差分方程模型的應(yīng)用1

1、本章介紹幾個用差分方程建立的實際第七章差分方程模型差分方程是解決離散時間問題的常用的數(shù)學(xué)方法, 問題的數(shù)學(xué)模型。7.1個人住房抵押貸款隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融問題正越來越多地進(jìn)入普通市民的生活，貸款、保險、養(yǎng)老金和 信用卡等都涉及金融問題，個人住房抵押貸款是其中最重要的一項。1998年12月，中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平，其中貸款利率如表 7.1所列：表7.1中國人民銀行貸款利率表貸款期限半年一年三年五年五年以上利率6.126.396.667.207.56當(dāng)貸款期處于表中所列相鄰年限之間時利率為對應(yīng)相鄰兩數(shù)中較大者。其后，上海商業(yè)銀行對個人住房商業(yè)性貸款利率做出相應(yīng)調(diào)整。表7.2和表7.

2、3分別列出了上海市個人住房商業(yè)抵押貸款年利率和商業(yè)抵押貸款（萬元）還款額的部分?jǐn)?shù)據(jù)（僅列出了五年）。表7.2上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款利率表貸款期限一年二年三年四年五年利率6.126.2556.3906.5256.660表7.3上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款分期付款表（元）貸款期限一年二年三年四年五年月還款一次還清444.36305.99237.26196.41本息總和10612.010664.5411015.6311388.7111784.71一個自然的問題是,表7.2和表7.3是如何依據(jù)中央人民銀行公布的存、貸款利率水平 制定的？我們以商業(yè)貸款10000元為例，一年期貸款的年利率為6.12 %

3、 ,到期一次還本付息總計10612.00元，這很容易理解。然而二年期貸款的年利率為6.255 % ,月還款數(shù)444.36元為本息和的二十四分之一，這后兩個數(shù)字究竟是怎樣產(chǎn)生的？是根據(jù)本息總額算出月還款額，還 是恰好相反？讓我們稍微仔細(xì)一些來進(jìn)行分析。由于貸款是逐月歸還的，就有必要考察每個月欠款余額的情況。設(shè)貸款后第k個月時欠款余額為 A元，月還款m元,則由Ak變化到 人中，除了還款額外，還有什么因素呢？無疑就是利息。但時間僅過了一個月，當(dāng)然應(yīng)該是月利率，設(shè)為r，從而得到=rAk -m或者Ak+ =(1 + r)Ak m(7.1)初時條件Ao =10000(7.2)這就是問題的數(shù)學(xué)模型。其中月利

4、率采用將年利率r =0.06255/12=0.00512125R = 0.06255 平均。即(7.3)若m是已知的,則由(7.1)式可以求出 A中的每一項,我們稱(7.1)式為一階差分方程。模型解法與討論(1)月還款額二年期的貸款在24個月時還清，即A24 =0(7.4)為求m的值,設(shè)Bk = Ak Ak 1,k=1,2,(7.5)易見Bk+ =( +r)Bk于是導(dǎo)出Bk的表達(dá)式Bk =(1卄)2弗k=1,2,|(7.6)由(7.5)式與(7.6)式得kAk - A) =S Bk =j三k空亠=從而得到差分方程(7.1)的解為kkAk =A0(1 + r) -m(1+r) -1/r，k=1,

5、2,川(7.7)將A0, A24,r的值和k =24代入得到m =444.36(元),與表7.3中的數(shù)據(jù)完全一致，這樣我們就了解了還款額的確定方法。當(dāng)然還款額表的制定依賴于年利率表，而后者又是怎樣制定的呢？盡管我們無法獲知銀行方面的各種考慮，但還是可以通過比較分析得出一些結(jié)論。首先注意表7.2商業(yè)性貸款利率中有兩個數(shù)據(jù)與中央銀行公布的表7.1中的數(shù)據(jù)相同，不過相應(yīng)的貸款年限則放寬了一檔:6.12 %是一年期，而在表7.1中是上一檔半年期，6.66 %是五年期而在表 7.1中是上一檔 三年期。其次再考察表7.2商業(yè)性貸款二、三、四年期的利率 ，我們把這三個數(shù)字是如何得到的問題留給讀者。依據(jù)這兩個

