30積分應用二

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程授課教師：彭亞新 第八章 定積分的應用本章學習要求：掌握建立與定積分有關的數(shù)學模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉曲面的側面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。第八章 定積分的應用第 五、六 節(jié) 微積分在物理學中的應用一、變力沿直線作功二、液體的靜壓力三、連續(xù)函數(shù)的平均值. , : )( 的變化而變化值大小隨軸正向其方向沿設變力xxxf , )( 軸正向運動到點處沿從點推動物體變力xaxxf : )( 所作的功為處點babxxx

2、xoxy)(xfab . 0 , ,( xbax , 可視物體在區(qū)間很小時當 x , )(其值為作功按常力xf , ,處的值以變力在點上xxxx .)(xxfw .d)(d : ,xxfw 微分元素為變力沿直線作功問題的于是 ,性由于功對區(qū)間具有可加 :的功為 . , :bax積分區(qū)間 .d)(d :xxfw 微分元素 .d)(d : babaxxfww功的計算oxyabw)(xfy w )( 沿直線移動物體所做故變力xf 變力作功的幾何表示例1解解 , )( 1 , )( 20. 0 充滿了壓強的氣缸內(nèi)長為直徑為mm , . )/( 108 . 9 25若保持溫度不變的某種氣體為mn . )

3、( 5 . 0 使氣體壓縮所作的功求推動活塞前進mxox5 . 01? .建立坐標系如圖所示 .) 1 . 0( 2s活塞的面積為 , ) boyle ( 定律根據(jù)波義耳 ,vp與體積氣體的壓強恒溫下 :的乘積為常數(shù)) ( .為常數(shù)kkpv .)1 ( : , sxvx壓縮后氣體的體積為處時當活塞移動到xo5108 . 91 ,所以 )(vkxp )1 ( sxk , ) 1 . 0()1 ( 2xk 為處作用在活塞上的壓力從而在 x . 1 )(xkspxf2) 1 . 0(sxox5 . 01?xx , , , 0 視壓上在取xxxx , )( 則在該小區(qū)間上壓縮氣不變力xf 體作的功為

4、. )(xxfw ,108 . 9)0( , 0 ,5故氣體的壓強時當由已知條件px .9800) 1 . 0(108 . 9 250 xpvk : ,所作的功為所求的使氣體體積壓縮于是5 . 0 0 5 . 0 0 d1 9800 d)(xxxxfw ) )1ln(98005 . 0 0 x ).( 1013. 22ln98004焦耳 1 dd)(d :xxkxxfw微分元素 9800k例2解解 , )( 10 了水的半球形的水池內(nèi)裝滿半徑為m .所作的功求將池內(nèi)的水全部抽干oxy10 x) ,(yxpxx .建立坐標系如圖所示 , 平面上的截面為一半圓球在 yx 其方程為 .10222 y

5、x , 0 ,10 , 0 則微分元素為xx )d(d2xxyw .d)10(22xx ).g/( 1000 3mk水的比重 體積 位移 比重 , , 薄片的上在xxx d , 2為為底面積體積用以xy .高的圓柱體的體積代替 ,所作的功為將水池中的水全部抽干從而 d)10(d10 0 2210 0 xxxww ) 4150 ( 10 0 42xx 2500 . )( 1078543mkg :回顧有關的知識 . , ) 1 (總是垂直于物體的表面液體對物體的壓力 : , )2(液體的壓強為處在液面下深 h ). ( 是液體的比重hp , )3(各個方向上產(chǎn)生的處液體在其內(nèi)部任意一點 .壓強相同

6、 . , )4(受力面積壓強壓力常數(shù)時在壓強p例3解解oyx2 mm 2m 3x . , ,尺寸如圖所示擋水有一等腰梯形閘門直立某水渠中 . , 閘門所承受的壓力求當水面齊渠道頂端時 .建立坐標系如圖所示 , 0 ,2 , 0 則有xx15 . 1122yx2x2x15 . 11yxy ). 23 (21 xy即有 ：故圖中陰影部分面積為 d2dxyss .d)23(xx . 2 , 0 x積分區(qū)間：sxpd)(d :微分元素 .d)23(xxx ).( 4700d)23( :2 0 kgxxxp計算壓力 個數(shù)值的平均值為的離散變量nu . 21nuuuun , , )( 如何計算上連續(xù)取值在

7、區(qū)間如果函數(shù)baxf ? , )( 上的平均值在區(qū)間函數(shù)baxf .) ,()( barxf設 ), 2 , 1( , : , 1nixxnbaii個小區(qū)間等分為將區(qū)間 . nab每個小區(qū)間的長度均為 )( 1 , , 11可作為函數(shù)則的中點為區(qū)間取niiiiifnxx . , )(上的平均值的近似值在區(qū)間baxf 端點也可 , )( 上的平均值定義為在我們將函數(shù)baxf . )(1lim1niinfny ?嗎這里能與積分聯(lián)系起來 : )(1lim 1變形將表達式niinfny )(1lim1niinnabfaby )(1lim1niiinxfab ,1的長度iixx nabxi .d)(1 baxxfab , )( ), ,()(上的平均值為在則baxfbarxf . d)( abxxfyba ), ,()( 則若bacxf .d)( abxxfyba :性質(zhì)可知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的 , , 使得至少存在一點ba .d)()( abxxffba . )(d)( abfxxfb