒為零。而當(dāng)a

10、=-時，f(x)=-不是單調(diào)遞減函數(shù)，2 2不合題意。(2) 在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)數(shù)f(x)，利用導(dǎo)數(shù)判別f(x)單調(diào)性法則為：若x D時， 有f'(x) >0(v0=,則f(x)在D內(nèi)是增(減)函數(shù)；反之，若f(x)在D內(nèi)是增(減) 函數(shù)，貝U x D時，恒有f'(x) >0 (W 0)。(不恒為0)(3) 再由函數(shù)的單調(diào)性過渡到函數(shù)的極值，由錯例2到錯例3錯例3函數(shù)f (x) = (x2 1)3+ 2的極值點(diǎn)是()A、x=2B、x= 1C、x=1 或1 或 0D、x=0誤解：f (x) =x6 3x4 + 3x2 + 1,則由 f' (x)=6x5 12x3

11、+ 6x=0 得極值點(diǎn)為 x=1， x= 1和x=0，故正確答案為C.正確解法：事實(shí)上，這三點(diǎn)只是駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn))，由f'(x) =6x5 12x3+ 6x=6x（x + 1）2（x - 1）2 知，當(dāng) x （ x, 1）時，f，（x） v 0;當(dāng) x （ 1, 0）時， f'（x） v 0；當(dāng) x （0，1），f'（x） > 0;當(dāng) x （1,+x）時，f'（x） > 0. f （x）在（"， 1）、（ 1, 0）單調(diào)遞增，在（0, 1）、（1 , +）單調(diào)遞減。則x=0為極小值點(diǎn)， x= 1或1都不是極值點(diǎn)（稱為拐點(diǎn)）。故應(yīng)選Do

12、剖析：（1）滿足f'（X0）=0的點(diǎn)X=X0 （稱為駐點(diǎn)）只是它為極大（?。┲迭c(diǎn) 的必要而不充分條件，如果一味地把駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn)，往往容易導(dǎo)致失誤。2（2）在求極值點(diǎn)時候，有時還要注意導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如：求f （x） = x" 的極值點(diǎn)。（x= ± 1, 0（易遺漏）【典型題例】例2: (2001年北京、 bi b2 b3 . bn，使這 bib®,，bn ,使這個Bn= b b> d . bn（1）求數(shù)列An和（2）當(dāng)n7時，比較An和Bn的大小，并證明你的結(jié)論。點(diǎn)撥：在解決第（2）問時，可考慮將比較大小的問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性的 研究，從而用導(dǎo)

13、數(shù)求解。解析：（1）因?yàn)?1, a1 0! a2 an 1比數(shù)列。Bn的通項(xiàng);ak an 1 k 1 2 2,，an , 2 成等所以印an a2 an 1所以 An2=(a1 an) (a2 an)-(an ajn所以An=22因?yàn)?, b1,b2,b3,.,bn , 2成等差數(shù)列，所以ak an 1 k' 1 22nbib2=1 + 2=3所以Bn= bbn3n= 一 n 22內(nèi)蒙古、安徽春季招生題）在1與2之間插入n個正數(shù) n+ 2個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個正數(shù) n + 2個數(shù)成等差數(shù)列。記An= a1 a? a3 . an ,3所以數(shù)列An的通項(xiàng)為An= 22 ,B

14、n的通項(xiàng)為Bn=-n2(2)構(gòu)造函數(shù) f (x) =2 3x (x>7),則 f =2 21 >02 21x13廠1-又因?yàn)?f' (x)=3(22I n2 3) > - (22ln e 3)=?(22 3)> 0所以f (x)在7,+x上單調(diào)遞增。于是f (x) >f >0n故有 f (n) >0,即 22 > - n,也就是 An> Bn (n>7)2點(diǎn)評：(1)第(2)問也可先考查n=7,8,9時An, Bn的大小，提出猜想，然 后用數(shù)學(xué)歸納法給予證明。(2)由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式、數(shù)列有關(guān) 的綜

15、合問題必將會成為2005高考的重點(diǎn)內(nèi)容，在教學(xué)中要足夠地重視。2 3例 3:設(shè)v av 1,函數(shù) f(x)=x3- ax2 + b，(x 1,1)的最大值為 1,3 2最小值為一丄6,求常數(shù)a, b的值。2點(diǎn)撥：本例需研究f'(x)的情況，求出極大、極小值，與端點(diǎn)函數(shù)值比較， 以確定a, b的值。解析：f' (x)=3x2 3ax=3x (x a)x1(1, 0)0(0, a)a(a, 1)1f'(x)+00+f(x)3 1 a+ b2Zb、3b2Z1a+ b2由表可見，當(dāng)x=0時，f (x)取得極大值f (0) =b;當(dāng)x=a時，f (x)取得極小值3f (a)= b

