幾何與線性代數(shù)習(xí)題集冊

1、一、填空題姓名下列等式何時(shí)成立:IIIIIIII習(xí)題，當(dāng)幾何向量及其運(yùn)算學(xué)號班級為非零向量)，當(dāng)IIII指出下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān):不平行， , 是,共面， , 是,不共面， , 是;關(guān)于在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M(2,3,5)關(guān)于關(guān)于yoz平面的對稱點(diǎn)是原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是；關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)是；在xoy平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是；在y軸上的投影點(diǎn)是；到y(tǒng)oz平面的距離；到原點(diǎn)的距離是；到x軸的距離是uuu uuu.二、設(shè)OA, OB , P為線段AB上任一點(diǎn)，證明存在數(shù)，使得0P (1)三、已知向量e1e2, e2es,eie3，證明共面。四、判斷題1 .若，且,共面的充分必要條件是IIsin

2、五、填空題I III1 .已知向量和的夾角3,I 4，則；3) (3)=2 已知AB2 , AD，其中丨 II 5,11 I 3,6，則三角形ABD的面六、已知 II II 1 I 2,。問1)為何值時(shí)，與平行;2) 為何值時(shí),垂直。七、已知與垂直，且3,14，計(jì)算：(提示:.)1)1()2)11() ()1 ；3)I (3) (2 )11。習(xí)題二 向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)計(jì)算一、填空題1 .平行于2 .向量3 .向量姓名學(xué)號班級y軸的向量一般表示式是(3,1,4),(2, 1,1)，它們的夾角(2,3,t1),(t2, 6,2)，當(dāng) t1 =時(shí)， 與平行。LTUUU4 設(shè)三力F1(1, 1,0)，

3、F2(0,3,1)，F(xiàn)3( 1, 2,1)作用于一質(zhì)點(diǎn)，使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移向U量S i 2j k，則合力所做的功W5.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,0,0),B(1,0,2), C(0,1,0)，其面積 S6 .和向量i 3j k, 2ij k都垂直的單位向量是二、已知向量(3,5,1)，求的方向余弦及與 平行的單位向量。三、證明向量在上的投影向量為，并求向量 (2,3,1)在向量 (1, 2,2)上的投影向量。五、設(shè) (1,0,0),(2,2,1),向量,共面，且 Proj Proj3,求。所作的平行六面體體積。習(xí)題三平面與直線是O姓名學(xué)號班級一、填空題 1.平行于平面5x 14y 2z 36 0

4、且與此平面的距離為 3的平面方程2.如果平面ax 2ay 10z20與x 2y 5z 0平行，則a若垂直，則a3 .過三點(diǎn) A(1,0,0), B(1,1,0),C(1,1,1)的平面方程是4 .過x軸且垂直于平面 5x y3z 30的平面方程是點(diǎn)A(2,3,1)到平面x y z10的距離是通過點(diǎn) A(1, 5,1)和 B(3, 2,12)且平行于y軸的平面方程為過點(diǎn)Mi(2,3, 1)和M2( 1,0,3)的直線方程是X 1z 2過點(diǎn)M( 2,1,3)且垂直于直線y一的平面方程是過點(diǎn)M(0, 1,3)且垂直于平面3x 2y z 90的直線方程是M點(diǎn)在此平面上的投影點(diǎn)坐標(biāo)是;M點(diǎn)關(guān)于此平面的對

5、稱點(diǎn)坐標(biāo)是二、求滿足下列條件的平面方程1.過原點(diǎn)引平面的垂線，垂足是點(diǎn)M (1,2,1)的平面方程。2 通過點(diǎn)A(2, 1,3)且平行于向量(1, 2,1)及(0,3, 4)的平面方程。雋z的平面方程。X 4三、求過點(diǎn)(3,1, 2)且通過直線 亠二5的距離。X y z四、求點(diǎn)(3, 1,2)到直線2X y z 40x4vz1 x3v2z2五、求兩異面直線l1:二4-;12: 飛2之間的距離。習(xí)題四 線性方程組姓名學(xué)號xi 2x2 X3用加減消元法求解下列線性方程組1)2xi4X2X3Xi 2x2 2x300.0班級1x1 2x2 x332)2為 4x2 5x3x-i 2x2 2x3x1 x2

