二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)課

1、 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC11二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)rr -nrnrbaCT1復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知第第 項(xiàng)項(xiàng)1r性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)性質(zhì)1 1: :在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端等距離在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端等距離 的任意兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等的任意兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等. .性質(zhì)性質(zhì)2 2: :如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；nnnknnnnCCC

2、CC2210 性質(zhì)性質(zhì)3 3：性質(zhì)性質(zhì)4 4:(a+b):(a+b)n n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和. .題型一題型一 利用利用 的二項(xiàng)展開式解題的二項(xiàng)展開式解題na b解法解法1 1413xx4043Cx例例1 1 求求 的展開式的展開式413xx31413Cxx22241(3) ()Cxx3341(3)()Cxx4441()Cx221218110854xxxx直接用二項(xiàng)直接用二項(xiàng)式定理展開式定理展開題型一題型一 利用利用 的二項(xiàng)展開式解題的二項(xiàng)展開式解題na b例例1 1 求求 的展開式的展開式413

3、xx解法解法2 2413 xx4231xx04421(3 )Cxx134(3 )Cx224(3 )Cx34(3 )C x44C43221(8110854121)xxxxx221218110854xxxx化簡(jiǎn)后再展開化簡(jiǎn)后再展開例題例題2 2 若若,( 2 1)2,nnnn Nab(,)nna bZnb,則則 的值的值( )A A 一定為奇數(shù)一定為奇數(shù)C C 一定為偶數(shù)一定為偶數(shù)B B 與與n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 與與n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:2(12)nnnab0nC12nC22( 2)nC33( 2)nC( 2)nnnCnb0nC22( 2)nC44( 2)nC所以所

4、以 為奇數(shù)為奇數(shù) 故選故選( (A)A)nb思考思考 能用特殊值法嗎能用特殊值法嗎? ?偶偶偶偶奇奇A 熟記二項(xiàng)式定理熟記二項(xiàng)式定理, ,是解答與二是解答與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件, ,對(duì)對(duì)比較復(fù)雜的二項(xiàng)式比較復(fù)雜的二項(xiàng)式, ,有時(shí)先化簡(jiǎn)再有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開更便于計(jì)算展開更便于計(jì)算. .例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型二利用通項(xiàng)求符合要求的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)例例3 3 求求 展開式中的有理項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)93xx解解: :1132919( ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr 或3344492734( 1)846

5、rrTC xx 99331092793( 1)6rrTC xx 原式的有理項(xiàng)為原式的有理項(xiàng)為: :4484Tx310 xT例例4(044(04全國卷全國卷) )81()xx的展開式中的展開式中 的的系數(shù)為系數(shù)為_5x解解: : 設(shè)第設(shè)第 項(xiàng)為所求項(xiàng)為所求1r 12818()rrrrTC xx288( 1)rrrrC xx 3288( 1)rrrC x 38522rr由可得5x228( 1)28C的系數(shù)為的系數(shù)為.)2(. 510和第四項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)式系數(shù)的展開式中第四項(xiàng)的二求例xx 分析：第 k+1 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) - 第 k+1 項(xiàng)的系數(shù)-具體數(shù)值的積。cnk解解：.9608c- .120,)2

6、()() 1(310310373103134第四項(xiàng)的系數(shù)是數(shù)是所以第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系因?yàn)閏xxcTT 求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng), ,或者求滿或者求滿足某種條件的項(xiàng)足某種條件的項(xiàng), ,或者求某種性質(zhì)的項(xiàng)或者求某種性質(zhì)的項(xiàng), ,如含有如含有x項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù), ,有理項(xiàng)有理項(xiàng), ,常數(shù)項(xiàng)等常數(shù)項(xiàng)等, ,通常要用到二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解通常要用到二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解. . 注意注意(1)(1)二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別. . (2) (2) 表示第表示第 項(xiàng)項(xiàng). .3rrnrnrbaCT11r 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型三題型三 求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)(

7、 (系數(shù)系數(shù)) )例例6 62345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展開式中的展開式中, , 的系數(shù)等于的系數(shù)等于_2x解解: :仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得 的系的系 數(shù)是數(shù)是2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 解法解法2 2 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式得運(yùn)用等比數(shù)列求和公式得5(1)1 (1) 1 (1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展開式中的展開式中,含有含有 項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為6(1)x3x3620C 所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為-202xttxC)3(12123824)31 ()21 ()1 (xxxxx

