排列組合插板法、插空法、捆綁法

1、WORD格式專業(yè)資料整理排列組合問(wèn)題插板法（ 分組） 、插空法（不相鄰）、捆綁法（相鄰）插板法（ m為空的數(shù)量）基本題型】有 n 個(gè)相同的元素，要求分到不同的m組中，且每組至少有一個(gè)元素，問(wèn)有多少種分法？隙圖中，“設(shè)想”表在示這幾相同個(gè)空的隙名中額插，入六塊“擋板”，“則”表將示這名額10間 個(gè)形名成額的分空割、三、 ?七個(gè)部分所包含的名額數(shù)分給第一、個(gè)部分，將第一、一種插法恰好對(duì)應(yīng)了10個(gè)名額的一種分配方法，反之，名額的一種分配方法也決定了檔板的一種插法，即 擋板的插法種數(shù)與名額的分配方法種數(shù)是相等的，【總結(jié)】?七所學(xué)校，則“擋板”的需滿足條件： n 個(gè)相同元素，不同個(gè)m組，每組至少有一個(gè)元

2、素，則只需在 n 個(gè)元素的n-1 個(gè)間隙中放置m-1塊隔板把它隔成m份即可, 共有種不同方法注意：這樣對(duì)于很多的問(wèn)題，是不能直接利用插板法解題的。但，可以通過(guò)一定的轉(zhuǎn)變，將其變成符 合上面 3 個(gè)條件的問(wèn)題， 這樣就可以利用插板法解決，并且常常會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果。插板法就是在 n 個(gè)元素間的（ n-1 ）個(gè)空中插入若干個(gè)（ b ） 個(gè)板,可以把 n個(gè)元素分成（ b+1）組的方法 .應(yīng)用插板法必須滿足三個(gè)條件：（ 1）這 n 個(gè)元素必須互不相異（ 2）所分成的每一組至少分得一個(gè)元素（3） 分成的組別彼此相異舉個(gè)很普通的例子來(lái)說(shuō)明把 10 個(gè)相同的小球放入 3 個(gè)不同的箱子 , 每個(gè)箱子至少一個(gè)

3、 , 問(wèn)有幾種情況 ?問(wèn)題的題干滿足條件（ 1）（ 2）,適用插板法 ,c92=36下面通過(guò)幾道題目介紹下插板法的應(yīng)用e 二次插板法例 8 ：在一張節(jié)目單中原有 6 個(gè)節(jié)目 , 若保持這些節(jié)目相對(duì)次序不變 , 再添加 3 個(gè)節(jié)目 , 共有幾 ? 種情況-o-o-o-o-o-o- 三個(gè)節(jié)目 abc可以用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位,再用第二個(gè)節(jié)目去插 8 個(gè)空位,用最后個(gè)節(jié)目去插 9 個(gè)空位所以一共是 c71 c81 c91=504 種【基本解題思路】將 n 個(gè)相同的元素排成一行， n個(gè)元素之間出現(xiàn)了（ n-1）個(gè)空檔，現(xiàn)在我們用（ m-1）個(gè)“檔板”插 入（ n-1 ）個(gè)空檔中，就把 n 個(gè)元素隔成有

4、序的m份，每個(gè)組依次按組序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)元素（可能是1 個(gè)、2個(gè)、3 個(gè)、4個(gè)、? . ，）這樣不同的插入辦法就對(duì)應(yīng)著n個(gè)相同的元素分到 m組的一種分法，這種借助于這樣的虛擬“檔板”分配元素的方法稱之為插板法?！净绢}型例 題】 【例 1】共有 10 完全相同的球分解析：我們可以 將9 個(gè)空隙中，就 “把 個(gè)、2個(gè)、3 個(gè)、4到 7 個(gè)班里，每個(gè)班至少要分到一個(gè)球，問(wèn)有幾種不同分法？10 個(gè)相同的球排成一10 個(gè)球之間出9 個(gè)空隙，現(xiàn)在我們用 6 個(gè)檔板”插行，現(xiàn)了入這份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可10 個(gè)球隔成有序的 7 能是1個(gè)），這樣，借助于虛擬“檔板”就可以把

