3.1.1函數(shù)及其表示方法第1課時函數(shù)的概念學(xué)案2020新人教B版

1、函數(shù)的概念課程標(biāo)準(zhǔn)：1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系 刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.教學(xué)重點：函數(shù)的概念；符號“ v= f(x)”的含義；函數(shù)的定義域和值域的求法.教學(xué)難點：符號"y= f(x)”的含義及已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的方法 .【情境導(dǎo)學(xué)】夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價格往往與西瓜的重量相關(guān).某人到一個水果店去 買西瓜，價格表上寫的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以 上，每斤0.6元.此人挑了一個西瓜，稱重后店

2、主說 5元1角，1角就不要了，給5元吧.可 這位聰明的顧客馬上說，你不僅沒少要，反而多收了我的錢.當(dāng)顧客講出理由，店主只好承 認(rèn)了錯誤，照實收了錢.同學(xué)們，你知道顧客是怎么曉得店主坑人的嗎？【知識導(dǎo)學(xué)】知識點一函數(shù)的概念(1)函數(shù)的傳統(tǒng)定義在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值，y都有3睢 一確定的值與其對應(yīng),那么就稱 y是x的函數(shù).(2)函數(shù)的近代定義一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B,以及對應(yīng)關(guān)系f,如果對于集合A中的每一個實數(shù) x,在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作 y= f(x), x C A.知識點二函數(shù)的定義域和

3、值域在函數(shù)y= f(x), xCA中，上稱為自變量，_y_稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A) 稱為這個函數(shù)的定義域，所有函數(shù)佰組成的集合 yC B|y= f(x), x A稱為函數(shù)的的域.知識點三確定函數(shù)的兩個要素(1)定義域;(2)對應(yīng)關(guān)系.知識點四 兩個函數(shù)相同的條件(1)定義域相同:(2)對應(yīng)關(guān)系相同.知識點五求函數(shù)定義域常用的依據(jù)(1)分式中分母不能為零；(2)二次根式中的被開方數(shù)要大于等于零.【新知拓展】對函數(shù)概念的理解(1)A, B都是非空實數(shù)集，因此定義域或值域為空集的函數(shù)不存在，如 v=半口就不是1 x 函數(shù).(2)集合A就是定義域，因為給定A中的每一個x值都有唯一的y值

4、與之對應(yīng).(3)集合B不一定是函數(shù)的值域，即B中的元素可以沒有與之對應(yīng)者，若將函數(shù)的值域記 為C,容易得到C? B.(4)符號“y= f(x)”表示“x對應(yīng)的函數(shù)值”，f表示對應(yīng)關(guān)系.(5) f(X)%一個整體，不可分開,也不能理解成“ fx” .(6)f(a)(aC A)與f(x)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x = a時的函數(shù)值，是值域內(nèi)的一個數(shù)值， 是常量；f(x)表示自變量為x的函數(shù)，表示的是變量.例如，f(x) = 2x表示函數(shù)；當(dāng)x=3時， f(3) = 6,是一個常量.(7)函數(shù)的概念中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，這是因為函數(shù)定義中明確要 求是對于非空實數(shù)集A中的任意一個

5、(任意性)數(shù)x,在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定 (唯一性)的實數(shù)y和它對應(yīng)，這“三性”只要有一個不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù).【課堂自測】1 .判一判(正確的打“，”，錯誤的打"x” )(1)函數(shù)值域中的每一個實數(shù)都有定義域中的實數(shù)與之對應(yīng).()(2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.()(3)定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了.()(4)若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素.()答案，X ，2 .做一做(1)對于函數(shù)f: A-B,若aCA,則下列說法錯誤的是()A . f(a) C B10B. f（a）有且只有一個C.若 f(a) = f(b),則 a = b

6、D.若 a=b,則 f(a) = f(b)(2)已知 f(x) = x2+1,則 ff(1) = ()A. 2B. 3C. 4D. 5(3)求下列函數(shù)的定義域：_1他人在； f(x)=3x 4 + m=X.答案 (1)C (2)D (3)x|xw 8 4, 5 3題型一求函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域：(1)y= 2x+3; (2)y=+ 六； 2 x解(1)函數(shù)y=2x+ 3的定義域為x+1>0,(2)要使函數(shù)有意義，則2 xw0-1,2) U (2, + 8).x-1>0,(3)要使函數(shù)有意義，則x+1>0【典型例題】y=.x+ 1R.為1, + °

