九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末高效復(fù)習(xí)專(zhuān)題4相似三角形(含解析)浙教版

1、24一5_專(zhuān)題4相似三角形題型一比例線(xiàn)段、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理如圖1,已知AB/ CD EF, AD： AF= 3 ： 5, BE= 12,那么CE的長(zhǎng)等于圖1. AW CD e-AD= BC 即I4C利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理解題時(shí),八36 八BC= -5, . CE= BE- BC= 12-要注意找好對(duì)應(yīng)線(xiàn)段，通常用36 24左上 右上左下 右下，左全=右全 等關(guān)系分段尋找變式跟進(jìn)1 .2017 鎮(zhèn)江如圖2, ABC3,AB= 6, DE/ AC將 BD透點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得至BD E',點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊BC上，已知 BE' =5, D' C= 4,則 BC的長(zhǎng)為

2、 2+734 .圖2【解析】由條件"DE/ AC可彳# BDEo BAC即有學(xué)瞿 由題意可得 BE= BE = 5,BA BCBD= BD = BC-D' C= BC-4, AB= 6.設(shè) BC= x,由，可列方程：* 解得 x = 2+434 （負(fù)值舍去），故BC的長(zhǎng)為2 + 34.題型二相似三角形的判定 例22017 祁陽(yáng)期末已知：如圖3, /1 = /2, AB- AC= AD-AE圖3求證：/ C= / E證明：在 ABEADB，AB- AC= AD AE, - ADTAd 又. / 1 = /2， . AB& AD?！军c(diǎn)悟】判定三角形相似的幾條思路：（1）條

3、件中若有平行線(xiàn)， 可采用相似三角形的預(yù)備定理；（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角（用判定3）或找?jiàn)A邊成比例（用判定2）; （3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮一對(duì)等角或證 明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，可找一對(duì)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.型變式跟進(jìn)2. 2017 隨州在ABC, AB= 6, AC= 5,點(diǎn) D 在邊 AB 上，且 AD= 2,點(diǎn) E 在邊 AC 上， 當(dāng)AE= _|叟12時(shí)，以A, D, E為頂點(diǎn)的三角形與 ABCffi似./ A= / A,分兩種情況：當(dāng)AD= AC- adeaab(c

4、 即26，x3 當(dāng)?shù)冻?寸， ADE ACB即 旗易，AE=不.綜上所述，當(dāng) AE=3或了時(shí)，以 A D, E AE ABAE 6535為頂點(diǎn)的三角形與 ABCf似.3. 2017 嘉興模擬已知：如圖4,四邊形 ABC虛正方形，/ PAQ= 45° ,將/ PA藏著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它與正方形ABCD勺兩個(gè)外角/ EBC /FDC勺平分線(xiàn)分別交于點(diǎn) M和N,連結(jié)MN圖4（1）求證： ABIVb NDA（2）連結(jié)BD當(dāng)/ BAM勺度數(shù)為多少時(shí)，四邊形 BMND；矩形，并加以證明.解：（1）證明：四邊形 ABCD1正方形，/ ABG= / AD仔 / BAD= 90 , BM DN分

5、別是正方形的兩個(gè)外角平分線(xiàn)，/ABM= Z ADN= 135 , ./ MAN 45 ,，/BA限 /AND= 45° -Z DAN . ABMh NDA（2）當(dāng)/BAMk 22.5 °時(shí)，四邊形 BMND；矩形.證明：. / BAIW 22.5 , Z EBIW 45 , ./AMB= 22.5 ,BAIMk / AMBAB= BM 同理 AD= DN AB= AD,BMf DN 四邊形ABCD1正方形， .Z ABD= / ADB= 45 , .Z BDN= / DBIW 90 ,，/BDNF Z DBIW 180° ,，BW DN 四邊形BMN囪平行四邊形，