5、10 個(gè)球分到了 7 個(gè)班中?；绢}型的變形（一）】題型：有 n 個(gè)相同的元素，要求分到 m組中，問(wèn)有多少種不同的分法？解題思路：這種問(wèn)題是允許有些組中分到的元素為“0”，也就是組中可以為空的。對(duì)于這樣的題，我們就首就先將每組都填上m個(gè)，問(wèn)題也就是轉(zhuǎn)變成將（1個(gè)，這樣所要元素總數(shù)n+m ）到個(gè)元素分 m組，并且每組至少分到一個(gè)的問(wèn)題，也就可以用插板法來(lái)解決?！纠?2】有 8 個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有（） 種不同方法8+ 1=1 ，此題就 C，2) =451 有( 10A35B28C21D45解答：題目允許盒子有空， 則需要每個(gè)組添 加1 個(gè)，則球的總數(shù)為（種）分法了，選項(xiàng) D為正確

6、答案?！净绢}型的變形（二） 】s，各組分到的不是至少為一個(gè) 對(duì)于這 了。 樣 s 那么多個(gè)，這樣就滿足了題目中要求 的最題型：有 n 個(gè)相同的元素，要求分到 m組，要求各組中分到的元素至少某個(gè)確定值 S（s1，且每 組的 s 值可以不同），問(wèn)有多少種不同的分法？ 解題思路：這種問(wèn)題是要求組中分到的元素不能少某個(gè) 確定值的題，我們就首先將各組都填滿，即各組就填上對(duì)應(yīng)的 確定值 起碼的條件，之后我們?cè)俜质Ｏ碌那?。這樣這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦嫖覀兲岬降淖冃危ㄒ唬?的問(wèn)題了，我們也就可以用插板法來(lái)解決?！纠?3】15 個(gè)相同的球放入編號(hào) 1、2、3 的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，有幾種不同 為 的放法

7、？1：至少個(gè)，符合要求。2：至少 個(gè)：需預(yù)先添加 編號(hào) 3：至少 個(gè)，需預(yù)先添 3 則球總數(shù) 15-1-2=12 個(gè)放進(jìn) 3 個(gè)盒子里 所以 C（11，2）=55 （種）解析：編號(hào)1加 2 個(gè)，才能滿足條件，后面添加一個(gè)，則總數(shù) -2例】10 個(gè)學(xué)生中，男女生各有 5人，選 4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。1）至少有一名女生的選法種數(shù)為 。2）A、B 兩人中最多只有一人參加的選法種數(shù)為 解法 1：10 名中選 4 名代表的選法的選解法 2：選 1女生時(shí)，選 2個(gè)女生時(shí)，4C10, 排除 4 名參賽全是男生：C54 個(gè)女生時(shí)的選法，分別相3、4 加（排除法） C10 4C 54=205（2010 年國(guó)考真題）

8、某單位訂 30 份學(xué)習(xí)材料發(fā)3 個(gè)部門，每個(gè)部門至少9 份材料。問(wèn)閱了放給發(fā)放 一共有多少種不同的發(fā)放方法？（）A.7B.9C.1 D.120解析：每個(gè)部門先放 8 個(gè)，后面就至少放一個(gè)，三個(gè)部門 則要先放入這三個(gè)部門，且每個(gè)部門至少發(fā)放 1 份，則 C （5,2 ）=1083=2 份，還剩4 下30-24=6份放來(lái)插空法插空法就是對(duì)于解決某幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙或兩端位置。首要特點(diǎn)就是不相鄰。下面舉例說(shuō)明。. 數(shù)字問(wèn)題例】把 1，2，3，4，5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字 1， 2 不相鄰的五位數(shù)，則所有不同排法有多少種？解析：本題直

