第十二章第三節(jié)冪級(jí)數(shù)

1、第三節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 冪級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十一章 一、一、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 i 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) .對(duì), i0 x若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10)(nnxu斂點(diǎn)斂點(diǎn), 所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 i 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收收 0 x稱為其發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn), ),2, 1()(nxun發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 .機(jī)動(dòng) 目錄

2、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , )(xs為級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫(xiě)成)()(1xuxsnn若用)(xsn)()(1xuxsnkkn令余項(xiàng))()()(xsxsxrnn則在收斂域上有, )()(limxsxsnn0)(limxrnn表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前 n 項(xiàng)的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如, 等比級(jí)數(shù)它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或?qū)懽?1x又如又如, 級(jí)數(shù), )0(02xnxxnnn,)(limxunn級(jí)數(shù)發(fā)散 ;所以級(jí)數(shù)的收斂域僅為. 1x,)1,1(時(shí)當(dāng)x有和函數(shù) ,

3、1時(shí)收斂當(dāng)x,10時(shí)但當(dāng) x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 冪級(jí)數(shù)1,110 xxxnn為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即nnxxa)(0稱 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散定理定理 1. ( abel定理定理 ) 若冪級(jí)數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對(duì)滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之,

4、若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 , 則對(duì)滿足不等式證證: 設(shè)00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂, 則必有),2, 1(0nmxann于是存在常數(shù) m 0, 使阿貝爾 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí), 0 xx 00nnxxm收斂,0nnnxa故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .也收斂,反之, 若當(dāng)0 xx 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)1x01xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)0 xx 滿足且使級(jí)數(shù)收斂 ,面的證明可知, 級(jí)數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真. 的 x , 原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散 , 則對(duì)一切則由前也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾,

5、nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxm0證畢機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 冪級(jí)數(shù)在 (, +) 收斂 ;由abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用r 表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則r = 0 時(shí), 冪級(jí)數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;r = 時(shí),0 r冪級(jí)數(shù)在 (r , r ) 收斂 ;(r , r ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域收斂域.r 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在r , r 可能收斂也可能發(fā)散 .rx外發(fā)散; 在(r , r ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xaaxaxannn

6、nnnnn111limlim定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1r;r.0r證證:1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng),1x原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng),1x原級(jí)數(shù)發(fā)散.x即1x時(shí),1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) 時(shí),即時(shí),則 1x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2) 若, 0則根據(jù)比值審斂法可知,;r絕對(duì)收斂 ,3) 若,則對(duì)除 x = 0 以外的一切 x 原級(jí)發(fā)散 ,.0r對(duì)任意 x 原級(jí)數(shù)因此因此 0nnnxa的收斂半徑為說(shuō)明說(shuō)明: :據(jù)此定理1limnnnaar因此級(jí)數(shù)的收斂半徑.1r機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)端點(diǎn) x =1, 1limnnn

7、aarnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級(jí)數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域?yàn)槔? 1.求冪級(jí)數(shù) limn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaar!1n) 1(limnn所以收斂域?yàn)? ),(2) limlim1nnnnaar!n!) 1( n11limnn0所以級(jí)數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

8、回 結(jié)束 例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .解解: 級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21r21x即142x當(dāng)21x即) 1(2nxnx2故直接由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.12) 1(nnnnx求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級(jí)數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaarlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當(dāng)

9、 t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,11nn此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,) 1(1nnn此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理定理3. 設(shè)冪級(jí)數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21rr令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1rx ,min21rrr nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbarx ,0nnnxcrx 則有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相

10、除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多. 例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為,r但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1r1x1nnnxb0 x11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理4 若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0r)(xs數(shù)(證明見(jiàn)第六節(jié))nnnxaxs0)(,11nnnxan),(rrxxxaxxsnxnnxdd)(000,110nnnxna),(rrx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項(xiàng)積

11、分時(shí), 運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 由例2可知級(jí)數(shù)的收斂半徑 r+.例例5.0!nnnx求冪級(jí)數(shù)0!)(nnnxxs)(x則11! ) 1()(nnnxxs0!kkkx)(xs)(x故有0)(xsexxecxs)(,)(1)0(xexss 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù) .因此得設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 1nnxn求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā),)1,1(時(shí)故當(dāng)x1)(nnxnxs1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xs11nnxnx1nnxx散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

12、回 結(jié)束 例例7. 求級(jí)數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xs解解: 易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 , 時(shí)級(jí)數(shù)且1x01)(nnnxxs xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 , 有時(shí)則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) 1 ,0()0, 1x)(xs, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xs而)0(s,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8.2) 1(122的和求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nnn解解: 設(shè),1)(22nnnx

13、xs則, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxs111121)(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxs故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxs)2(212xxx21s2ln4385)0( x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1) 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .2) 對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或

14、根值法,2. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1) 兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過(guò)換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .乘法運(yùn)算. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 已知nnnxa00 xx 在處條件收斂 , 問(wèn)該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少 ?答答: 根據(jù)abel 定理可知, 級(jí)數(shù)在0 xx 收斂 ,0 xx 時(shí)發(fā)散 . 故收斂半徑為.0 xr 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 在冪級(jí)數(shù)nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數(shù),23n 為偶數(shù)

15、,61能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答: 不能. 因?yàn)閚nnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當(dāng)2x時(shí)級(jí)數(shù)收斂 ,2x時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 ,.2r說(shuō)明說(shuō)明: 可以證明比值判別法成立根值判別法成立機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 p277 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)p323 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作業(yè)第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 阿貝爾阿貝爾(1802 1829)挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者. 他在22歲時(shí)就解決了用根式解5 次方程的不可能性問(wèn)題 , 他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群. 在級(jí)數(shù)研究中, 他得 到了一些判斂準(zhǔn)則及冪級(jí)數(shù)求和定理. 論的奠基