8、x例例7 7求求 展開式中展開式中 的系數(shù)。的系數(shù)。4xrrxC)(44x解解: :可逐項(xiàng)求得可逐項(xiàng)求得 的系數(shù)的系數(shù)8)21 (x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為ssxC)2(8當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)2s112428C系數(shù)為系數(shù)為12)31 (x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為1t當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)363112C系數(shù)為系數(shù)為所以所以 展開式中的展開式中的系數(shù)為系數(shù)為123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)3r系數(shù)為系數(shù)為-4-4 求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)中某項(xiàng)( (某項(xiàng)的系數(shù)某項(xiàng)的系數(shù)),),可以逐項(xiàng)可以逐項(xiàng)分析

9、求解分析求解, ,常常對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)常常對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)行化簡(jiǎn), ,可以減小計(jì)算量可以減小計(jì)算量例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型四題型四 求乘積二項(xiàng)式展開式中特定的項(xiàng)求乘積二項(xiàng)式展開式中特定的項(xiàng)( (特特 定項(xiàng)的系數(shù)定項(xiàng)的系數(shù)) )例題例題8:8:求求 的展開式中的展開式中 項(xiàng)項(xiàng) 的系數(shù)的系數(shù). .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是1622556( 1) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是65(1) (21)xx由題意知由題意

10、知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得解得3206252) 1(CC所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng) 對(duì)于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積對(duì)于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算利用兩個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算題型五題型五 三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二項(xiàng)式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)得再利用二項(xiàng)

11、式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=1107展開式中的常數(shù)項(xiàng)求例8)11(9xx解：解：原式化為523)2(xx其通項(xiàng)公式為其通項(xiàng)公式為rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指數(shù)為要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系數(shù)為所以x例題點(diǎn)評(píng)括號(hào)里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)括號(hào)里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng),合合并時(shí)要注意選擇的科學(xué)性并時(shí)要注意選擇的科學(xué)性.也可因式分解化為乘積二也可因式分解化為乘積二項(xiàng)式項(xiàng)式.的系數(shù).的展開式中例10求xxx52) 23(題型

12、六題型六 求展開式中系數(shù)最大求展開式中系數(shù)最大( (小小) )的項(xiàng)的項(xiàng)解解: :設(shè)設(shè) 項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng), ,則則1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r項(xiàng)系數(shù)最大的項(xiàng)是即二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第11項(xiàng),即1020C所以它們的比是137102012812203211532CC與最大二項(xiàng)式系數(shù)的比求其項(xiàng)的最大系數(shù)的展開式中在例，x20) 32(11例例1 12 2 在在 的展開式中，系數(shù)的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值絕對(duì)值最大的項(xiàng)最大的項(xiàng) 20)23 (yx解：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第解

13、：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1r+1項(xiàng)，則項(xiàng)，則2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC3(1) 2(20)2(21) 3rrrr 374255r 8r所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為8r812812820923yxCT例例1 13 3求求 的展開式中的展開式中數(shù)值數(shù)值最大的項(xiàng)最大的項(xiàng)50)21 ( 211rrrrTTTT解：設(shè)第解：設(shè)第 項(xiàng)是是數(shù)值最大的項(xiàng)項(xiàng)是是數(shù)值最大的項(xiàng)1r展開式中展開式中數(shù)值數(shù)值最大的項(xiàng)是最大的項(xiàng)是29295030) 2(CT 115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrr

14、CCCC251101251102rr88.2988.28 r29r211rrrrTTTT 解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第解決系數(shù)最大問題，通常設(shè)第 項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有1r由此確定由此確定r r的取值的取值例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型七 二項(xiàng)式定理的逆用011222112122nnnnnnnnnCCCC原式(1 2)3nn 例例14 14 計(jì)算并求值計(jì)算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):將原式變形將原式變形題型七 二項(xiàng)式定理的逆用例例14 14 計(jì)算并求值計(jì)算并求值12(1) 1 242