6、結(jié)論，請讀者自己制定出住房商業(yè)性貸款直至二十年的利率表和還款額表。(2)還款周期我們看到個人住房貸款是采用逐月歸還的方法，雖然依據(jù)的最初利率是年利率。那么如果采用逐年歸還的方法，情況又如何呢？仍然以二年期貸款為例，顯然，只要對(7.7)式中的利率r代之以年利率 R =0.06255,那么由k=2, A2 =0, A =10000,則可以求出年還款額應(yīng)m =5473.87(元)這樣本息和總額為2 m =10947.73(元)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出逐月還款的本息總額?？紤]到人們的收入一般都以月薪方式獲得，因此逐月歸還對于貸款者來說是比較合適的。讀者還可以討論縮短貸款周期對于貸款本息總額的影響。(3)平衡點回到差

7、分方程(7.1),若令九半=九=人，可解出(7.8)A =m/r稱之為差分方程的平衡點或稱之為不動點。顯然，當(dāng)初值A(chǔ) =m/r時，將恒有Ak =m/r, k =1,2，川。在住房貸款的例子里，平衡點意味著如果貸款月利率r和月還款額 m是固定的，則當(dāng)初貸款額稍大于或小于 A=m/r時,從方程(7.1)的解的表達(dá)式(7.7)中容易看出，欠款額 A隨著k的增加越來越遠(yuǎn)離 m/ r ,這種情況下的平衡點稱為不穩(wěn)定的 ，對一般的差分方程Xk+ = f (Xk), k =0,1,2，(7.9)稱滿足方程X = f (x)的點X*為(7.9 )的平衡點。若(7.9 )的解lim xk =x*kk,否則稱X*

8、為不穩(wěn)定的平衡點。判別平衡點10)則稱X*為穩(wěn)定的平衡點數(shù) f '(X*):(1)當(dāng)X*是否穩(wěn)定的一個方法是考察導(dǎo)f'(X*) <1時，X*是穩(wěn)定的； f '(X*) I >1時，X*是不穩(wěn)定的。在金融乃至經(jīng)濟(jì)等其他領(lǐng)域中，還有許多問題的數(shù)學(xué)模型都可以用差分方程來表達(dá)。下面再介紹幾個典型例子。(2)當(dāng)7.2養(yǎng)老保險養(yǎng)老保險是與人們生活密切相關(guān)的一種保險類型。通常保險公司會提供多種方式的養(yǎng)老金計劃讓投保人選擇，在計劃中詳細(xì)列出保險費(fèi)和養(yǎng)老金的數(shù)額。例如某保險公司的一份材 料指出：在每月交費(fèi)200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時月養(yǎng) 老

9、金2282元；若35歲起投保，月養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，月養(yǎng)老金420元。我們來考 察三種情況下所交保險費(fèi)獲得的利率。設(shè)投保人在投保后第 k個月所交保險費(fèi)及利息累計總額為Fk,那么很容易得到數(shù)學(xué)模=Fk(1 卄)+P,k =1,2，NFkH! =Fk(1 +r) q,k =N +1,N +2,，M(7.11)其中,p,q分別是60歲前所交的月保險費(fèi)和 60歲起每月領(lǐng)的養(yǎng)老金數(shù)（單位：元）,r是所交保險金獲得的利率，N,M分別是投保起至停交保險費(fèi)和至停領(lǐng)養(yǎng)老金的時間（單位:月）.然M依賴于投保人的壽命，我們?nèi)≡摫ｋU公司養(yǎng)老金計劃所在地男性壽命的統(tǒng)計平均值 歲，以25歲投保為例，則有75

10、p =200, q =2282， N =420, M =600而初始值F0 =0,據(jù)此不難得到fk =F0(1+r)k +p(1+r)k -1/r,k=0,1,，NFk =Fn(1 +r)k4 -q(1 + r)k一1/r,k = N+1,N+ 2,，M12)由此可得到關(guān)于r的方程如下(1 + r)M -(1 + q/ p)(1 + r)M_N +(1 + q/ p) =0(7.13)記X =1 +r ,且將已知數(shù)據(jù)代入，則只需求解方程600# C #180# # y|CX-12.41X+11.41 =014)由方程（7.14）求得X =1.00485, r =0.00485 （非線性方程求近

