中考二次函數(shù)壓軸題解題通法重點中學整理

1、中考二次函數(shù)壓軸題解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學競賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學生在有限的時間內都不能很好完成。由于在高中和大學中很多數(shù)學知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關，學生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學得好否，直接關系到未來數(shù)學的學習。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關出題老師和專家的必選內容。我通過近6年的研究，思考和演算了上1000 道二次函數(shù)大題，總結出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個自定義概念： 三角形基本模型：有一邊在X

2、軸或Y 上，或有一邊平行于X 軸或Y 軸的三角形稱為三角形基本模型。 動點（或不確定點）坐標“一母示”：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析式，用一個字母把該點坐標表示出來，簡稱 “設橫表縱”。 如： 動點 P 在 y=2x+1上， 就可設 P （t, 2t+1）.若動點?在丫= 3x2 2x 1,則可設為P （t,3t2 2t 1）當然若動點M在X軸上，則設為（t, 0）.若動點M在Y軸上，設為（0, t ）. 動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的?；蛑辽儆幸粋€ 頂點是運動，變化的三角形稱為動三角形。 動線段：其長度是運動，變化，不確定的線段稱為動線段。 定三角形：三邊的長度

3、固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。 定直線：其函數(shù)關系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：y = 3 x 6。 X標，Y標：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標稱為x標，縱坐標稱為y 標。 直接動點：相關平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動點稱為直接動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標“一母示”是針對直接動點坐標而言的。1. 求證“兩線段相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離，還是“點軸距離”，還是“點線距離”，再運用兩點之間的距離公式或點到x 軸（ y 軸）的距離公式或點到直線的距離公

4、式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。2、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：y 軸的線段上各個點的橫坐標相等（常設為t ） ，借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t 的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點的高低t1況，運用平行于y軸的線段長度計算公式y(tǒng)上-yy,把動線段的長度就表示成為一個自變量為t ，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質，即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。3、求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題：先用點斜式（或稱K 點法）求出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點坐

5、標，最后用中點坐標公式即可。4、 “拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題（方法1 ）先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（ k）相等） ，再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y 消掉，得到一個關于x的的一元二次方程，由題有 =b2-4ac=0 （因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以 b2 -4ac=0） 從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、 y 的值，即為切點坐標，然后再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離

6、。（方法2）該問題等價于相應動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。3）先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數(shù)的幾何意義，當該導數(shù)等于定直線的斜率時，求出的點的坐標即為符合題意的點，其最大距離運用點到直 線的距離公式可以輕松求出。5、 常數(shù)問題：（ 1）點到直線的距離中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個 固定常數(shù)”的問題：先借助于拋物線的解析式，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上

7、的動點坐標就求出來了。（ 2）三角形面積中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)”的問題：先求出定線段的長度，再表示出動點（其坐標需用一個字母表示）到定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。（ 3）幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題：用 K 點法設出直線方程，求出與拋物線（或其它直線）的交點坐標，再運用兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關系，把問題中的所有線段表示出來，并化解即可。6 .“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或 x軸或y軸或其它的定直線）

8、上是否 存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和 另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度應用兩點間的距離公式計算即為 符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點， 其坐標很易求出（利用求交點坐標的方法）。7 .三角形周長的“最值（最大值或最小值）”問題： “在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構成的三角形周長最小”的 問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題）：由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點間距離公式計算），只需另兩邊的和最小即可。 “在拋物線上是否存在一點，使之到定直線的

9、垂線，與 y軸的平行線和定 直線，這三線構成的動直角三角形的周長最大”的問題（簡稱“三邊均動的問題）在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形，在動點坐標一母示 后，運用 2 =2包,把動三角形的周長轉化為一個開口向下的拋物線來破解。C定V 斜邊定V8 .三角形面積的最大值問題：問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”):（方法1）先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式1底高。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中，切點2即為符合題意要求的點。（方法2）過動點向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）

