【精品】五年級下冊數(shù)學(xué)試題：培優(yōu)專題講練：第18講巧解最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題人教版

1、第 18講 巧解最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題巧點(diǎn)晴方法和技巧任取幾個非零數(shù)，它們都會有很多相同的約數(shù)，也會有一些相同的倍數(shù)。相同約數(shù)中最小的一檢點(diǎn)總是1，最大的一個就是它們的最大公約數(shù)；而零則是每個非零整數(shù)的倍數(shù)，這些數(shù)的相同倍數(shù)中沒有最大的，最小的一個就是它們的最小公倍數(shù)。巧指導(dǎo)例題精講A級沖刺名?；A(chǔ)點(diǎn)晴【例 1】一張長方形的紙，長7公米 5厘米、寬6 分米?，F(xiàn)在要把它裁成面積相等的正方形，而且正方形邊長為整厘米數(shù)，問：有幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，問：可以裁成多少塊？分析與解7分米 5厘米 =54 厘米， 6分米 =60 厘米。 因為裁成的正方形的邊長必須能同時整除75 厘米和

2、 60 厘米，所以邊長是75 和60的公約數(shù)。75和 60 的公約數(shù)有1， 3， 5， 15，所以有4種裁法。如果要使正方形面積最大，那么邊長也應(yīng)該最大，應(yīng)該取75 和60的最大公約數(shù)15作為正方形的邊長。所以可以裁成（75+15） X（60+15） =20 （塊）。答：有 4 種裁法，共能裁成20 塊。做一做 1 將一塊長80 米、寬 60 米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形，問：小正方形的面積最大是多少？2】甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲3 天去一次，乙4 天去一次，丙5 天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會，問：至少再過多少天，他們?nèi)擞謺趫D書館相會

3、？分析與解從第一次三人在圖書館相會到下一次再相會，相隔的天數(shù)應(yīng)該是3， 4， 5 的最小公倍數(shù)，因為3， 4， 5 的最小公倍數(shù)是60，所以至少再過60 天他們?nèi)擞謺趫D書館相會。答：至少再過60 天，他們?nèi)擞謺趫D書館相會。做一做 2 五年級一班的同學(xué)每周一都要去看望軍屬張爺爺，二班的同學(xué)每6 天去看一次，三班的同學(xué)每兩周看一次。如果“六一”兒童節(jié)三個班的同學(xué)同一天去看張爺爺，那么， 再過多少天這三個班的同學(xué)會再次同一天去張爺爺家？【例3】把26， 33， 34， 35， 63， 85， 91， 143這 8個數(shù)分成若干組中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)都是1。那么，至少要分幾組？分析與解 26

4、=2 X 13 33=3 X 11 34=2 X 1735=5 X7 63=9 X7 85=5 X 1791=7 X 13 143=11 X 13這 8 個數(shù)每個都有兩個質(zhì)因數(shù)，要使其中每兩個數(shù)的最大公約數(shù)都為1，則同一質(zhì)因數(shù)最多只能在一個組中出現(xiàn)1 次?，F(xiàn)在，35， 63， 91 這三個數(shù)中都有質(zhì)因數(shù)7； 26， 91， 143這三個數(shù)中都有質(zhì)因數(shù)13。因此，至少要分3組，才有可能把這兩組數(shù)分開?，F(xiàn)取 26, 33, 35 為一組，34, 63, 143 為一組，91, 85 為一組。同組的數(shù)中，每兩個數(shù)的最大公約數(shù)都為 1。答：至少要分3組。做一做3把下面幾個數(shù)平均分成兩組，使第一組數(shù)的乘

5、積與第 二組數(shù)的乘積相等。14, 33, 35, 30, 75, 39, 143, 169B級 培優(yōu)競賽更上層樓【例4】從一張長2 002毫米、寬847毫米的長方形紙片上，剪 下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪 得的正方形的邊長是多少毫米？分析與解 由于847的兩倍比2 002小，因此，開始時的長方形 紙片上，可以連剪兩個邊長為 847的正方形。2 002=847X2 + 308剩下的部分是長、寬分別為847與308的長方形，依此類推有：J2002而4 ;fl匕tsHEE丁nnr847847=308X 2 + 231, 308=231X1 + 77, 231=77X

6、330*77寬為77的長方形時，剛好可以剪也就是說，當(dāng)剩下長為231, 成三個邊長為77的正方形。所以，最后剪得的正方形邊長是77毫米上面的過程可以用輾轉(zhuǎn)相除法來表達(dá)。答：最后剪得的正方形的邊長為77 毫米。做一做 4 用一張長1 072 毫米、寬469 毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，并且最后沒剩余。問：這些正方形的邊長最長是多少？【例5】兩個自然數(shù)的和為50，它們的最大公約數(shù)是5，則這兩個數(shù)的差是多少？分析與解由于這兩個數(shù)的公約數(shù)是5， 所以它們都是5 的倍數(shù)，本題也就是要把50 分成兩份，這兩份的最大公約數(shù)是5。分析與解因為50=5 45=10 40=15 35=20 30=25