6、 3x32二、對非齊次線性方程組xi 2x2 4x3 3，當(dāng)a, b為何值時(shí)無解？何值時(shí)有無窮多解?Xj 3x2 ax3 b三、液態(tài)苯在空氣中可以燃燒。如果將一個(gè)冷的物體直接放在燃燒的苯上部，則水蒸氣就會(huì)在物體上凝結(jié)，同時(shí)煙灰（碳）也會(huì)在物體上沉積.這個(gè)化學(xué)反應(yīng)的方程式為XiC6 H 6X2O2X3CX4H 2。求變量Xi,X2, X3, X4以配平該方程。習(xí)題五矩陣的運(yùn)算姓名學(xué)號班級一、填空題1.設(shè)A 1(B E)，則當(dāng)且僅當(dāng)B2時(shí)，A23 .設(shè)Ac1 1/3，則cd時(shí)，A2二、設(shè)(2,1,3),（1,2,3），計(jì)算：AT及A4 （ k為正整數(shù)）。（提示：用矩陣乘法的結(jié)合律 A2(T )(

7、T ) T( T) BA)1三、設(shè)A123，B1 0 ,驗(yàn)證(1)AB BA; (2)( A B)2 A 2AB B2 是否成立?1 2四、若A, B滿足AB1 1BA，則稱B和A可交換。設(shè) A,求所有與A可交換的矩陣。0 1五、設(shè)f(X)X2 Xf (A)為方陣A的多項(xiàng)式，即f (A) A2 A 2E，若，計(jì)算f(A)。六、把向量方程1x-i021x2 13X330改寫成方程組的形式和矩陣乘積的形式。2姓名習(xí)題六對稱矩陣與分塊矩陣學(xué)號班級、1)設(shè)A、B為n階方陣，且 A為對稱矩陣，證明 BtAB也是對稱矩陣。AB BA。設(shè)A、B均為n階對稱矩陣，證明 AB是對稱矩陣的充分必要條件是TT2二、

8、設(shè)為n維列向量，且1，設(shè)a E 2,證明a是對稱矩陣且 a E.三、設(shè) A 1 a，計(jì)算 A2,A3, Ak。0 11四、設(shè)A20 21 1，B11 ，按照不同的分塊方式計(jì)算乘積 AB :0 1（1） A不分塊,B按列分塊；（2） A按行分塊，B不分塊；（3） A按行分塊，B按列分塊。姓名、填空題1 .設(shè)2 .設(shè)習(xí)題七 行列式的性質(zhì)與計(jì)算學(xué)號班級ai2ai3333133323333a22a232，則2a2123222323332333311312313aiia21a3ib 0二、選擇題0,則a1 .設(shè)A為n階方陣，若A經(jīng)過若干次初等變換變成矩陣B，則下面的結(jié)論正確的是（）。(1 )(A) |A

9、| |B| ；(B)若 |A|0,則必有I B |(C) |A| |B| ；(D)若|A|0,則必有| B |2 .若A, B為同階方陣,則有（kk k(A) (AB)k AkBk ；(B)AB| |AB| ;(D)|A B| |A|B|o2 2(C) E (AB) (E AB)(E AB);三、計(jì)算下列行列式:2443abaeae1621beedde(2)3520bfefef41203 Dn（提示：按一行或一列展開，求遞推公式）四、用數(shù)學(xué)歸納法證明:Dn、填充題cos2cos習(xí)題八cosn2cos2cos姓名學(xué)號逆矩陣班級1 .設(shè)A為3階方陣，且 A2，則 2A 1A(A) A O 或 B

10、O ;(B) |A|= 0 或 |B|= 0 ;* *(A)(A) 13A 12AA1，則A* 1則(A ) 1A, B分別是m階和n階可逆矩陣，C為m n陣，則13，且 A6E，則 A11二、選擇題1 設(shè)n階方陣A, B,C滿足BCA E，則下面的結(jié)論正確的是(A) ACB E ; (B) CBA E ; (C)CABE ; (D) BAC2 .設(shè)A, B為n階方陣，則 (A)若A, B都可逆，則 A B必可逆;(B)若A, B都不可逆,B必不可逆;(C)若AB可逆，則A, B都可逆;(D)若AB不可逆，則A, B都不可逆。3 已知A為n階方陣，若有n階方陣B使ABBA A 則(A) B為單