7、6;）-【典例分析】x> -1 , xw 2.x>1,x>一 1,1 所以函數(shù)y=，x節(jié)的定義域是_ 一7x_1即x1,所以函數(shù)y=:肅的定義域求函數(shù)定義域的步驟與方法（1）求函數(shù)定義域的一般步驟列出使函數(shù)解析式有意義的自變量的不等式 （組）;解不等式（組）；把解集表示成集合或區(qū)間的形式.列不等式（組）的依據(jù)分母不為零；偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；零指數(shù)幕的底數(shù)不為零.幾部分組成：若y=f(x)是由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子的和、差、積、商組成的形式，定義域是 使各部分都有意義的集合的交集.(3)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示.若用區(qū)間表示，不同區(qū)間應(yīng)該用連接.【跟蹤訓(xùn)練】求下

8、列函數(shù)的定義域：(i)y=£；(2)y=yxi+V1；X I I x+ 1(3)y= x; (4)y=(1 2x)0.解(1)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x+ 1 W0, xw 1.故函數(shù)的定義域為xk* T.x 140,x4 1,(2)要使函數(shù)式有意義，則1x> 0即xv 1所以x=1,從而函數(shù)的定義域為x|x=1. C- x+ 1 - 、因為當(dāng)x21W0,即xw蟲時，x2時有意義，所以函數(shù)的定義域是x|xw由. .一 一2 1(4)12xw0,即 x*2, 1.函數(shù)的止義域為x xW2 .題型二 求函數(shù)值或求函數(shù)的值域一一，1.C例 2 (1)已知 f(x) = (x

9、CR,且 xw 1), g(x) = x2+2(xC R). 1十x求f(2), g(2)的值；求fg(3)的值；(2)求下列函數(shù)的值域：丫:x+1, xC1,2,3,4,5;丫:x2-2x+3, x 0,3);2x+1x- 3 ；丫; 2x心1.111解(1) 7(刈=|,.(2) = 1 = 3. g(x) = x2+2, . g(2) = 22+2=6.：g(3) = 32+2=11,11fg(3)=f(11) = 1=12.(2)(觀察法)因為x 1,2,3,4,5,分別代入求值，可得函數(shù)的值域為2,3,4,5,6.(配方法)y=x22x+3=(x 1)2+2,由xC 0,3),再結(jié)合

10、函數(shù)的圖像(如圖)，可得函數(shù) 的值域為2,6). .2x+1(分離常數(shù)法)y=2x±rx3= 227工x3x- 3'顯然上* °,所以y* 2.故函數(shù)的值域為(8, 2)U(2, +oo).(換元法)設(shè)t=>/x“，則x=t2+1,且t>0,212 15所以 y=2(t2+1) 1=2 t-42 + y,由t0,再結(jié)合函數(shù)的圖像(如右圖)，可得函數(shù)的值域為 云，+00 . 8【典例分析】求函數(shù)值域的原則及常用方法(1)原則：先確定相應(yīng)的定義域；再根據(jù)函數(shù)的具體形式通過運算確定其值域.(2)常用方法觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到.配

11、方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法.換元法：運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.對 于f(x) = ax+b + cx+ d(其中a, b, c, d為常數(shù)，且acw 0)型的函數(shù)常用換元法.分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”類的形式，便于求值域.【跟蹤訓(xùn)練】求下列函數(shù)的值域：x(1)y= xT7 i(2)y= x2 4x+ 6, x 1,5).在刀小xx+1-11 口 1 八解.尸二=xT =1一不，且巧w0,x:函數(shù)y=i7的值域為y|yw1.x十1(2)配方，得 y=(x 2)2+2.由 x 1,5),結(jié)合函數(shù)的圖像

12、可知，函數(shù)的值域為y|2<y<11.題型三相同函數(shù)的判斷例3下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()A. f(x) = x, g(x) = (d)2B. f(x) = x2+1, g(t) = t2+1八.xC. f(x)=1, g(xf xD. f(x) = x, g(x) = |x|解析A中，由于f(x) = x的定義域為R, g(x) = (、/x)2的定義域為x|x>0,它們的定義 域不相同，所以它們不是同一函數(shù).B中，函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù).C中，由于f(x)=1的定義域為R, g(x)=x的定義域為x|xw 0,它們的定義域不相同，x所以它