9、接解答較為麻煩，因?yàn)榭上葘?， 4， 5 三個(gè)元素排定，共有種排法，然后再將1，2 插入四個(gè)空位共有 種排法，故由乘法原理得，所有不同的五位數(shù)有二 . 節(jié)目單問(wèn)題【例】在一張節(jié)目單中原有六個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三 個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？解析： -o-o-o-o-o-o- 六個(gè)節(jié)目算上前后共有 那么加上的第一個(gè)節(jié)目則有 種方法；此七個(gè)空位，時(shí)有七個(gè)節(jié)目，再用第二個(gè)節(jié)目去插八個(gè)空位有 九個(gè)空種方法；此時(shí)有八個(gè)節(jié)目，位有 種方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法為：. 關(guān)燈問(wèn)題【例】一條馬路上有編號(hào) 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九盞路燈，為了節(jié)約

10、用電，可以把其中的三盞燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？解析：如果直接解答須分類討論，故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插七個(gè)空位（用不亮的 3 盞燈去插剩下亮的 同的關(guān)燈方法為6 盞燈空位，就有 7 個(gè)空位）共有 種方法，四. 停車問(wèn)題【例】停車場(chǎng)劃出 12 個(gè)停車位置，今有 8 輛車需要停放，要求空位置 ，不同的停車方法有多少 一排 連在一起種？解析：先排8 輛車種方法，要求空位置連在一起4 個(gè)空位在一起，來(lái)8 輛車，9 個(gè)空位好有（剩下插入有可以插），將空位置插入其 種方法。所以共有 種方法。 中有五. 座位問(wèn)題【例】 3 個(gè)人坐在 8

11、 個(gè)椅子上，若每個(gè)人左右兩邊都，則坐法的種類有多少種？一排 有空位解法：先拿 5 個(gè)椅子排成一排， 5 個(gè)椅子中間 4 個(gè)空，再 3 個(gè)人每人帶一把椅子去插空，于是 出 在出現(xiàn)讓有種。捆綁法解答：根據(jù)題目要求，則其中一個(gè)盒子必須得放2 ，這個(gè)整體和球看成一個(gè)整體，則有 C62 下2 個(gè)，其他每個(gè)盒子放 1 個(gè)球，所以 從64 個(gè)球放入 5 個(gè)盒子里，則有A55。是方法個(gè)球中挑 出C62A552個(gè)排列組合中的解題方法之插板法、基礎(chǔ)理論：插板是一個(gè)無(wú)形的東西即板子，它不能代表一個(gè)元素，它區(qū)別于插空法。插板法是用于解決“相 同元素”分組問(wèn)題。判斷插板法的題目主要看題干中的兩個(gè)詞語(yǔ)：相同元素 至少為

12、1，如果有 這樣兩個(gè)詞 語(yǔ)一般此題就可以直接插板進(jìn)行解題。引例說(shuō)明：春節(jié)前單位慰問(wèn)困難職工，將 10 份相同的慰問(wèn)品分給 6 名 職工，每名職工至少要分得 1份慰問(wèn)品，分配方法共有：A.84 種 B.126 種 C.210 種 D.252 種 【分析】此題第一眼給人的感覺(jué)是能用列舉法進(jìn)行分類解題，但是細(xì)一思考分類的情況太多了， 不易計(jì)算，因?yàn)橄胗貌灏宸ń忸}一般是分兩類或三類。而插板法就可以使這種為題迎刃而解。利用無(wú)形的 板子 把其分割開來(lái)。【解析】“ 10 份慰問(wèn)品相同且每人至少得 滿足插板法的兩個(gè)前提相同元素至少為可直接使用插板法。將 10 份慰問(wèn)品依次排成一條直線， 我們用插板的形式把慰問(wèn)