11、位矩陣；(B) B為零方陣；(C) B1 A ; ( D)不一定。4 .若A,B為同階方陣，且滿足 AB O，則有()(C) (A B)2 A2B2;(D) A與B均可逆;三、求下列矩陣的逆矩陣(1 ) 21四、解矩陣方程3 0、設(shè)矩陣A，B滿足如下關(guān)系式AB A 2B，其中A 2 3，求矩陣B。三、設(shè)n階方陣A滿足方程A 3A 2E 0，求A 1,( A E) 1。X1x2x30四、用克萊姆法則求解線性方程組4xi 2x2 X339x1 3x2 x328姓名習(xí)題秩與初等變換學(xué)號班級一、選擇題 1 .若A是n階可逆矩陣，則（A）若AB CB，則A C（B）A總可以經(jīng)過初等行變換化（C）對矩陣（

12、A E）實(shí)施若干次初等變換，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，相應(yīng)地正變?yōu)?A 1。(D)對矩陣實(shí)施若干次初等變換，當(dāng)EA變成E時(shí),相應(yīng)地變?yōu)閍11a12a13a21a22a232 .設(shè) A a21a22a23,Ba11a12a13a31a32a33a：31a11a32a12a33a1301 0100P110 0,P2010 ,則恒有()00 1101(A) AP1P2B(B)AP2P1B(C) RF2AB(D) P2RAB設(shè)A,B均為n階非零矩陣,且ABO，則 R(A)和 R(B)滿足(A)必有一個(gè)等于零;(B)都等于(C)一個(gè)小于n, 個(gè)等于n;(D)都小于n階矩陣A的秩為r，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(A)A有r

13、階子式非零;(B) A的所有r+1階子式為零;(C)A沒有r階子式為零;(D) R( A) min m, n。方程組A3 5X510必(A)無解;僅有零解;(C)有非零解;以上都不對。二、填空題10a1b1a2b2a3fc3C1C23矩陣,r(A) 3,B11100 ,則r(AB)5qdabaRna2t1a2b2a2bnandanb2anbn3 .如A且滿足，其中 ai,bj0，i,j 1,2, ,n，則 r(A) =4 .設(shè)A為3階方陣,A2 AE，貝y R(A E)a5.已知矩陣A1的秩是1,三、用初等變換求矩陣四、用行初等變換求矩陣1的秩并給出A的一個(gè)最高階非零子式。的逆矩陣條件為|A|

14、O姓名習(xí)題方程組解的判斷學(xué)號班級、填空題 1.設(shè)A是m n矩陣，則齊次線性方程組 AX 0只有零解的充要條件，有非零解的充要條件是2 .設(shè)A是m n矩陣，則非齊次線性方程組 AX b有唯一解的充要條件，有無窮多解的充要條件是無解的充要條件是 3.設(shè)A為n階方陣，則非齊次方程組 AX b有唯一解的充要條件為|A|齊次線性方程組AX 0有非零解的充要條件為|A|;只有零解的充要2X4X50x1 2X2二、求解線性方程組x1 2x2 x3 x4x1 2x2 3x3 7x4 2x50axi X2 X30三、a, b取何值時(shí)，方程組x1 bx2 x3 0有非零解。Xi 2bx2 X30XiX2X33四、

15、設(shè)有非齊次線性方程組XiX2X3為何值時(shí)，此方程組有唯一解、無解或無窮多解?XiX2X3、填空題1 .設(shè)2 .設(shè)姓名習(xí)題線性相關(guān)與線性無關(guān)學(xué)號班級,r線性無關(guān)，則它的任何一個(gè)部分組線性,r線性相關(guān)，則1 , r , r 1 , s 線性3.設(shè)有m維列向量組1,2, n ,記矩陣A (1 , 2 , n)，則1, 2, n線性相關(guān)的充分必要條件是（用矩陣的秩表示）。4 .若向量組1(t, 1, 1),2( 1,t, 1),3（ 1, 1,t）線性相關(guān)，則t =二、選擇題1 .已知可由1(A)3能由(B)3能由(C)3不能由(D)3不能由2 設(shè) 1,2 ,3線,(A)1,2,3(C)12 ,2，1