7、25，但（5， 45） =5， （ 15， 35） =5，而（10，40）=40，（ 20，30）=10， （25，25）=25，所以，這兩個數(shù)可能是5 與 45，也可能是15 與 35。答：這兩個數(shù)的差為40 或 20。做一做 5 兩個數(shù)的積是5 766，它們的最大公約數(shù)是31，問：這兩個數(shù)是多少？【例6】在一根長木棍上用紅、黃、藍(lán)三種顏色做標(biāo)記，分別將木棍平均分成了10 等份、 12 等份和 15 等份。如果沿這三種標(biāo)記把木棍鋸斷，問：木棍總共被鋸成了多少段？分析與解 因為10, 12和15的最小公倍數(shù)是60 （厘米），60+12=5 （厘米），60 + 5=4 （厘米）因為5和6的最小公

8、倍數(shù)是30,所以紅、黃兩種標(biāo)記重復(fù)的地方有60+301 = 1 （處）；另兩種情況分別有 2 處和 4 處。因此，木棍總共被鋸成（10 12 15 2）1 2 4=28（段）。答：木棍總共被鋸成28段。做一做6 用紅筆在一根木棍上做了三次記號，第一次把木棍分成 12等份，第二次把木棍分成15等份， 第三次把木棍分成20等份，然后沿著這些記號把木棍鋸開，問：一共可鋸成多少小段？C級（選學(xué)）決勝總決賽勇奪冠軍【例 7】僅含有兩個質(zhì)因數(shù)的某自然數(shù)的約數(shù)和為403，則該自然數(shù)最小是多少？分析與解 根據(jù)題意，設(shè)這個自然數(shù)c的表達(dá)式為c= % mxb（ % ,b為質(zhì)數(shù)），則有（% +% + % + %X

9、（b+b+b + + bn） =403。把 403=13X31,發(fā)現(xiàn) 13=30+31 + 32, 31=20 + 21 +22+23 + 24,即0c =3, m=2,b=2,n=4。因此符合條件的自然數(shù)是c =32X 24=144。做一做7數(shù)恰有4個約數(shù)，這些約數(shù)之和等于 2 040 ,求數(shù) a。巧練習(xí)溫故知新（十八）A級沖刺名校基礎(chǔ)點(diǎn)晴1 . 有四個自然數(shù)，它們的和是1 111 。如果要求這四個數(shù)的公倍數(shù)盡可能大，問：這個最大值是多少？2 .有一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點(diǎn)，同時自右至左每隔5 厘米染一個紅點(diǎn)，染色后沿紅點(diǎn)將木棍逐段鋸開，那么長度是1 厘米的短木棍

10、有多少根？3 .10個非零自然數(shù)之和等于1 001，則這十個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？4 . % ,b,c,d,e 分別是5個人的年齡數(shù)。已知%是 b的2倍、c的3倍、d的4倍、e的6倍，問： +b+c + d + e的最小值是多少？5 . 甲、乙兩數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)3 和 5，它們的最大公約數(shù)是45。已知甲數(shù)有12 個約數(shù)，乙數(shù)有10 個約數(shù)，那么在800 到 1000 之間，甲、乙兩數(shù)之和是多少？B級 培優(yōu)競賽更上層樓6 .甲、乙兩個數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2和7,它們的最大公約數(shù)是98, 已知甲數(shù)有12個約數(shù)，乙數(shù)有8個約數(shù)，問：甲、乙兩數(shù)各是多少？7 .求1 155的兩位約數(shù)中最大的一個是多少？ 555

11、 555的約數(shù)中, 最大的三位數(shù)是多少？8 .自然數(shù)和b恰有99個自然數(shù)因數(shù)（包括1和該數(shù)本身），試 問：數(shù) x b能不能恰有1 000個自然數(shù)因數(shù)（包括1和該數(shù)本身）？9 .下面是四個互相咬合著齒輪，其中最大的那個齒輪通過順時針 旋轉(zhuǎn)可帶動其他三個齒輪，各齒輪的齒數(shù)依次為 16, 12, 10, 6。如 圖所示，當(dāng)最大的齒輪按照順時針方向旋轉(zhuǎn) 7周時，每個齒輪上面箭 頭所指的四個漢字分別是什么？10 .有9個不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是多少?C級（選學(xué)）決勝總決賽勇奪冠軍11 .設(shè)n是滿足下列條件的自然數(shù)，它們是 75的倍數(shù)且恰有75 個自然數(shù)因子（包括1和本身），求工。7512 .求自然數(shù)N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)， 它共有10個約數(shù)。13 .已知三個連續(xù)的自然數(shù)，它們都小 2 002,其中最小的一個 自然數(shù)能被13整除，中間的一個自然數(shù)能被15整除，最大的一個自 然數(shù)能被1