2019年絲綢之路數(shù)學(xué)奧林匹克競賽

1、2019絲綢之路數(shù)學(xué)奧林匹克AC于點(diǎn)L,1、在非等腰銳角 ABC中，H為重心，CCi為高線，K為線段CiH上的一點(diǎn)，作KL KM BC于點(diǎn)M, AM交BL于點(diǎn)N.求證： ANK HNL .證明：A、L、K、C1四點(diǎn)共圓，B、M、K、C1四點(diǎn)共圓CL CA CK CCi CM CB即A、B、M、L四點(diǎn)共圓， LAM LBMBH /KL, HBN KLNHANLAMCAHLBMCBHHBNKLNK、L、C、M四點(diǎn)共圓KLMKCMHAB,KMLKCLHBALKM s AHB,得LM 絲 AB AHA、B、M、L四點(diǎn)共圓LNM s ANB,得LM四 AB AN由可知白 四，又 KLN HAN AH A

2、NLKN s AHN,得 LNK ANHANK HNL第8頁共5頁2、設(shè)現(xiàn)e2,自9為正實(shí)數(shù),滿足對(duì)所有1 ij 99,有iajjaiij.求證:(a1 1)(a2 2)(a99 99) 100!證明：設(shè)h ai(i 1,2，,99).只需證明 i99(b 1)100即可.對(duì)任意的1 ij 99,有 bi bjiajjai若對(duì)任意的i1,2，,99,1,則 i99(bii 11)99100.若存在某個(gè)k1,2,9條對(duì)任意的j 1,2,99且jk,由 bjbkbk,99故(bii 11)99(1j 1jx)1 一1一可行bj k1100 -11100 -11 k1 k1 k1 k 1 k99(1

3、99(1)1 1)x)1100 - d1 1 k100 -1 - x1100100x 992)1001 x k1(1(1 x)2(11xk2)42亍)2(1 f)99&求所有的正整數(shù)對(duì)(a, n),使得(an n) 2n成立.(歐拉函數(shù)(n)表示不大于正整數(shù)n, 并與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).) 解：設(shè)an n的所有素因子為P,P2,Pkk1則(an n) (an n) (1 ) 2n(*) i 1P于是Pi 2或Pi 1可表示成2的幕(i 1,2，,k) 再結(jié)合(*)式可知an n只能表示成如下三種形 式:(i)an* itn 2 ( N )且 1 nt(ii)an(2 i1),其中N

4、,2 i 1是素?cái)?shù)(i1,2,t),(iii )an對(duì)于(i),有an2時(shí),由2,則n1,則1.t,且t(2ii 1.t,且n 2n 1an n 21),其中11當(dāng)n 1時(shí),3n可知a3,22n這是不可能的(因?yàn)楫?dāng)nn 2n1這也是不可能的對(duì)于(ii),有an nt(2i1)又由an n1時(shí)，1t(2i 1n,22 時(shí),2n n1)(2*i N ,2 it n此時(shí)(a,N * 時(shí),2n1是素?cái)?shù)(i1,2,t),n)(1,3)符合題意t3 i 3n，即 a 3i 1n)2n可知a 2,故2 a 3,即a 2n2萬，得n3,而1)(233)2n 1,得n 1,此時(shí)(a, n)(2,1)符合題意n2

5、n2(11)10不符合題意對(duì)于(iii),由an(2i 11)2n 1可知a 3若t3時(shí),有23,這與a2時(shí),an4,即a(2)若 t3 1,3矛盾2,則 1 J31,則 1 n從而a(2i11)t13 13 ii 13n(21)3nn /日4 ,得a4 t3 i 11,3n故此時(shí)不存在符合題意當(dāng)1時(shí)的(a,4(2 n)22321),即 n202741,不成立2n 13n若t3,則13n(2)若 t2,則如果23,那么1故22,從而1a31,i 1 n n, an此時(shí)(a, n) (3,3)符合題意(3)若t 1,則 1 n, an而當(dāng)n 2時(shí),0 2n 1 3n2(213 12,于是n22

6、1321)(213 23, a323 11)23:3330,10 1,不成立271,不成立n 2(2n 1),即 n2n 1an 2n 13nn 2,故n 1,從而a此時(shí)(a, n) (5,1)符合題意綜上所述，所求正整數(shù) 對(duì)(a, n) (3,1),(3,3),(5,1)n，a106中至少有5004V偶數(shù).4、定義數(shù)列an如下：a0 1,且對(duì)n 1,有anan k2.求證：在a1,a2,k 1(x表示不大于x的最大整數(shù).)用反證法證明：假設(shè)a1,a2,a106中偶數(shù)的個(gè)數(shù)少于500設(shè)其所有偶數(shù)為 4,訖,曲(1 i1 i2 . it 106, t 499)令Sjijq2|q N,0 q1031( j1,2，,t),則|Sj| 103t故 |§ S2 . St |Sj | 103t 499000j 1考慮滿足如下條件的正 整數(shù)n的個(gè)數(shù)：n 1,2,.,106且布是偶數(shù)則這種 n (2k)2,(2k)2 1，,(2k 1)2 1(k 1,2,.,499)或 n 106999i499500i 1Stk2 i1,i2,.,it499499故這種 n 有1(2k 1)2 (2k)2 1(2k 1) 2kk 1k 1而499500 499000 |§S2. St |故存在m 1,2,.,106布是偶數(shù)，且m Si