16、，1,1 ；3線性表示，不能由2線性表示，則下面結(jié)論正確的是（23,線性表示，也能由線性表示，但不能由2線性表示;2線性表示;2線性表示，也不能由2線性表示，但能由則下列向量組線性相關(guān)的是(B)2線性表示;2線性表示。1,12,13 ；(D)12123,31 。三、寫出向量組A: 10 ,11對應(yīng)的矩陣，并把式子1123寫成矩陣乘積的形式。四、設(shè) 1(a,2,10)T, 2( 2,1,5)t, 31,1,4)T,(1,1,b)T。 當(dāng) a,b 為何值時(shí)，1)不能由3線性表示；2) 可以由3唯一地線性表示；3) 可以由1,2, 3線性表示，但表示法不唯一。五、證明設(shè)向量1 2,r 線性無關(guān)，11

17、, 212, , r 12r ,則向量組,r也線性無關(guān)。一、填空題姓名習(xí)題學(xué)號1.能互相線性表示的兩個(gè)向量組，稱為1 , 2 , m 中，極大無關(guān)組。極大無關(guān)組與秩班級向量組。若存在r(r m)個(gè)向量訂，i2, ir ,它們滿足則稱,ir為向量組3 .向量組的極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)，稱為4 任一向量組與其極大無關(guān)組是向量組。5設(shè)向量組A:2,r可由向量組B :1,2, s線性表示，則向量組 A的秩向量組B的秩；若向量組A與向量組B等價(jià)，則它們的秩二、已知向量組 A:00，B：證明向量組B能由A線性表示，但向量組A不能由B線性表示。231230111三、設(shè)有向量組1(2,1,4,3), 2( 1

18、,1, 6,6), 3( 1, 2,2, 9),4(1,1, 2,7)，5(2,4,4,9),求該向量組的秩及其一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量組用這個(gè)極大無關(guān)組線性表示。四、已知1，2，3 及 11，2122，3133，證明：秩（3）=秩（、證明題姓名習(xí)題十四線性相關(guān)性（補(bǔ)充）學(xué)號班級1 ）設(shè)1 , 2 ,n是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量1 , 2 , n能由它們線性表示，證明1, 2 , n線性無關(guān)。2 ）設(shè)n是一組n維向量，則n線性無關(guān) 任一 n維向量可用它們線性表示。3)設(shè) A,B是 m n矩陣，且 R(A) r1,R(B) r2，則 R(A B) r1 r2。、填空題姓名習(xí)題十五向

19、量空間、基和維數(shù)學(xué)號班級1 .設(shè)V是實(shí)數(shù)域上的向量空間,1 , 2 , m是V中一組向量，如果1 , 2 , m滿足:。則稱2, m是V的一組基，基中所含向量的個(gè)數(shù)稱為2 .設(shè)1, 2 , m是向量空間V的一組基，對于任意的可以用1, 2, m 唯一地線性表示為k1 1 k2 2km m，稱有序數(shù)組（k1,k2,km）為在基的O3 .設(shè)1，2 , m 與1, 2, m是向量空間V中的兩組基，若它們滿足(1,2丄，m)( 1,2 ,L , m)A (其中 A (aij)mm )，4 .設(shè)稱m階矩陣A1, 2, , m是向量空間V的兩組基，由前一組基到后一組基的過渡矩陣為A ,V，且 在舊基與新基

20、下的坐標(biāo)分別為：X （Xi，X2， ,Xm）T和丫 （yi，y2， , ym）T二、檢驗(yàn)下列集合對于向量加法與數(shù)乘運(yùn)算是否是實(shí)數(shù)域R上的向量空間:(1 )Vi(Xi,X2,X3)|XixX31 ； (2) V2(Xi,X2,X3)|XiX2X30 o在基 1 , 2 ,3下的坐標(biāo)。(5,9, 2)三、試證明向量1(1,1,0) ,2(0,0,2),3(2,3,2)構(gòu)成R3的一組基，并求出四、在 R3 中取兩組基1(1,3,5)，2(6,3,2)，3(3,1,0) ；1(3,7,1)，2(6,0,1), 3(2,3,5)。求由基3的過渡矩陣和坐標(biāo)變換公式。習(xí)題六方程組解的結(jié)構(gòu)一、選擇題(B)(D

21、)2 .若1,(A)3 .若(C)姓名學(xué)號班級0是Ax b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下面結(jié)論正確的是（AxAxAx若Ax0僅有零解，則Axb有無窮多組解，則b有無窮多組解，則0有非零解，則Axb有唯一解;Ax 0只有零解;Ax 0有非零解;b有無窮多組解。2是某非齊次線性方程組的兩解向量，則（2是它的解向量(B)2是它的解向量2是其對應(yīng)齊次方程組的解向量3是齊次方程組2, 23,3(D)2是其對應(yīng)齊次方程組的解向量二、求齊次線性方程組X12X12X1AxX2X20的基礎(chǔ)解系,2X3X32X2 X3則下列答案中也是基礎(chǔ)解系的為（(B)3的任意三個(gè)線性組合(D)1,2 1,3 1x40X402x4