16、，又 f (b) >f (a),f (1) >f ( 1)，故需比較 f (0)與 f (1) ,f (a)與 f (23 3231)的大小。f (0) f (1) = b (1a+ b)=a 1 由 a ( , 1),故一a 1>0,22323即 f (0) > f (1)，于是 f (x)的最大值為 f (0)。因而有 b=1.又 f ( 1) f (a)= 1 a3+1(22121) =(a3 + 3a 2),因?yàn)?a ( , 1),故 a3 3a 2v0,即 f(231) vf(a), f(x)的最小值為f( 1),于是有3 a=，即a=上,223綜合可知，ar

17、6 , b=13點(diǎn)評：(1)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，必定在導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn)或端點(diǎn)取得,本例亦可求出導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，直接將這些點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)函數(shù)相比較， 以確定 取得最大值、最小值的點(diǎn)。(2)變：-v a如何？再由此引出使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)要注意導(dǎo)3數(shù)為0的點(diǎn)是否落在區(qū)間內(nèi)。(同時為熱點(diǎn)三的錯例分析打下基礎(chǔ))【熱點(diǎn)沖刺】1. (2001年天津高考題(理8)函數(shù)y=1 + 3x-x3有極小值-1，極大值32. (2003年連云港二模試題)已知函數(shù)f (x)=ax3+ bx2,曲線y=f (x)過點(diǎn)P(-1, 2),且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x 3y=0垂直。若f (x)在區(qū)間m , m+ 1

18、 上單調(diào)遞增，則 m的取值范圍m0或m w -3。3. (湖南卷20)(本小題滿分12 分)已知函數(shù)f(x) x2eax，其中a< 0,為自然對 數(shù)的底數(shù).(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(n)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的最大值. 答案：(I )f (x) x(ax 2)eax.(i)當(dāng) a=0 時，令 f (x) =0,得 x=0.若x>0.則f (x)>0,從而f(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增； 若x<0,則f (x)<0,從而f(x)在(-s,0)上單調(diào)遞減.2(ii)當(dāng) a<0時，令 f (x) =0，得 x(ax+2)=0,故 x=0 或 x .

19、a若x<0,則f (x)<0,從而f(x)在(-s,0)上單調(diào)遞減.22若0<xv -,則f (x)>0.從而f(x)在(0,)上單調(diào)遞增；aa22若x> ,則f (x)<0.從而f(x)在(-，+s)上單調(diào)遞減.aa(n) (i)當(dāng)a=0時，f(x)在區(qū)間0,1上的最大值是f(1)=1.ae .42 2 .a e(ii)當(dāng) 2 a 0時,f(x)在區(qū)間0,1上的最大值是f(1)= 當(dāng)a< -2時,f(x)在區(qū)間0,1上的最大值是f (-)a4. (預(yù)測題)證明方程x=sinx在( s,+s )內(nèi)只有一個實(shí)根。解答：設(shè)f(x)=x sinx,即證f(x

20、)=0只有一個實(shí)數(shù)。因?yàn)閒' (x)=1 cosx>0,其中等號只在孤立點(diǎn)x=2k n (k Z)時成都市立。故f(x)在(s,+s )上是遞增的。又由于 f(0)=0，故當(dāng) x>0 時，f(x) >0,當(dāng) xv0 時，f (x) v0。因此f (x)=0只有一個實(shí)數(shù)根x=0.5 (預(yù)測題).已知0wxw 1, n為大于1的正整數(shù)，求證：12h w xn+ (1x)n<1解答：設(shè) f(x) xn (1 X)n,則 f (x) nxn 1 (1 x)n 1,1令 f (x) 0，得 xn 1 (1 x)n 1，由于 OW X < 1，則有 X=1 X，解得

21、X=-2又f(l) _L1,f(O) 1,f(1) 1,經(jīng)比較知f(x)在0, 1上的最小值、最大值分別為1 1?2n 1 , 1。所以1 W Xn+ (1 X)n< 1熱點(diǎn)三：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題：學(xué)習(xí)的目的，就是要會實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生要有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解決實(shí)際問題的意 識，思想方法以及能力。近幾年，高考越來越注重對實(shí)際問題的考查，因此要學(xué) 會應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)最優(yōu)化的問題及即時速度、邊際成本等問題?！惧e解分析】錯例4從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一小; 為x的正方形(如右圖所示)，再將四邊向上折起，做成一個 無蓋的長方體鐵盒，要求長方體的高度 x與底面正方形邊 長的比值不超過常數(shù)t.