11、似解）。對于35歲起投保和45歲起投保的情況，求得保險金所獲得的月利率分別為0.004610.00413。7.3金融公司支付基金的流動金融機(jī)構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付，設(shè)立一筆總額5400萬的基金,分開放置在位于 A城和城的兩家公司，基金在平時可以使用，但每周末結(jié)算時必須確保總額仍然為5400萬。經(jīng)過相當(dāng)長的一段時期的現(xiàn)金流動，發(fā)現(xiàn)每過一周，各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自 己的公司內(nèi)，而A城公司有10%支付基金流動到B城公司，B城公司則有12%支付基金流動 到A城公司。其初A城公司基金為2600萬，B城公司基金為2800萬。按此規(guī)律，兩公司支 付基金數(shù)額變化趨勢如何 ？如果金融專家認(rèn)為每個

12、公司的支付基金不能少于2200萬,那么是17)否需要在必要時調(diào)動基金？設(shè)第k +1周末結(jié)算時，A城公司B城公司的支付基金數(shù)分別為ay，bkH單位：萬元）,那么有jak 十=0.9ak +0.12bkLb+=0.1ak +0.88bk這是一個差分方程組，初始條件為0）=2600, b0 =2800k =0,1,2,(7.15)(7.佝通過迭代，可以求出第k周末時的ak和bk的數(shù)額,下面的表7.4列出了幾種情況下 末兩公司的基金數(shù)。1至12周kakbkkakbk12676.02724.072884.82515.222735.32664.782898.12501.93278152618.592908

13、.52491.542817.62582.4102916.72483.352845.72554.3112923.02477.062847.72532.3122927.92472.1表7.4（b） a0= 2800,b0 =2600的兩城支付基金表kakbkkak412832.02568.072919.92480.122857.02543.082925.52474.532876.42523.692929.92470.142891.62508.4102933.32466.752903.52496.5112936.02464.062912.72487.3122938.12461.9表7.4（C） a0

14、= 3000,b0 =2400的兩城支付基金表kakbkkakd12988.0241272955.02445.022978.62421.482952.92447.132971.32428.792951.32448.742965.62434.4102950.02450.052961.22438.8112949.02451.062957.72442.3122948.22451.8A城公司支付基金數(shù)在逐步增加，但增幅逐步減小 ak是否有上界，bk是否有下界？ bk是否會小于表7.4（ a） a0 =2600,b0 =2800的兩城支付基金表從表7.4 （ a ）中可以看出 司的基金變化正好相反。然而

15、 呢？我們還是不能斷言。解決這個問題有許多方法 成矩陣形式；B城公2200萬元F面我們借助線性代數(shù)知識來處理這個問題，將（7.15）式寫/0.9時丿0.10.12 Yak 0.88Abk 丿那么我們就可以得到18)久昇_卩.9 0.121十仔0、bJ® 0.88J b 丿利用正交變換（也可以利用矩陣迭代），便可以圓滿地回答前面的問題。對于本例，當(dāng)k 充分大A城公司的支付基金為 2945.8萬元，B城公司的支付基金為 2454.2萬元。均滿足 2200萬元的最低保證金要求（請讀者自己完成） 。(7.19 )類似于差分方程平衡點的討論，對于一般的一階常系數(shù)差分方程組Xk 半=AXk 稱滿

16、足方程組X =AX的解向量X*為（7.19 ）式的平衡點。如果lim Xk =X*ki k稱平衡點是穩(wěn)定的。記cr（A） =胡幾1 -A| = 0可以通過分析矩陣 A的特征值來判斷（7.19 ）式平衡點的穩(wěn)定性：（1）當(dāng)任意的）疋b（A）,|A|<1,或者A =1，平衡點X*是穩(wěn)定的；（2）當(dāng)任意A壬cr（A）,|AR1,且A工1，平衡點是不穩(wěn)定的。對于本模型，通過求幾=1的特征向量，得到 X* =2945.8,2454.2t。也可以用迭代法求近似解。矩陣A的兩個特征值分別為 1，0.78，因此，該平衡點是穩(wěn)定的。7.4選舉問題西方國家的政治生活中，選舉是一件大事。隨著選民人數(shù)的變化，選