22、的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并寫出相應(yīng)的通解。五、設(shè)是非齊次線性方程組 Ax b的一個(gè)解,1, 2, n r是其對應(yīng)的齊次線性方程組的一1(2,1,4,5)T，23(3,4,5,6)t，求該方程組的通解。四、求解非齊次線性方程組4x1 2x2 x323x1 x2 2x310。11xi 3x28個(gè)基礎(chǔ)解系，證明:n r線性無關(guān)。2丄，n r線性無關(guān)；2)習(xí)題十七 內(nèi)積、特征值與特征向量姓名學(xué)號班級一、選擇題1 .以下說法正確的是（A .正交向量組必定線性無關(guān);B .線性無關(guān)向量組必定正交;C .正交向量組不含零向量;D .線性無關(guān)向量組不含零向量。3 .設(shè)A為正交矩陣，則下列矩陣中,不是正交矩陣（其中k是不

23、為1的正整數(shù)）的是（B. AT ;C.Ak ;D. kA。2 正交矩陣的行列式為（B. 1；A.1;二、填空題1. n階方陣A的不同特征值所對應(yīng)的特征向量;若1, 2, n是n階方陣A的n個(gè)特征值，則ii 1，(2A) 12 .已知三階矩陣A的三個(gè)特征值分別為1,2,3，則|a|3 .設(shè)A為n階方陣，Ax 0有非零解，則 A必有一特征值為4.若矩陣A與B相似，則A與B的特征值;n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是5 設(shè) 是矩陣A的一個(gè)特征值， X是A的對應(yīng)于 的一個(gè)特征向量，f (A)是矩陣A的一個(gè)多項(xiàng)式矩陣，則f (A)的特征值是，其相應(yīng)的一個(gè)特征向量是6 .已知(1,k)T是A 21的逆矩陣

24、A 11 2的特征向量，貝y k3是R3中一組標(biāo)準(zhǔn)正基，證明：11(2 12 23),33(21223),23 (333)也是R中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。四、用Schmidt正交化方法，將下列R3的基(1,1,1) ,2(0,1,1) ,3(1,0,1)化為標(biāo)準(zhǔn)正交基，并求向量(1, 1,0)在此標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)。1 2 2五、求矩陣 311的特征值和特征向量。2 2 1六、如果n階矩陣A滿足AA，證明矩陣 A的特征根只能是0或1 。習(xí)題十八 相似矩陣與對角化姓名學(xué)號班級、選擇題1 .如果矩陣A與B相似（A B ）,則A .存在可逆矩陣P，使得A PBP1 ; B .存在正交矩陣U，使A U1BU

25、;C 存在可逆矩陣P,使A PBP ;D .存在可逆矩陣P,Q，使AP 1BQ 。2 設(shè)n階矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則下面說法正確的是（A .存在正交矩陣 P，使P 1AP為對角矩陣;B .不一定存在正交矩陣 P，使P 1AP為對角矩陣;1C .不存在正交矩陣 P，使P AP為對角矩陣;D .只有當(dāng)矩陣 A為實(shí)矩陣時(shí)，存在正交矩陣 P，使P 1AP為對角矩陣。320571二、判斷矩陣A1是否與對角陣相似。設(shè)3階方陣A的特征值為11 ,20 ,31，對應(yīng)的特征向量依次為12 ,21 ，求 A。22200100四、設(shè)矩陣A與矩陣B相似，其中A姓名習(xí)題十九實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)學(xué)號班級0 。求x和

26、y的值。一、填空題1.實(shí)對稱矩陣的特征值一定是,其不同的特征值所對應(yīng)的特征向量o2 .已知 1(a,1,1)T ,2( 1,b,0)T ,3(1, 1,2)t是三階實(shí)對稱陣的三個(gè)不同特征值所對應(yīng)的特征向量，則 a3 .設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值為12, 231 ,對應(yīng)于12的特征向量11 ，則屬于特征值1231的所有特征向量為二、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣,1(1,k,1)T，對應(yīng) 2318, 232是其特征值，已知對應(yīng)18的特征向量為2的一個(gè)特征向量為2( 1,1,0)T，試求參數(shù)k及232的另一個(gè)與 2正交的特征向量和矩陣 A o211三、對實(shí)對稱矩陣 A 11，求正交矩陣 P和對角陣，使得P

