第二章 點(diǎn)直線平面投影

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”國家級規(guī)劃教材國家級規(guī)劃教材建筑工程制圖（第三版）建筑工程制圖（第三版）第二章第二章 點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影投影的基本知識投影的基本知識點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影直線的投影直線的投影平面的投影平面的投影投影變換投影變換平面直線的相對位置平面直線的相對位置第一節(jié)第一節(jié) 投影的基本知識投影的基本知識 在日常生活中看到這樣一些現(xiàn)象：在日常生活中看到這樣一些現(xiàn)象： 物體在燈光或日光照射下，會在地面、墻面或其物體在燈光或日光照射下，會在地面、墻面或其它物體的表面上產(chǎn)生影子，并能在某種程度上顯示出它物體的表面上產(chǎn)生影子，并能在某種程度上顯示出物體的形狀和大小

2、，并隨光線照射方向的不同而變化。物體的形狀和大小，并隨光線照射方向的不同而變化。投影的方法就是人們從這些自然現(xiàn)象中抽象出來的。投影的方法就是人們從這些自然現(xiàn)象中抽象出來的。1、投影的形成、投影的形成H光線光線影子影子光線光線投影投影H投影面投影面投射線投射線規(guī)定規(guī)定：影子落在一個平面影子落在一個平面上，且光線可穿透物體，上，且光線可穿透物體，使得所產(chǎn)生的影子不象真使得所產(chǎn)生的影子不象真是影子那樣黑色一片，而是影子那樣黑色一片，而能在影子范圍內(nèi)有線條來能在影子范圍內(nèi)有線條來顯示物體的完整形象。顯示物體的完整形象。 應(yīng)用通過物體的一組選定的直線，在一個選定應(yīng)用通過物體的一組選定的直線，在一個選定的

3、面上形成的圖形，稱為該物體在該面上的的面上形成的圖形，稱為該物體在該面上的投影投影。2、投影的分類投影的分類 按照投射線之間的關(guān)系和對投影面的方按照投射線之間的關(guān)系和對投影面的方向不同向不同投投 影影中心投影中心投影平行投影平行投影正投影正投影斜投影斜投影中心投影法中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差度量性較差投射線投射線投射中心投射中心物體物體投影面投影面投影投影物體位置改物體位置改變，投影大變，投影大小也改變小也改變 這種投射線這種投射線集中于一點(diǎn)時集中于一點(diǎn)時的投影稱為中的投影稱為中

4、心投影心投影。 2、投影的分類投影的分類 按照投射線之間的關(guān)系和對投影面的方按照投射線之間的關(guān)系和對投影面的方向不同向不同平行投影平行投影正投影正投影斜投影斜投影 投射線垂直于投射線垂直于投影面時的投影投影面時的投影稱為正投影。稱為正投影。 投射線傾斜于投射線傾斜于投影面時的平行投影面時的平行投影稱為斜投影。投影稱為斜投影。 2、投影的分類投影的分類平行投影平行投影 投射線垂直于投射線垂直于投影面時的投影投影面時的投影稱為正投影。稱為正投影。 S1.1.正投影正投影SHABCabc2、投影的分類投影的分類平行投影平行投影 投射線傾斜于投射線傾斜于投影面時的平行投影面時的平行投影稱為斜投影。投影

5、稱為斜投影。 H2.2.斜投影斜投影90SSABCabc平行投影法平行投影法投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好度量性較好工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。投射線互相平行投射線互相平行且垂直于投影面且垂直于投影面斜角投影法斜角投影法投射線互相平行投射線互相平行且傾斜于投影面且傾斜于投影面直角（正）投影法直角（正）投影法即即:正投影法正投影法3、 平行投影的特性平行投影的特性 1.真實性真實性 當(dāng)線段或平面平行于投影面時，其平行投影反當(dāng)線段或平面平行于投影面時，其平行投影反映實長或?qū)嵭?。這種投影性質(zhì)稱為真實性。映實長或?qū)?/p>

6、形。這種投影性質(zhì)稱為真實性。 AabBBACacbHH3、平行投影的特性平行投影的特性 2.積聚性積聚性 當(dāng)直線或平面平行于投射線時，（在正投影時，則垂當(dāng)直線或平面平行于投射線時，（在正投影時，則垂直于投影面），則直線的平行投影積聚為一點(diǎn)；平面的平直于投影面），則直線的平行投影積聚為一點(diǎn)；平面的平行投影積聚為一條直線。這種性質(zhì)稱為積聚性。行投影積聚為一條直線。這種性質(zhì)稱為積聚性。 Aa(b)BHBACHcabH3、 平行投影的特性平行投影的特性 3.類似性類似性 當(dāng)直線或平面傾斜于投影面時，則直線的正投影為小當(dāng)直線或平面傾斜于投影面時，則直線的正投影為小于實長的直線，平面的正投影為小于實形的平

7、面圖形，如于實長的直線，平面的正投影為小于實形的平面圖形，如三角形仍投射成三角形。這種性質(zhì)稱為類似性。三角形仍投射成三角形。這種性質(zhì)稱為類似性。 bcadHABBCDAab3、 平行投影的特性平行投影的特性 4從屬性從屬性 點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影一定在該直線的同面投影上。點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影一定在該直線的同面投影上。這種性質(zhì)稱為從屬性。這種性質(zhì)稱為從屬性。 5 5定比性定比性 直線上兩線段上的長度之比，等于它們的平行投影的直線上兩線段上的長度之比，等于它們的平行投影的長度之比，這種性質(zhì)稱為定比性。長度之比，這種性質(zhì)稱為定比性。若若: K在在AB上上則則: k在在 ab上上 AK:KB=ak:kb