17、舉的趨勢會是怎樣 的？ 一直是各個政黨十分關(guān)心的問題。 本節(jié)我們介紹用差分方程建立一個由三個政黨參加的 選舉問題。考慮有A,B,C三個政黨參加每次的選舉，每次參加投票的選民人數(shù)保持不變。通常情 況下，由于社會、經(jīng)濟(jì)、各黨的政治主張等多種因素的影響，原來投某黨票的選民可能改投 其他政黨。為此，我們作如下假設(shè)：（1）每次投A黨票的選民，下 別有1，2，3比例的選民投 A,B,C 次投B黨票的選民，下次投票時， S1,S2,S3比例的選民投 A,B,C各政 投C黨票的選民，下次投票時，分 比例的選民投A,B,C各政黨的票；（2）Xk，yk，Zk表示第k次選舉時A, B,C各黨的選民人數(shù)。每次投票的選

18、民數(shù)變動情況見流程 根據(jù)假設(shè)，可以得到如下差分圖匚血民掃曲程圖次投票時, 政黨的票, 分 別分每有黨的票，每次有 t1 ,t2 , t37.1。方程組（7.20 ）XkH! =r1Xk +S1yk +t1Zk « ykd! DXk +S2yk +t2zk+t2 +t3 =1，t1ZkH4 =r3Xk +S3yk +t3zk 其中，1 +2 +3 =1, $1 +$2 +S3 令上式可以表示為矩陣形式SiS2S3t1t2t3Xk=I ykIfk丿（7.21） 如果給出問題的初始值，就可以利用遞推方法，求出任一次選舉時的選民投票情況。通過求（7.21 ）式的平衡點滿足的方程組 = r1x

19、 +Si y + t1z 彳 y Fx+qy +t2Zfz =r3X +S3y + tszXk 廠 AXk解得，X* =22222,7778,10000t以下是幾個實例模擬，模型各參數(shù)均取相同值（初值出外），其中，r =0.75，2 = 0.05,3 = 0.2,S| = O.6,S2 = O.2,S3 = 0.2,右=0.4譏2 = 0.2丄3 = 0.4。我們將結(jié)果放在表7.5中，供大家參考。（1）x0, y0,z0T =2220Q7800,10000T 表 7.5（ a）012345678kABC22200 22210 22216 22219 22220 22221 22222 2222

20、2 222227800 7790 7784 7781 7780 7779 7778 7778 777810000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000（2）X0,y0,Z0T =1333313333,13333T。表 7.5 （ b）012345678kABC13333 18000 20033 21045 21580 21870 22029 22116 2216413333 11333 9833 8928 8415 8129 7971 7884 783613333 10667 10133 10027 10005 10001 10000

21、10000 10000（3）x0,y0,Z0T =10000,20000,10000t表 7.5（ C）4567820189 21104 21607 21884 22036 221209811 8896 8393 8116 7964 788010000 10000 10000 10000 10000 10000k ABC01000020000100001 21550014500100003185251147510000xo,yo,ZoT =2OOOO,2OOOO,OTkABC02000020000 01 2190001300032005010350表 7.5 ( d)4567820947 21

22、505 21825 22003 22101 221569133 8511 81797998 7899 78448000 9600 9920 9984 99979999 10000 1000022222、7778、可以驗證，當(dāng)n =16時，四組初值條件下，三個政黨的選票數(shù)將分別穩(wěn)定在10000o 進(jìn)一步借助矩陣還可以證明，當(dāng)巾=0.75,2 =0.05,3 =0.2， s0.2,s0.6,s0.2，t1 =0.4,t2 =0.2,t3 =0.4，如果總選民數(shù)為40000，最終三個政黨的選票數(shù)將分別穩(wěn)定在22222、7778、10000。我們還可以借助這個模型，分析選民數(shù)有變化的情況。7.5簡單的

23、種群增長模型假設(shè)在一個自然生態(tài)地區(qū)生長著一群鹿，在一段時間內(nèi)，鹿群的增長受資源制約的因素較小。試預(yù)測鹿群的增長趨勢如何？下面將建立一個簡單的鹿群增長模型。假設(shè)：（1）（2）（3）（4）公、母鹿占群體總數(shù)的比例大致相等，所以本模型僅考慮母鹿的增長情況； 鹿群中母鹿的數(shù)量足夠大 ，因而可近似地用實數(shù)表示；將母鹿分成兩組：一歲以下的稱為幼鹿組，其余的稱為成年組；將時間離散化，每年觀察一次，分別用xk, yk表示第k年的幼鹿數(shù)及成年鹿數(shù)，且假設(shè)各年的環(huán)境因素都是不變的 ；（5） 分別用b,b2表示兩個年齡組鹿的雌性生育率 ，用d1,d2表示其死亡率。出生率、死 亡率為常數(shù)，記S, =1ds, =1 d