10、的交點， 從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母示后，進一步可1得到'三角形一“上（動）-yr（動J?（x右（定）-x左（定）2 ,轉化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。 “三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的問題）：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形,或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設出 動點在x軸或y軸上的點的坐標，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可 以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那一個三角 形）。利用相似三角形的性質（對應邊的比等

11、于對應高的比）可表示出分割后的一個 三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關系式， 相應問題也就輕松解決了。9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構成的四邊形面積最大的問題” ：由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形（連結兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求法與7 相同。10 、 “定四邊形面積的求解”問題：有兩種常見解決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；方案（二）：過不在x 軸或 y 軸上的

12、四邊形的一個頂點，向x 軸（或 y 軸）作垂線，或者把該點與原點連結起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的和（差）11 . “兩個三角形相似”的問題：兩個定三角形是否相似：（ 1） 已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似; 否則不相似。（ 2） 不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似; 否則不相似。一個定三角形和動三角形相似：（ 1）已知有一個角相等的情形：先借助于相應的函數(shù)關系式，把動點坐標表示出來（一母示）

13、，然后把兩個目標三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應成比例（要注意是否有兩種情況） ，列出方程，解此方程即可求出動點的橫坐標，進而求出縱坐標，注意去掉不合題意的點。（2）不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點坐標求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標“一母示”后， 分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助于特殊角，為動點尋找一個直角三角形，求出

14、動點坐標，從而轉化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點坐標符合題意，否則這樣的點不存在。簡稱“找特角，求（動）點標，再驗證” 。或稱為“一找角，二求標，三驗證”。題：2. 、 “某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構成等腰三角形”的問首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構成等腰三角形，則有三種情況）。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標（一母示），按分類的情況，分別利用相應類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可

15、求出動點的橫坐標，再借助動點所在圖象的函數(shù)關系式，可求出動點縱坐標，注意去掉不合題意的點（就是不能構成三角形這個題意）。1 3、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構成平行四邊形”問題：這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母示”分別設出余下所有動點的坐標（若有兩個動點，顯然每個動點應各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點坐標） ，任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線（顯然最多有3 條） ，此時與之對應的另一條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一種情況兩條對角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其坐標對應相等，列出兩個方程，求

16、解即可。進一步有： 若是否存在這樣的動點構成矩形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構成矩形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構成棱形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點能構成棱形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構成正方形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證 任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點能構成正方形，否則這樣的動點不存在。1 4、“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關系”的問題： （此為“單動問題”即定解析式和動圖形相結合的問題，后面的19 實

17、為本類型的特殊情形。）先用動點坐標“一母示”的方法設出直接動點坐標，分別表示（如果圖形是動圖形就只能表示出其面積）或計算 （如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積），然后由題意建立兩個圖形面積關系的一個方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點） ，如果問題中求的是間接動點坐標，那么在求出直接動點坐標后，再往下繼續(xù)求解即可。1 5、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點，使之與另兩定點構成直角三角形”的問題：若夾直角的兩邊與y 軸都不平行：先設出動點坐標（一母示），視題目分類的情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運用兩直線（沒有與y 軸平行的直線）垂直的斜率結論（兩直線的斜率相乘等于-1 ）

18、，得到一個方程，解之即可。若夾直角的兩邊中有一邊與y 軸平行，此時不能使用斜率公式。補救措施是：過余下的那一個點（沒在平行于y 軸的那條直線上的點）直接向平行于y 的直線作垂線或過直角點作平行于y 軸的直線的垂線與另一相關圖象相交，則相關點的坐標可輕松搞定。1 6、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構成等腰直角三角形”的問題。 若定點為直角頂點，先用k 點法求出另一直角邊所在直線的解析式（如斜率不存在，根據(jù)定直角點，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程），利用該解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再用兩點間的距離公式計算出兩條直角邊等否？若等，該交點合題，反之不合題，