15、nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng) 逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn), ,也是重點(diǎn)也是重點(diǎn), ,只有熟練只有熟練掌握公式的正用掌握公式的正用, ,才能掌握逆向應(yīng)用才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用和變式應(yīng)用題型八求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和題型八求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和解：設(shè)解：設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)和為展開式各項(xiàng)系數(shù)和為1 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng) 求展開式中各

16、項(xiàng)系數(shù)和常用賦值法：令求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和常用賦值法：令二項(xiàng)式中的字母為二項(xiàng)式中的字母為1 1naaaa210上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=1=1時(shí)，時(shí)， (2-1) (2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例例1 15. 5. 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為_nx) 12(2題型九求奇數(shù)題型九求奇數(shù)( (次次) )項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)偶數(shù)( (次次) )項(xiàng)系數(shù)的和項(xiàng)系數(shù)的和776016712(31)xa xa xa xa例已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(

17、aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf設(shè)解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)題型九求奇數(shù)題型九求奇數(shù)( (次次) )項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)偶數(shù)( (次次) )項(xiàng)系數(shù)的和項(xiàng)系數(shù)的和7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf設(shè)解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf是負(fù)數(shù)因?yàn)?531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(72

18、10aaaa7) 4() 1( f（3）74776016712(31)xa xa xa xa例已知例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng) 求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用賦賦值法值法，設(shè)二項(xiàng)式中的字母為，設(shè)二項(xiàng)式中的字母為1或或- -1，得，得到一個(gè)或幾個(gè)等式，再根據(jù)結(jié)果求值到一個(gè)或幾個(gè)等式，再根據(jù)結(jié)果求值題型十題型十 整除或余數(shù)問題整除或余數(shù)問題例例1818。的余數(shù)除以求1009192解解: :9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各項(xiàng)均能被前面各項(xiàng)均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能被100100整除整

19、除929929192290929029291192929292) 1(1010101010) 110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余數(shù)是被可見余數(shù)為余數(shù)為正整數(shù)正整數(shù)注意 整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)，再分析整除性或余數(shù)。這是或后幾項(xiàng)，再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)

20、要為正解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)整數(shù)例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型題型11 11 證明恒等式證明恒等式123119232nnnnnnCCCnCn例求證析析: :本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不能直接求和本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不能直接求和. .因?yàn)橐驗(yàn)?由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC 解 設(shè)nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210兩式相加兩式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS例題點(diǎn)例題點(diǎn)評(píng)評(píng) 利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等利用求和的方法來證明組合數(shù)恒等式

21、是一種最常見的方法式是一種最常見的方法,證明等式常用下證明等式常用下面的等式面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC例例2020證明證明：3)11 (2nn1*nNn且當(dāng)2111111)11 (22221 nCnCnCnnnnn證明證明1(1)(1) 111!kknkkkn nn knCnknknk 通項(xiàng)通項(xiàng)nnnnnnnCnCnCn1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn321121n3)11 (2nn所以所以題型題型12 12 證明不等式證明不等式例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng) 利用二項(xiàng)式定理證

22、明不等式利用二項(xiàng)式定理證明不等式, ,將展開式進(jìn)行合理放縮將展開式進(jìn)行合理放縮題型題型13 13 近似計(jì)算近似計(jì)算例例21.21.某公司的股票今天的指數(shù)為某公司的股票今天的指數(shù)為2,2,以后每天的指以后每天的指 數(shù)都比上一天的指數(shù)增加數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%,0.2%,則則100100天后這天后這 公司的股票股票指數(shù)為公司的股票股票指數(shù)為_(_(精確到精確到0.0010.001) )解解: :依題意有依題意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 1001002(10.002)012210010010020.0020.002CCC2(10.20.0198)2.43962.44所以所以100100天后這家公司的股票指數(shù)約為天后這家公司的股票指數(shù)約為2.442.44點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：近似計(jì)算常常利用二項(xiàng)式定理估算前幾項(xiàng)近似計(jì)算常常利用二項(xiàng)式定理估算前幾項(xiàng)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)一選擇題一選擇題a8)(xax 1(041(04福建福建) )已知已知 展開式的常數(shù)項(xiàng)是展開式的常數(shù)項(xiàng)是1120,1120, 其中