24、2；（6）鹿的數(shù)量不受自然資源的影響 ；（7）剛出生的幼鹿在哺乳期的存活率為 根據(jù)以上假設(shè)，建立模型如下s，設(shè) t, = sb,t2st2 o或?qū)懗删仃囆问絏k+=tiXk +t2yklyk+qXk +S2ykk =0,1,(7.22)（Xk+、介1Wk十=16S2Ayk 丿Uk = I,Wk丿則(7.23)式可表示為UkF = AUkA=ft1&1t2S2丿(7.23)24)于是可得到A kUk = A U0(Xk ) ft1t2 ) fxo I也即(7.25)kI8!82 丿 Wo 丿其中X0,y0分別是初始時刻的幼鹿數(shù)與成年鹿數(shù)。關(guān)于xk, yk的解法假如A可以對角化，先將A對角

25、化，如不能對角化 可作如下處理，令|A-)J =0得到特征方程2 Z -(t1 +S2)A+t1S2 -t2S =0判別式 i =仙一n)2 +4t281 >0(7.26)有兩個相異的實根再，扎2® A為)，因此A可以對角化。對應(yīng)的特征向量分別,則將其化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。對于本例(7.26)特征方程 為因而Ak1 S2扎2-82 I,$181丿0式得Xk rf-f1 82f2-82北1Jk>§181丿0si代入(7.25)k/打82)才JXkS2)沖 +C2C2 82)袴-k - kI yk “8!州+ C28/Jk(k >0)(7.28)Cti=(/1_S2

26、,81)T ,02=(/2S2,Sl)T。由此得到/2 8 p-10 何 一82初 一82 (7 27)丿迪扎2丿&81丿/C10、-k!f丿a丿 (打-m訂何 8:丿匕丿也即其中Cl )_卩1 - 82C2丿飛為一8281(7.29)故解為卜,X1,X2,X3,X4；=C,(打-82)%"：,+c2("-82)S/；,(730)lAo, %2, 丫34廠=C,8A %,忑乜8, 1兀2,務(wù)，最后,我們利用(7.30)式對下面一組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，取Xo =800, yo =1000,ti =0.24,t2 =1.2,8 =O.62,S2 =0.75經(jīng)計算得r=1.39

27、446h =-0.40446將這組數(shù)據(jù)代入(7.29 )得血=0.13311|c2 =1.4789由(7.30 )式得x1,x2| =1.392, 1.829, 2.596, 3.602, 5.03, 7.011, y1, y2 川 |=1.246, 1.798, 2.482, 3.471,4.837, 6.746,模型分析該模型沒有考慮資源的限制，所以當(dāng)鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時，模型需要修正。 者可以作進(jìn)一步考慮。僅則人口的年7.6 Leslie 人口模型現(xiàn)在我們來建立一個簡單的離散的人口增長模型，借用前面提出的差分方程模型， 考慮女性人口的發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的

28、兩組， 齡結(jié)構(gòu)無法刻劃，因此必須建立一個更精確的模型。20世紀(jì)40年代提出的Leslie人口模型，就是一個預(yù)測人口按年齡組變化的離散模型。模型假設(shè)(1) 將時間離散化，假設(shè)男女人口的性別比為1:1，因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為 S歲，將其等間隔劃分成 m個年齡段(不妨假設(shè)S為 m的整數(shù)倍)，每隔S/m年觀察一次，不考慮同一時間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化。(2) 記ni (k)為第i個年齡組第k時段的女性總?cè)藬?shù)，。第i年齡組女性生育率為b (注：所謂女性生育率指生女率)，女性死亡率為di，假設(shè)b,di不隨時間變化，記n(k) =n1(k),n2(k), |，nm(k)T,Si