13、品分給6 名職工，中間形成9 個(gè)空，插上第1個(gè)板子，則第一個(gè)板子之前的分給第一名職工，在后面又插了一個(gè)板子，表示第1 個(gè)板子和第 2 個(gè)板子之間的分給第二名職工，依次類推，因?yàn)橐纸o6個(gè)人，所以要插 5個(gè)板子，第 5 個(gè)板子之后的分給第六名職工，所以只要板子固定了，那么每名職工分幾份慰問(wèn)品就固定了。所以 10分慰問(wèn)品中間形成了9個(gè)空; 分給 6個(gè)人，插入 5 個(gè)板; 共有=126種分配方法。注子：。估計(jì)有的同學(xué)會(huì)問(wèn)，為什么第一個(gè)慰問(wèn)品之前的位置和最后一個(gè)慰問(wèn)品之后的位置不能放板其實(shí)原因在于“每名員工至少分1 份慰問(wèn)品”，如果在第一個(gè)慰問(wèn)品之前的位置放板子那么第一名職工就 一份分不到了，如果在最

14、后一個(gè)慰問(wèn)品之后的位置放板子那么最后一名職工就一份分不到了。x+y+z=36，則共有多少組、真題舉例：例 1、假設(shè) x、y、 z 是三個(gè)非零自然數(shù)，且有 滿足條件的解A.700B.665C.630D.595【分析】此題可以看做是 36 塊糖排成一排，即元素相同 ; 由于 x、y、 z 是非零自然數(shù)，即至少為 1，問(wèn)題： x+y+z=36 ，順便看成3 個(gè)人來(lái)分這 36 塊糖。滿足插板法應(yīng)用條件?！窘馕觥扛鶕?jù)題意， 36 塊糖內(nèi)部形成 分給三個(gè)人，需要插兩個(gè)板子，故有35 個(gè)空位，=595 種，而一種分法對(duì)應(yīng)著一組解，如有 595 組解。因此，選x=1，y=1，z=34，就是一組解。共D。例 2

15、、將 10 本沒(méi)有區(qū)別的圖書分到編號(hào)為 1、2、3 的圖書館，要求每個(gè)圖書館分得圖書數(shù)量不小于其編號(hào)數(shù)，問(wèn)共有多少種不同的分法 ?()A.12B.15C.30D.45分析】根據(jù)題意，“ 本 10 沒(méi)有區(qū)別的圖書”即相同元素，“要求每個(gè)圖書館分得分圖書兩數(shù)本量，不小于其編號(hào)數(shù)“即3號(hào)圖書館至少分1號(hào)圖書館至少分1 本，2 號(hào)圖書館至少3本，分析完題意之后發(fā)現(xiàn)似乎不滿足插板法的前提條件至少為1，類似的這種題目我們只需要適當(dāng)變形就可利用插板法解題。解析】 1 號(hào)圖書館至少分 1本，已經(jīng)滿足至少為 1，不用變形。而 2 號(hào)圖書館至少分兩本，所以可從 10 本中取出一本先給2 號(hào)圖書館。而從 10 本中

16、取出兩本書給33號(hào)號(hào)圖圖書書館至少分3 本，可以館，所以在給出一本和兩本，那么還剩下本書就可以滿7 本，現(xiàn)在 1 號(hào)，2號(hào)，3 號(hào)圖書館至少在發(fā)放一足了，那么此時(shí)就可以用插板法解題。所以答案是 =15 小結(jié)：題目中一般有相同元素，至少為什么，此題都可用插板法解題，所以大家要不斷熟悉插板法 的應(yīng)用。三、插板法和列舉法的對(duì)比例 3、10 個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問(wèn)有多少種不同的分配方法?3 個(gè)部門，每個(gè)部門至少【插板法】 3 個(gè)部門每個(gè)部門先發(fā) 計(jì)算：8 份，讓其滿足插板法， 20-8 3=6 ，A.34 種 B.36 種 C.40 種 D.42 種 【答案】B【列舉法】先每個(gè)班級(jí)分一個(gè)名額， 然后剩下兩個(gè)名額，如果兩個(gè)名額分到一個(gè)班級(jí)里 面則有如果兩個(gè)名額分到兩個(gè)班級(jí)里面則有 種分法，則共有 8+28=36.【插板法】 10個(gè)名額 9 個(gè)空，插入 7 個(gè)板，共有 種分配方法。例 4 、某單位訂