19、舍去。 若動點為直角頂點：先利用k 點法求出定線段的中垂線的解析式，再把該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再分別計算出該點與兩定點所在的兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看其結果是否為-1 ？若為 -1 ，則就說明所求交點合題；反之，舍去。1 7、“題中含有兩角相等，求相關點的坐標或線段長度”等的問題：題中含有兩角相等，則意味著應該運用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中的基本模型“ A或“X”是關鍵和突破口。18. “在相關函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關點的坐標或線段長”的問題：（此為“單動問題”

20、即定解析式和動圖形相結合的問題，本類型實際上是前面 14 的特殊情形。）先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上,或者有一邊平行于x 軸或 y 軸）面積的和或差，設出相關點的坐標（一母示），按化分后的圖形建立一個面積關系的方程，解之即可。一句話， 該問題簡稱 “單動問題”，解題方法是“設點（動點）標，圖形轉化（分割） ，列出面積方程”。19. “在相關函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母）的情況下，題中又含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關點的坐標或參數(shù)的值”的問題：此為“雙動問題”（即動解析式和動圖形相結合的問題）。如果動圖形不是基本模

21、型，就先把動圖形的面積進行轉化或分割（轉化或分割后的圖形須為基本模型），設出動點坐標（一母示），利用轉化或分割后的圖形建立面積關系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應點的橫坐標，再利用該點所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點的縱坐標（注意，此時，一定不能把該點坐標再代入對應函數(shù)圖象的解析式，這樣會把所有字母消掉）。 再注意圖中另一個點與該點的位置關系（或其它關系，方法是常由已知或利用（2）問的結論，從幾何知識的角度進行判斷，表示出另一個點的坐標，最后把剛表示出來的這個點的坐標再代入相應解析式，得到僅含一個字母的方程，解之即可。如果動圖形是基本模型，就無須分割（或轉化）了，直接先設出動點坐標（一母

22、式），然后列出面積方程，往下操作方式就與不是基本模型的情況完全相同。一句話，該問題簡稱“雙動問題”，解題方法是“轉化（分割） ，設點標，建方程，再代入，得結論”。中考二次函數(shù)壓軸題分析【涼山州中考】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于A,B, 兩點，拋物線y x2 bx c經(jīng)過A,B,兩點，并與x軸交于另一點C (點C在點A 的右側)，點P是拋物線上一動點。(1)求拋物線的解析式及點 C的坐標.(2)若點P在第二象限內，過點 P作PD x軸于D,交AB于點E.當點P運動到什么 位置時，線段PE最長？此時PE等于多少？(3)如果平行于x軸的動直線1與拋物線交于點Q,與直線

23、A B交于點N,點M為OA的中點，那么是否存在這樣的直線1 ,使得三角形MON是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理.【廣安市中考】在平面直角坐標系 xOy中，AB± x軸于點B, AB=3, tan/AOB=3/4 將 OA璘著原點 O逆時針旋轉 90°,得至OAB;再將AOAB繞著線段 OB的中點旋轉180°,得到 OAB,拋物線y=ax2+bx+c (a才0)經(jīng)過點B、Bi、A2(1)求拋物線的解析式;(2)在第三象限內，拋物線上的點 P在什么位置時， PBB的面積最大？求出這時點P的坐標;(3)在第三象限內，拋物線上是否存在點 Q,使點

24、Q到線段BB的距離為 叵?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說 2明理由?！緲飞街锌肌咳鐖D，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(m,由，點B的坐標為(n, - n),拋物線經(jīng)過 A Q B三點，連 接OA OB AB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù)mi n (mK n)分別是方程x2-2x- 3=0的兩根.(1)求拋物線的解析式；備用圖(2)若點P為線段OB上的一個動點(不與點O B重合)，直線PC與拋物線交于D、E兩點(點D在y軸右側)，連接OD BD當 OP8等腰三角形時，求點 P的坐標；求 BOD面積的最大值，并寫出此時點 D的坐標.【成都中考】如圖，在平面直角坐標系 xOy中，一次函數(shù)5y x m ( m為吊數(shù))的圖象與x軸父于點A( 3, 0),與y軸父于點C.以直線 4x