29、 =1-di,i =1,2,|H,m。(3) 不考慮生存空間等自然資源的制約，不考慮意外災(zāi)難等因素對人口變化的影響。模型建立與求解根據(jù)以上假設(shè)，可得到方程m門1化)=送bni(k)i =1ni十(k+1) = sni(k) i=1,2，m-1寫成矩陣形式為(7.31 )n(k+l) = L n(k)其中,L=Si0k0b2 bmj0S2n(0) =n1(0),門2(0),川,nm(0)T(7.32 )假設(shè)n(0)和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出，則n(k) =Lkn(0)k=i, 2,為了討論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長遠(yuǎn)變化趨勢，我們先給出如下兩個條件:(i) S >0,i =1,2,m,m-1(i

30、i) b >0,i =1,2川|,m，且 b不全為零。易見，對于人口模型，這兩個條件是很容易滿足的。在條件(成立的：i )、(ii )下，下面的結(jié)果是量為定理7.1L矩陣的正特征根是唯一的、單重的，若記之為/-0，則其對應(yīng)的一個特征向n* =1,S1/s，s,S2/2，lll，s,SJHSm/4mT(7.33 )定理 7.2若Z,是矩陣L的任意一個特征根，則必有 |Z,| <0。定理7.3 若L第一行中至少有兩個順次的bi，bi4 >0，則(i )右?!是矩陣L的任意一個特征根，則必有|Ai|。(ii ) lim n(k) / 篇=5k (7.34 )其中c是與n(0)有關(guān)的

31、常數(shù)。k充分大時，有定理7.1至定理7.3的證明這里省去。由定理 7.3的結(jié)論知道，kn(k)s：c0 n*(7.35)定理7.4記Pj -bQSzHISj , q仏)=陽幾+每/廠+Pm/k :則幾是L的非零 特征根的充分必要條件為q® =1( 7.36 )所以當(dāng)時間充分大時，女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個年齡組的人口數(shù)近似地按幾1的比例增長。由(7.35 )式可得到如下結(jié)論：當(dāng)幾>1時，人口數(shù)最終是遞增的；當(dāng)幾d時，人口數(shù)最終是遞減的；當(dāng)幾=1時，人口數(shù)是穩(wěn)定的。(i)(ii)(iii)根據(jù)(7.36 )式，如果幾=1,則有b +b2S

32、+ dSW +H| + bmS,S2lllSm4 =1F面考慮在任給一個初始年齡分布向量n(0) =n1(0), n2(0)，U|,nm(0)T 后 ,怎樣確 定R+b2S +b3SS2 +lil + bmSS2li|Sm(7.37 )R的實際含義是平均每個婦女一生中所生女孩數(shù)。當(dāng) 遞減。Leslie模型有著廣泛的應(yīng)用，這里我們給出幾個應(yīng)用的例子，供讀者參考。R1時，人口遞增；當(dāng) Rv1時，人口動物種群管理隨著種群數(shù)量的增長，由于受食物、生存空間等自然資源的制約，種群的總量不能無限制地增長，增長比例會逐漸減小。而且讓動物群體自然地增長，而不去捕獲它，也會造成一種資源的浪費(fèi)，但是過度的捕獲會導(dǎo)致

33、動物種群趨于滅絕。那么我們應(yīng)該采取怎樣的捕獲策略 呢？現(xiàn)在我們來考慮一個牧場或飼養(yǎng)場的一個動物種群的飼養(yǎng) 是希望盡可能多的飼養(yǎng)動物，但是，不妨假設(shè)動物的數(shù)量在牧場規(guī)模許可的范圍內(nèi)時， 的增長不構(gòu)成較大的制約。下面我們將給出一個持續(xù)穩(wěn)定的屠宰方案 設(shè)每次屠宰都在生育期和哺乳期之后進(jìn)行 屠宰后的數(shù)量相同。類似于,從經(jīng)濟(jì)的角度出發(fā)，我們總?cè)绻曫B(yǎng)的動物太多的話，牧場的條件又不許可。我們其食物、生存空間等自然因素對動物群體,進(jìn)行周期的屠宰。假,每次屠宰數(shù)量相同，屠宰后的動物數(shù)量與上一次Leslie模型,我們僅考慮雌性動物數(shù)量的變化。仍然采用前面的一些記號,且假設(shè)第i個年齡組的動物按 h的比例屠宰，稱其