27、Fap 。2四、設(shè)n階實(shí)對稱矩陣 A的特征值i 0(i1,2,n),證明存在特征值非負(fù)的實(shí)對稱矩陣B ,使得A B2。一、填空題1 .矩陣A姓名習(xí)題學(xué)號1對應(yīng)的二次型是3次型及其標(biāo)準(zhǔn)形班級，二次型f(Xi,X2,X3)2x2 6x| 4x1 2x1x2 2x1x3所對應(yīng)的矩陣是2 .二次型 f (X1,X2,X3)4X1X2 2X1X3 2tX2X3的秩為 2，則 t3. n階矩陣A與正交矩陣合同，則其秩R(A)4 .已知二次型的矩陣為2，且此二次型的正慣性指數(shù)為3，則k的取值范圍k5 .二次型 f （X1，X2，X3）X123x1的秩為,正慣性指數(shù)為負(fù)慣性指數(shù)為6.設(shè)A 2 2 1是正定矩陣

28、，則a,b,c滿足條件4 c 17.設(shè)n階實(shí)對稱矩陣 A的特征值分別為1,2, ,n，則當(dāng)t時(shí)，tE A為正定矩陣。8.實(shí)對稱矩陣A正定的充要條件是其特征值全部yi二、把變量代換yi代換。三、已知變量代換X3yiX2yiy2 y32y2 2y3y2 2y322y2 和寫成矩陣形式并求由變量 x1,x2,x3到變量y1,y2,y3的變量yiy2W Z2，求由變量Zi,Z2到變量X,X2的變量代換。Zi Z2四、用正交變換將二次型f（Xi，X2，X3） 2x1 5x1 5x3 4X1X2 4X1X3 8X2X3化為標(biāo)準(zhǔn)形。姓名習(xí)題二正定二次型與正定矩陣學(xué)號班級一、已知二次型 f(Xi,X2,X3)

29、 5x1 5x2 cx3 2x1X2 6X1X3 6X2X3 的秩為 2，求系數(shù) c及此二次型所對應(yīng)矩陣的特征值。2 2 2二、已知二次型f(Xi,X2,X3) 2xi 3x2 3x3 2ax2X3(a 0)，通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f yi2 2y2 5y32，求參數(shù)a及所用正交變換矩陣。三、判斷二次型 f (x1,x2,x3) x1 3x2 9x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3 的正定性.四、設(shè)A是n階正定矩陣，證明A E1。五、設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，試分別確定實(shí)數(shù)t的取值范圍，使得 A tE是（1）正定矩陣；（2）負(fù)定矩陣；（3）不定矩陣；（4）可逆矩陣。試卷、選擇題(每小題3分，共

30、15分)1.設(shè)A是n階方陣,且滿足A2E，則下列結(jié)論正確的是()(A)若 A E，則A E不可逆;(B)A E可逆;(C)若 A E，則A E可逆;(D)A E可逆。2 .設(shè)向量組3線性無關(guān),4線性相關(guān)，則()(A)4能被2,3線性表示;2,(B )4不能被3線性表示;(C)1能被4線性表示;(D )4不能被2,3線性表示。3 . A,B 為 4 階矩陣，IA 2，|b2，則 A*B12at(A)32 ;(B )64 ;(C )32;(D )16。4 .齊次線性方程組Ax 0有非零解的充分必要條件是()(A) A的任意兩個(gè)列向量線性相關(guān)；(B) A中必有一列向量是其余列向量的線性組合；(C )

31、 A的任意兩個(gè)列向量線性無關(guān);(D ) A中任一列向量都是其余列向量的線性組合。5.設(shè)A為m n矩陣，b 0，且r A n，則線性方程組Ax b(A)有唯一解；(B )有無窮多解;(C)無解;(D )可能無解。、填空題(每小題3分，共15 分)2.設(shè)3是非齊次線性方程組Ax b的解,Ax b的解的充分必要條件為t是齊次線性方程組Ax 0的解的充分必要條件為1 a3.設(shè)矩陣a 11 b1b相似于對角矩陣14.設(shè)A為n階方陣，且A26A 5EO,則A的特征值可能取值為)(2 )111 .已知與垂直，且I II 3,| I 4，則 1（35.設(shè)k為正整數(shù)，則（6分）求通過點(diǎn)A（5,三、計(jì)算題（共58