22、問：x取何值時，容積V有最大值。誤解：V' 12 x2 16ax 4a24(3x a)(x a).因?yàn)樨Ｋ院瘮?shù)的定義域?yàn)?0,琵這時V在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)x環(huán)由問題的實(shí)際意義可知，3 時,Vmax16 327正確解法：當(dāng)f2ta1 2t1時，由v'40,解得xf,這時V在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)X |.由問題的實(shí)際意義可知，X |時,Vmax弄.a 2ta1當(dāng)一 ，即0 t -時,3x a,這時有V3 1 2t40,知V在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故當(dāng)x空時V1 2t2at1 2t(2a4at )21 2t)8a3t(1 2t)3剖析：求解函數(shù)的最值問題，應(yīng)注意函數(shù)的定義域，本例由導(dǎo)數(shù)

23、為 0的點(diǎn)是否落在定義域內(nèi)，引出了討論。有時還要注意對導(dǎo)數(shù)為0的情形進(jìn)行討論【典型題例】例4:甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊 A處，乙廠與甲廠在河 的同側(cè)，乙廠位于離河岸 40 km的B處，乙廠到河岸的垂足 D與A相距50 km， 兩廠要在此岸邊合建一個供水站 C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每 千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？點(diǎn)撥：本題難點(diǎn)是如何把實(shí)際問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式 . 技巧與方法主要有：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形， 分析各已知條件之間的關(guān)系，借助 圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式， 適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù) 關(guān)系

24、解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi) 最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km,則/ BD=40,AC=50 X, BC= BD2 CD2. x2402又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有：y=30(5a x)+5a x2 402 (0v xv 50)5axy，= 3a+ _，令 y，=0,解得 x=30Vx2402在(0,50)上, y只有一個極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義,函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50 x=20(km)訐AC 50 4°血供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省. 解法二：設(shè)/ BCD=，則 BC二匹,CD=40cot

25、 ,(0sin設(shè)總的水管費(fèi)用為f( 9 ),依題意，有40f( 9 )=3a(50 40 cot 9 )+5a sin5 3cos=150a+40a sin3 5cos40a sin f，(9 )=40a(5 3cos ) sin (5 3cos ) (sin )sin3令 f， ( 9 )=0，得 cos9 =-cos9 =i時，函數(shù)取得最小值，此時sin9 =15根據(jù)問題的實(shí)際意義，當(dāng)cot 9 =-,4 AC=5040cot 9 =20(km),即供水站建在 A、D之間距甲廠20 km處，可使 水管費(fèi)用最省點(diǎn)評：解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找

26、出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽 象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題， 選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解(尤其要注意使用 導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化的問題)?！緹狳c(diǎn)沖刺】1、有一架長度為5米的梯子貼靠在垂直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3米/秒的速度離開墻腳而滑動，則(1) 當(dāng)其下端離開墻腳1.4米時，梯子上端下滑的速度是多少？(2) 何時梯子的上、下端能以相同的速度移動？(3) 何時其上端下滑的速度為4米/秒?解答：設(shè)在時刻t秒梯子上端開始位置的距離為s米，梯子下端離開墻角距 離為 x 米，則 s=3t,s=5-j25 x2(1) st, 3x ,當(dāng) x=1.4 米時，q =0.875 (米/秒)7

27、25 x2(2)當(dāng)梯子下端離墻角5二米時，梯子上、下端以相同速度移動。(3)當(dāng)梯子2下端離墻角4米時，梯子上端4米/秒速度移動。2 (預(yù)測題).A、B兩隊(duì)進(jìn)行某項(xiàng)運(yùn)動的比賽，以勝三次的一方為冠軍，設(shè)在每 次比賽中A勝的概率為p ,B勝的概率為q(p q 1,p 0.q 0)，又A得冠軍的概 率為P,冠軍的概率為Q,決定冠軍隊(duì)的比賽次數(shù)為 N.(1) 求使P- p為最大的p值；(2) 求使N的期望值為最大的p值及期望值。(1)要決定冠軍隊(duì)，至少需要比賽三次，最多需要比賽5次。解答：如果比賽3次A獲冠軍，A需連勝三次，其獲冠軍的概率為p3;如果比賽4次A獲冠軍，前三次有一次B勝，其余三次A勝，A獲冠軍的 概率為 C；qp3 3p3q.如果比賽5次A獲冠軍，前四次有兩次B勝，其余三次A勝，A獲冠軍的 概率為 C：q2p3 6p3q2.故P p3 3p2q 6p3q2.于是Ppp3 3p3q 6