13、們不是同一函數(shù).D中，兩個函數(shù)的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不是同一函數(shù).答案B【典例分析】判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的條件(1)判斷兩個函數(shù)是同一函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同.定義域、 對應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是 同一函數(shù).(2)函數(shù)是兩個非空實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有 限制的.另外，在化簡解析式時，必須是等價變形.【跟蹤訓(xùn)練】下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y= x相同？(1)y=麗2； (2)y=3/X3； (3)y=??；(4)y=x. x解(i)y=(62=x(x>0), y>

14、0,與函數(shù)y= x定義域不同且值域不同，所以不相同.3(2)y= 3x3 = x(xe R), y R,與函數(shù)y= x對應(yīng)關(guān)系相同，定義域和值域也都相同，所以 相同.x, x>0,(3)y=以2=x|=y>0;與函數(shù)y=x值域不同，且當(dāng)x<0時，它的對應(yīng)關(guān)系x, x<0,與函數(shù)y= x不相同，所以不相同.x2 一(4)y= 7的止義域為x|xw 0,與函數(shù)y=x的止義域不相同，所以不相同. x題型四求抽象函數(shù)的定義域例4 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域為1,1,求函數(shù)f(2x 1)的定義域；(2)已知函數(shù)f(x1)的定義域為(1,4,求函數(shù)f(x)的定義域.解(1)二函

15、數(shù)f(x)的定義域為-1,1,函數(shù)f(2x1)中自變量x的取值應(yīng)滿足一102x101,即0& x< 1.函數(shù)f(2x1)的定義域為0,1.(2)因為函數(shù)f(x1)的定義域為(1,4,即xC(1,4, .0<x K3,令 x1=t,則函數(shù)f(t)的定義域為(0,3,即函數(shù)f(x)的定義域為(0,3.變式探究若函數(shù)f(x 1)的定義域為(1,1),如何求函數(shù)f(2x 1)的定義域？解函數(shù)f(x1)的定義域為(1,1),. . 1<x<1,則一2<x 1<0,令 x 1=t,函數(shù)f(t)的定義域為(一2,0),即函數(shù)f(x)的定義域為(-2,0).11.由

16、一2<2x 1<0,行2<x<2.1 1函數(shù)f(2x1)的止義域為 一2, 2 .【典例分析】求抽象函數(shù)定義域的方法(1)當(dāng)對應(yīng)關(guān)系f所施加的對象與解析式中表述的對象不一致時，應(yīng)將左、右兩端統(tǒng)一， 也可以用“換元法”，將較難配湊的式子化簡.(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a, b,則函數(shù)f g(x)的定義域應(yīng)由不等式a&g(x)&b解 出即得.若已知函數(shù)fg(x)的定義域為a, b,則函數(shù)g(x)在xCa, b時的值域即為所求 函數(shù)f(x)的定義域.【跟蹤訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)的定義域為3,5,求函數(shù)Mx) = f(x) + f(x)的定義域.解 由函數(shù)

17、f(x)的定義域為3,5,得-30x05,50 x0 3,即3<x< 5, 3< x< 5,解得3<x<3.所以函數(shù)Mx)的定義域為3,3.【隨堂測驗】11 .函數(shù)f(x)=/二十 (x- 2)0的定義域為()A.1 ,+00)B.1,2) U(2,+oo)C.(1,+oo)D.(1,2)U(2,+oo)答案 D解析由題意，知x- 1>0, x 2W0.解得x>1,且x*2.所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)U(2, +oo).2 .如果函數(shù)v= x2 2x的定義域為0,1,2,3,那么其值域為()A. -1,0,3B. 0,1,2,3C. y

18、|-1<y<3D. y|0<y<3答案 A解析 當(dāng)x取0,1,2,3時，y的值分別為0, 1,0,3,則其值域為 1,0,3.故選A.3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()A. y=2x+1 與 y= 2m+1B. y= « 2x+ 1 2與 y= 2x+ 1C. y= 1 與 y=x02答案 A解析 B中兩函數(shù)解析式不同，值域不同.C, D中的兩個函數(shù)的定義域不相同不表示同 一函數(shù)，A中的兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，表示同一函數(shù).故選 A.4.已知集合A=x|0&x<2 , B = y|0&y04,則下列對應(yīng)關(guān)系，能夠構(gòu)成以 A為定義 域，B為值域的函數(shù)的是(填寫滿足條件的所有函數(shù)的序號).丫: 2x; y=x2;、=|4 2x|;丫= x+5; y=(x 2)2.答案解析 判斷能否構(gòu)成以A為定義域，B為值域的函數(shù)，就是看是否符合函數(shù)的定義.對 于y = 2x,當(dāng)定義域為A= x|0<x