6、 ./BDN= 90° , .四邊形 BMND；矩形.題型三 相似三角形的性質(zhì) 例3 如圖5,把 ABCgAB邊平移到 A' B' C'的位置，它們的重疊部分 （即圖中的 陰影部分）的面積是 ABC勺面積的一半，若AB=小,則此三角形移動(dòng)的距離 AA'=也二 1.【解析】 設(shè)BC與A' C'交于點(diǎn)E,由平移的性質(zhì)知，AC/ A' C' ,， BEA s BCA S bea ：SaBC* A'B2：A百=1：2,AB= 72,AB= 1, . AA =AB- A'B=&一1.【點(diǎn)悟】（1）相似三角形

7、的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方；（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高線(xiàn)、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)的比等于相似比.圖變式跟進(jìn)4. 2017 自貢如圖 6,在ABC43, MIN/ BC 分另校 AR AC于點(diǎn) M N,若 AM= 1, MB= 2,BC= 3,則MN的長(zhǎng)為_(kāi).【解析】 MN/ BC圖6AM MN1 MN i. .AM沖AABCC訴A陣 1, MB= 2, BC= 3, .7=7,解AB BC1 十 23得 MN= 1.5.如圖7,有一塊三角形的余料 ABC要把它加工成矩形的零件，已知：BC= 8 cm,高AD=12 cm,矩形 EFGH勺邊EF在BC邊上，G H分別在 AC AB上，設(shè) HE

8、的長(zhǎng)為y cm, EF的長(zhǎng) 為 x cm.(1)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)x取多少時(shí)，四邊形 EFGH1正方形?圖7解：; BC= 8 cm,高AA 12 cm, HE的長(zhǎng)為y cm, EF的長(zhǎng)為x cm,四邊形 EFGH1矩形, .AQA>y= 12-y, HG= EF= x, HG/ BC12 y12AK HG .AH。 ABC、即AD BC-3-y=12-2x;3(2)由(1)可知，y與x的函數(shù)關(guān)系式為 y= 12-2x,四邊形EFGK正方形，HE= EF,即x=y,.x= 12-3x,解得 x = 24. 25“ ，24 一 _答：當(dāng)x一時(shí)，四邊形EFGH!正萬(wàn)形.題型四

9、位似圖形及其畫(huà)法 例4 如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中有 ABC以點(diǎn)O為位似中心，相似比為2, W ABC放大，則它的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為2,12，1B. (8,6),(6,2),(2,4)C. (8,6),(6,2),(2,4)或(一8, 6), (6, 2), (2, -4)D. (8, 6), (6, 2),(2, 4)或(一8, 6) , (6, 2), (2, 4)【解析】由坐標(biāo)系可知，點(diǎn) A,點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(4,3), (3,1), (1 , 2),二以點(diǎn)O為位似中心，相似比為 2,將 ABCM大，則它的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4X2, 3X2), (3X2,1X2), (1X2, 2X

10、2)或(一4X2, 3X2), (3X2, -1X2), ( 1X2, 2X2),即(8,6), (6, 2), (2, 4)或(一8, 6), (6, 2), (2, -4).【點(diǎn)悟】如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為的坐標(biāo)比等于k或一k.k,那么位似圖形與原圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)變式跟進(jìn)6. 2017 煙臺(tái)如圖9,在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1.AO的 LA OB是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為3： 2,點(diǎn)A, B都在格點(diǎn)上，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)一八4是 一 2,.3圖9【解析】 由題意，將點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)都乘以一f,得點(diǎn)B'的坐標(biāo).由B的坐標(biāo)(3, 2), 3得B'

11、;的坐標(biāo)一2, 4 .37.如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中， ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2 , 4), R3, 2),C(6 , 3).(1)畫(huà)出ABC于x軸對(duì)稱(chēng)的 ABC;(2)以M點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格中畫(huà)出ABC的位似圖形 ABG,使ABaG與ABC的相似比為2 ： 1;求出A2, B2, G三點(diǎn)的坐標(biāo).圖10第7題答圖解： 如答圖所示， ABG即為所求；(2)如答圖所示， AE2G即為所求； A(3, 6) ; B2(5, 2) ; G(11 , 4).題型五 相似三角形的綜合例52017 -泰安如圖11 ,四邊形 ABC珅，AB= AO AD AC平分/ BAD點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一