32、分）7,4）且在X, y, z軸上截距相等的平面方程。（6分）求過點(diǎn)（1,4,3）且與直線2x 4y z 1X3y 5 0都垂直的直線方程。1（8分）已知A 00且AE C1B TCTE，求 B。（8分）計(jì)算n階行列式a L a L Ma L（8分）設(shè)向量組 1 （1,0,1,2），2(2,1,0,3)，3(1,1, 1,1)，4(3,2, 1,4),（2,1,0, 4），試求這個(gè)向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)極大無關(guān)組線性表示。x1 ax2 2x36. (10分)已知線性方程組 X1 X2 ax35x1 5x2 4x3112，問：a取何值時(shí)方程組有無窮多解,并求其通解。2 2

33、2y1y25y3 ,且已知A對應(yīng)特征值5有一個(gè)特征向量試求正交變換XQy。四、證明題（共12分）1 （6分）設(shè)1, 2, n是一組n維向量,則1,n線性無關(guān)任一 n維向量可用它們線性表示。2 . （6分）設(shè)為n維列向量，且 T矩陣A。證明：行列式IA 0。試卷、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15 分）1.已知與垂直，且I II 3,| I 4，則1（)=2 .設(shè)B是三階非零矩陣，B的每一列向量都是方程組X12x22X32X1X2tX33x1X2X300的解，則0R(B)=。3 .設(shè)3階方陣A的三個(gè)特征值為1 ,E|2 0 04.設(shè)矩陣 2x2相似于矩陣3 115.二次型 f（X1，X2，

34、X3）2X1 X2X2X3X3X12的秩為7. （12分）已知三元二次型f xtAx經(jīng)正交變換X Qy化為標(biāo)準(zhǔn)形、選擇題（本題共5小題，每小題3 分,共15分）A11.設(shè)A為3 3矩陣，|A| 2，把A按行分塊為A A?，其中Aj（j 1,2,3）是A的A3第j行，則行列式A32A3A2A1值為（）。B.-6C.-54 ;D. 542.設(shè)s的秩為1 ,21, 2, t的秩為2, 3的秩為3，則下列不正確的是（A .若（1）可由線性表示,23; B.若可由（1）線性表示，則13；C.若1 3 ，貝U2 1 ;，則1r2。3 .設(shè)A是三階方陣，將A的第1列與第2列交換得再將B的第2列加到第3列得C

35、，則滿足AP C的可逆矩陣P為（0100100A. 100; B.101; C.11010010D.4 .設(shè)矩陣A45的行向量線性無關(guān)，貝U下列錯(cuò)誤的是（A . AtX 0只有零解;B. AtAX0必有無窮多解;C. b,ATX b 有唯一解;D. b, AXb總有無窮多解。5. n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值是A與對角陣相似的（）。A .充分必要條件;B.充分而非必要條件;C.必要而非充分條件;D.既非充分也非必要條件。三、計(jì)算題（共58分）0的直線方程。0的垂線的平面方（8分）設(shè)n階矩陣A和B滿足AAB，已知,求矩陣A。（8分）計(jì)算行列式:46512422031035. （10分）已知1T

36、1 n ,0,，2;冋為何值時(shí):(1 )可由 1, 2,3線性表示,(3 )可由 1,2,3線性表示，2且表示法唯一;且表示法不唯一,34(1,1,4,2), 26. (10 分)設(shè) 11,11,1,1（2） 不可由并寫出一般表示式。3線性表示;(1, 1, 2,4), 3(3,2,3, 11), 4(1,3,10,0),求該1 . （6分）求過點(diǎn)M（0, 1,3）且垂直于平面3x 2y z 92. （6分）求垂直平面z 0，并通過從點(diǎn)（1, 1,1）到直線程。向量組的秩及其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用這個(gè)極大線性無關(guān)組線性表示。232，且屬于18的7. （10分）已知3階實(shí)對稱矩陣A的特征值為18，特征向量為1（1,k,1）T ,屬于232的特征向量21,1,0)T 0 (1)求 k 的值；(2)求屬于特征值232的另一個(gè)與2正交的特征向量3 ； （ 3）求正交矩陣