34、為第i組的屠宰率,并稱矩陣H=diag(hi,h2,，hm)為屠宰矩陣。則各組的動物屠宰數(shù)量可用向量HLn (k)表示。根據(jù)持續(xù)屠宰策略的要求得到方程Ln (k)-HL n(k) = n(k)(7.38)上式表明n(k)是矩陣L-HL的特征值為1所對應(yīng)的特征向量。 容易算出L-HL=(1-hi)bi(1 -h2 )S1(1-h1)b2 (1h1)bm_100(1h3)S2 匕匕(1-h1)bm'00(7.39)(1 hm )Sm4從上式可以看出，矩陣L-HL也是0Leslie矩陣，因此該矩陣有正特征根/1的充要條件為(1-h1)b1 +b2S(1-h2)+4ss2(1-h2)(1-h3

35、)+lll巾mSS2 )HSm4(1-b)(1 -b)lll(1-hm4) =1(7.40)該式表明，如果h,h2,lil,hm滿足(7.40)式，就能保證種群數(shù)量的穩(wěn)定,此時對應(yīng)的一個特征向量為1Si(1-h2)s,S2(1 -h2)(1 -h3)HIIHLS1S2illSm4(1-h2)(1-h3)lil(1-hmL(7.41)hi,i=1,2，H),m，才能獲得持續(xù)穩(wěn)定的收獲策略。根據(jù)(7.40)式，令an * = n(0)解得因此要使解出的據(jù)此得到定理a = n 1(0)(1-h)si,0)=ni(0),i=2,3,M,mfmI 1h =n1(0)/5：bi ni(0)-h =n i(

36、0)/s 丄ni丄(0),i =2,3,|,m(7.42)(7.43)hi滿足0 < h <1,根據(jù)(7.43)式,只要初始年齡分布向量滿足rm廬 bin(0)>n1(0) isi(0) Ani(0),i =2,3|,m7.5設(shè)n(0) =n1(0), n2(0), IH,門証0)丁是一個初始年齡分布向量，如果n(0)的分量滿足m(7.44)2 bni(0) >n1(0)iSdiv(O) >ni(O),i =2,3,lli,m則可以唯一確定一組h , i =1,2,，m,其中Lm0 =1-5(0)/送 bni(0)(7.45)!irnhi =1-ni(0)/sx

37、ni*0),i =2,3，川,m,滿足方程(L -HL)n(0) = n(0)其中，L是Leslie矩陣，H為屠宰矩陣。最優(yōu)年齡分布向量的確定從定理7.5可知,任意給定一組初始年齡分布向量，可以唯一確定一組hi。(7.不同的初始年齡向量分布所確定的屠宰矩陣是不一樣的。下面考慮怎樣的初始年齡分布向量，可使屠宰數(shù)量最大。也就是說，當(dāng)動物總數(shù)控制在某一范圍內(nèi)時，使每年的屠宰的數(shù)量為最大。假設(shè)動物群體的規(guī)模為N,即當(dāng)動物總數(shù)不超過 N時,動物群體的增長幾乎不受環(huán)境因素的制約。設(shè)初始年齡分布向量n(O)=n1(O),門2(0),|卄，nm(0)T,則在下一次屠宰前,年齡 分布向量為mLn(0) =2 b

38、ni(0),Sini(0), S2n2(0),川爺_1門心(0) Ti 4由于動物的總數(shù)不能超過N ,即mmZ bni(0) +2 Sini(0) <Ni4y這里取 為=0,各組動物的屠宰量可以由向量Ln (0) - n(0)唯一確定，即HLn (0) =Ln(0) _ n(0)屠宰總數(shù)M為(7.46)mmmMbni(0)sni(0) -£ n (0)i 壬iy最優(yōu)年齡分布向量問題歸結(jié)為如下線性規(guī)劃問題mmaxS (bi +s -1)ni(0)i呂m(7.47)Z bn (0) >口(0)*i is。)>ni(0),i =2,3，川，mm2 (b +S)ni(0)

39、<N.i壬此處我們不打算介紹線性規(guī)劃問題的解法，有興趣的讀者可以參閱文獻(xiàn)15。7.7差分形式阻滯增長模型我們在前面介紹的都是線性差分方程模型，對這類方程的求解與穩(wěn)定性分析是比較容易的。下面介紹的模型涉及非線性差分方程，對于一般的非線性差分方程，求解與穩(wěn)定性分析都是比較困難的，通常需要借助計算機(jī)給出數(shù)值解。本節(jié)我們通過一個例子說明，非線性差分方程具有線性差分方程所沒有的一些有趣的性質(zhì)，比如，周期分支，混沌現(xiàn)象等。在第六章中，我們曾用微分方程形式的Logistic模型來描述種群增長，即通常用離散化的時間來研究會覺得更加方便，也能更好地利通常人們對動物種群的觀測也是定期進(jìn)7.48）離散化得到V