12、點(diǎn)，且 PDL AD(1)證明：/ BDC= / PDC(2)若 AC與 BDt目交于點(diǎn) E, AB= 1, CE： CP= 2 : 3,求 AE的長(zhǎng).解：(1)證明：AB= AD AC平分/ BAD .ACL BD, . Z ACI> Z BDC= 90 ,. AC= AD,，/ACD= Z ADC. PDL AD, . ./ADCF Z PDC= 90 , ./ BDC= / PDC(2)如答圖，過(guò)點(diǎn) C作CML PD點(diǎn)M . / BDC= / PDC CE= CM/ CMP / ADP= 90 , / P= / P,_. 一 CM PC. .CP怖AAPID .麗=PA設(shè) CM=

13、CE= x,CE： CP= 2 : 3,3PC=AB= AD= AC= 1,3-xx 2 i 11 2 1 = 3，斛得 x=. AE= 1 3 = 3.圖變式跟進(jìn)8.2017 甘肅如圖12,4ABG口 DEF兩個(gè)全等的等腰直角三角形， / BAC= / EDF= 90° , DE用勺頂點(diǎn)E與ABC勺斜邊BC的中點(diǎn)重合，將 DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段 DE與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)P,線(xiàn)段EF與射線(xiàn)CAffi交于點(diǎn)Q(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) Q在線(xiàn)段AC上，且AP= AQ寸，求證： BPEE CQE(2)如圖，當(dāng)點(diǎn) Q在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證： BPP4CEQ并求當(dāng)BP= 2, CQ=

14、9時(shí)BC的長(zhǎng).圖12解：(1)證明：. ABB等腰直角三角形，B= / C= 45 , AB= AC, AP= AQ，BP= CQ E 是 BC的中點(diǎn)，BE= CE,在 BP3口ACQE,BE= CE/B= / C, .BP窿 CQESAJS；BP= CQ(2) ABCL DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,B= / C= / DEF= 45 ,/ BEQ= / EQC- / C,即/ BE丹 / DEM / EQQ- / C,Z BE丹 45° =/ EQCF 45° ,Z BEe / EQC BP曰 CEQCP= CQ B鼻 2, CQ= 9, BE= CE. B=18,

15、BE= CE= 32,，BC= 6小.過(guò)關(guān)訓(xùn)練AB= 6 cm, A' B' = 3 cm,則 ABC與1. 2017 蘭州模擬若八88、N B' C ,已知 A' B' C'的面積比為（D ）A. 1 ： 2 B, 2 ： 1 C . 1 ： 4 D, 4 ： 1【解析】. ABQ A B' C' , AB= 6 cm,A' B' = 3 cm, .其相似比=ABA' B'21.ABCW A B' C'的面積比=(AB： A' B' )2 = 4：1.2. 2017

16、 常熟期末如圖1, 4ABC中，D,E分別在AB AC上，下列條件中不能判斷 ADEoACB勺是(D )A. / ADE= / CAD AE AD DEC.AcT Ab d. AcT BcB. / AED= / B圖1圖23. 2017 濰坊如圖 2,在ABC, AB ACD, E分別為邊AB, AC上的點(diǎn)，AC= 3AD, AB= 3AE點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件:/A= / BFD答案不唯一，合理即可）,可以使FDBfaADEt目似.（只需寫(xiě)出一個(gè)）AD AE 1 一【解析】AC= 3AD AB= 3AE又./ A= /A, ， AD呼 ACB / AEDAC AB 3= /B.故要

17、使 FDBfaADEt目似，只需再添加一組對(duì)應(yīng)角相等，或夾角的兩邊成比例即可.4. 2017 六盤(pán)水如圖3,在？ABCDK 對(duì)角線(xiàn) AC BD相交于點(diǎn) Q 在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一16點(diǎn) E,連結(jié)。氏 AD于點(diǎn) F.若 CD= 5, BC= 8, AE= 2,則 AF= _【解析】的中位線(xiàn),1如答圖,15第4題答圖ABC虛平行四邊形，. OB= OD，OM是 ABDAE AF，AM= BM= -AB=-, OM= -BC= 4, AF/ OMAEMMEO-kf =力222EM OMAF16AF= 一9 .5.如圖 4,在4ABC中，/ BAG= 90° , AB= AC 點(diǎn) D, E分別