40、kyk+-yryk()nN m=12川(7.49)b=1+r,Xk =i7k/(1+r)Nm,f(x) =bx(1-x)(7.50)則（7.49）式可以簡化為Xt =bxk(1-Xk) = f (Xk) k =1,2,111(7.51)上式是一階非線性差分方程。在實際應(yīng)用中通常沒有必要找出該方程的一般解,因為給定初值后利用計算機(jī)就可以方便地遞推出Xk。(7.48)j（1丄）dtNm但是，我們在處理實際問題時， 用觀測資料。例如有些生物每年在固定的時間繁殖, 行的。于是需要阻滯增長的離散模型。將方程（事實上，在應(yīng)用差分形式的阻滯增長模型（7.49）或者（7.51 ）時，人們最關(guān)心的是kT比 時y

41、k或者xk的收斂情況，即差分方程平衡點的穩(wěn)定性問題。方程（7.48）有兩個平衡點，yo=O,y*=Nm。y。=0是不穩(wěn)定的平衡點，y* = Nm是穩(wěn)定的 平衡點，即不論r（>0）和Nm（0）取什么值都有：當(dāng)kT比時，方程的解y（k）T Nm。那么該方程的差分形式的方程（7.51）是否也有同樣的性質(zhì)呢？下面的分析將會看到，情況并 不完全一樣。對于差分方程（7.51 ），因為r：>0,所以bR。為了求（7.51）式的平衡點，令X = f（X）=bx（1 -x）容易得到其平衡點為X0 =0,x* =1 _1/b，非零平衡點X*所對應(yīng)的就是（7.48）式的非零平衡(7.52)點N*。為了分

42、析X*的穩(wěn)定性，我們考慮（7.51）的局部線性化方程Xk41 = f '（X*）（Xk - X*） +f（X*）關(guān)于x*的局部穩(wěn)定性有如下結(jié)論：定理7.6 若I f'（x*） IV1，x*是方程（7.52）的穩(wěn)定平衡點，也是方程（7.51）的穩(wěn)定 平衡點；若I f'（x*） >1，x*是方程（7.52）的不穩(wěn)定平衡點，也是方程（7.51）的不穩(wěn)定平衡點。因此I f '（X*） |=1在分析方程穩(wěn)定性的過程中具有重要作用。由I f'（x*） |=1，容易得到b=3。根據(jù)定理7.6,我們有：當(dāng)1 <b<3時，（7.51 ）式所給出的非零平衡

43、點 X*與（7.48）式所給出的非零平衡點的穩(wěn)定性是相同的，即都是穩(wěn)定的，但是當(dāng)b >3時，（7.51）式給出的平衡點是不穩(wěn)定的，而（7.48）式 給出的平衡點仍然是穩(wěn)定的，兩者的穩(wěn)定性并不相同。雖然1<b<：3時，方程（7.51）的非零平衡點X*是穩(wěn)定的,即滿足任意非零初值的解都收 斂到X*,但是對不同的b值，其解的收斂形式是不一樣的。圖7.2分別給出了不同b值的兩種收斂形式。0.4O 350.3O 25200400eoob=2 5O 壬、乂=0.450.£i0 560.65口10DD 1 aJD圖7.2 1 cb cB方程（7.51）有穩(wěn)定平衡點對于1cbc2，當(dāng)初值Xo（O,x*）時，Xk關(guān)于k是單調(diào)遞增趨向X*的，當(dāng)Xo5x*,1）時,經(jīng)過有限次迭代，Xk的值就滿足Xk（O,x*），以后的Xk值關(guān)于k單調(diào)遞增趨向X*。對于2：b：3，可以得到經(jīng)過有限次的迭代后，兀的值就將會在X*的左右跳動,表現(xiàn)為種群數(shù)圍繞著X*呈衰退狀的上下振動。圖7.3給出了非零平衡點不穩(wěn)定的情況，即b3的情況。3方程（7.51）平衡點不穩(wěn)定圖 7.3