18、在 BC AC上，且/ ADE= 45° .(2)若 AB= 2, BD- 1,求 CE的長(zhǎng).求證： AB及 DCE證明：. / BAC= 90° ,解:又. / DEC= / ADE- / CAD- 45° +Z CAD同理/ ADB= / O / CAD- 45° +Z CAD ./DEC= /ADB 又.一/ B= Z C= 45 AB及 DCE(2) AB= 2,BC= 2隹AB CD. ABDo DCE 而B(niǎo)D CE.2 = 2 也-12 5-1一 1 CE ? CE=26 .如圖5,在正方形 ABC珅，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE1

19、EF,有下列結(jié)論：/ BAE1=30 ;&ab4&ecf；CF= ?D ABEEAEF正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(B ) 3圖5A. 1個(gè)B. 2個(gè)C . 3個(gè) D. 4個(gè)【解析】 先根據(jù)正方形的性質(zhì)與同角的余角相等，證得 BA殍4CEF則可證得正確， 錯(cuò)誤；利用有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的三角形相似即可證得AB34AEF正確.故選B.7 .如圖 6,在 RtAABC, / BAC= 90 , AB= 15, AC 20,點(diǎn) D在邊 AC上,AD= 5, DELBC于點(diǎn)E,連結(jié)AE,則 ABE的面積等于 _?8一圖6第7題答圖1【解析】如答圖，分別延長(zhǎng)BA和C改于點(diǎn)_1 _1_E . A

20、陣-AB .A陣；BM . CM/ BCD勺平分 32【解析】 如答圖，連結(jié) AE 在 RtAABC, / BAC= 90。，DEL BC于點(diǎn) E,，/ BAC= / CED _ CE CD 20-5 w _ _- 一 一一 一13-=90 ,CD呼 CB/A .ca=晴-25-,故CE=12,BE= 2512=13,ab25S ABC, / SABC= 150 ,Saabe=1X 150= 78.，258 . 2017 -內(nèi)江如圖7,四邊形 ABC珅，AD/ BC CM/ BCD勺平分線(xiàn)，且 CML AB M為.一 1 . 一 , 15垂足，AMh .AB若四邊形 ABCD勺面積為亍 371

21、_ 1_ 1_ _線(xiàn),CML AB EMk BM，AMk 2EM .-.AE= 2EM AE= -BE -.AD/ BC .EA爐 EBC ，S"EAD1 2及 EAD11.仆 1 , 15161c c二= - 即-=, 斛得 SEAD=亍SEB口弓+二；-=f, S 四邊形 AMCD= XSA EBC- S EADSa ebc415 1677772Six eadH7-1 16 1=-X= 1.2779 . 2017 門(mén)頭溝區(qū)期末在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生探究：CF 1 、，一已知：如圖8,在 ABC4點(diǎn)D是BA邊延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且由不連結(jié)BF 2DF交 ACT點(diǎn) E.當(dāng)點(diǎn)E恰為DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出圖8ADL修aB勺值;,DEAD,一（2）當(dāng)聲 a（a>0）時(shí)，請(qǐng)求出 點(diǎn)勺值（用含a的代數(shù)式表不）.思考片刻后，同學(xué)們紛紛表達(dá)自己的想法: 甲：過(guò)點(diǎn)F作FG/ AB交AC于點(diǎn)G,構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題；乙：過(guò)點(diǎn)F作FG/ AC交AB于點(diǎn)G,構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題；丙：過(guò)點(diǎn)D作DG/ BC交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) G構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題；老師說(shuō)：“這三位同學(xué)的想法都可以”.請(qǐng)參考上面某一種想法，完成第（1）問(wèn)的求解過(guò)程，并直接寫(xiě)出第（2）問(wèn)AB勺值.解：（1