8、abKABHk3、平行投影的特性平行投影的特性 6平行性平行性 相互平行的直線在同一投影面上的平行投影仍然相互相互平行的直線在同一投影面上的平行投影仍然相互平行，且空間線段的長度之比等于它們的同面投影的長度平行，且空間線段的長度之比等于它們的同面投影的長度之比，這種性質(zhì)稱為平行性。之比，這種性質(zhì)稱為平行性。 若若 ABCD則則 abcdacbdacbfedHHACDBABCDFE4、 工程中常用的投影工程中常用的投影 在表達(dá)工程物體時，由于表達(dá)目的和被表達(dá)對象在表達(dá)工程物體時，由于表達(dá)目的和被表達(dá)對象的不同，往往需要采用不同的工程圖。常用的工程圖的不同，往往需要采用不同的工程圖。常用的工程圖有

9、下列四種：有下列四種： 1.1.正投影圖正投影圖2.2.軸測投影圖軸測投影圖 3.3.透視投影圖透視投影圖4.4.標(biāo)高投影圖標(biāo)高投影圖 4、 工程中常用的投影工程中常用的投影 一個物體在幾個投影面上的正投影，稱為正投影圖。一個物體在幾個投影面上的正投影，稱為正投影圖。 特點(diǎn)特點(diǎn) 作圖較其它圖示法簡便，便于度量，工程上應(yīng)用最廣，作圖較其它圖示法簡便，便于度量，工程上應(yīng)用最廣，但缺乏立體感。但缺乏立體感。(1) (1) 正投影圖正投影圖4、工程中常用的投影工程中常用的投影 物體在一個投影面上的平行投影，稱為軸測投影，也稱物體在一個投影面上的平行投影，稱為軸測投影，也稱為軸測圖。為軸測圖。 特點(diǎn)特點(diǎn)

10、： 立體感強(qiáng)，非常直觀。但是作圖較繁，表面形狀在圖中立體感強(qiáng)，非常直觀。但是作圖較繁，表面形狀在圖中往往失真，度量性差，只能作為工程上的輔助性圖樣。往往失真，度量性差，只能作為工程上的輔助性圖樣。(2) (2) 軸測投影圖軸測投影圖4、工程中常用的投影工程中常用的投影 以人眼為中心，物體在一個投影面上的中心投影，稱為以人眼為中心，物體在一個投影面上的中心投影，稱為透視投影。透視投影。 (3) (3) 透視投影圖透視投影圖( (采用中心投影法采用中心投影法) )特點(diǎn)特點(diǎn) 圖形逼真，直觀性強(qiáng)。但作圖復(fù)雜。形體的尺寸不能直接圖形逼真，直觀性強(qiáng)。但作圖復(fù)雜。形體的尺寸不能直接在圖中度量，故不能作為施工

11、依據(jù)，僅用于建筑設(shè)計方案的比在圖中度量，故不能作為施工依據(jù)，僅用于建筑設(shè)計方案的比較及工藝美術(shù)和宣傳廣告畫等。表達(dá)房屋及裝飾的立體效果。較及工藝美術(shù)和宣傳廣告畫等。表達(dá)房屋及裝飾的立體效果。4、工程中常用的投影工程中常用的投影 標(biāo)高投影圖是在物體水平投影面上加注某些特征面、線標(biāo)高投影圖是在物體水平投影面上加注某些特征面、線以及控制點(diǎn)的高度數(shù)值的單面正投影以及控制點(diǎn)的高度數(shù)值的單面正投影 。 (4) 標(biāo)高投影圖標(biāo)高投影圖第二節(jié)第二節(jié) 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影空間點(diǎn)空間點(diǎn)A A的單面投影的單面投影 HAa由單面投影定空間點(diǎn)的位置由單面投影定空間點(diǎn)的位置 HaCBA 只根據(jù)點(diǎn)在一個投影面上的投影，不能確定該

12、點(diǎn)只根據(jù)點(diǎn)在一個投影面上的投影，不能確定該點(diǎn)在空間的位置。在空間的位置。 分角的概念分角的概念中途返回請按“ESC” 鍵我國采我國采用第一用第一分角分角H HW WV V一、三投影面體系一、三投影面體系正立投影面（簡稱正正立投影面（簡稱正 面用面用V V表示）表示）水平投影面（簡稱水水平投影面（簡稱水 平面用平面用H H表示）表示）側(cè)立投影面（簡稱側(cè)側(cè)立投影面（簡稱側(cè) 面用面用W W表示）表示）O OX XZ Z OXOX軸軸 V V面與面與H H面的交線面的交線 OZOZ軸軸 V V面與面與W W面的交線面的交線 OYOY軸軸 H H面與面與W W面的交線面的交線三個投影面三個投影面互相垂直

13、互相垂直Y Y 原點(diǎn)原點(diǎn)O OX XY YZ ZO OV VH HW W向后向后旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90向下旋轉(zhuǎn)向下旋轉(zhuǎn)90不動不動注意：注意：OY軸一分為軸一分為二：二： YH、Yw三、投影面展開三、投影面展開V VW WH H三視圖的形成視圖的形成 用正投影法繪制的物體的投影圖稱為視圖。用正投影法繪制的物體的投影圖稱為視圖。正面投影正面投影 體的正面投影體的正面投影正面圖正面圖水平面投影水平面投影 體的水平投影體的水平投影水平面圖水平面圖側(cè)面投影側(cè)面投影 體的側(cè)面投影體的側(cè)面投影左側(cè)立面圖左側(cè)立面圖2.2.三視圖之間的度量對應(yīng)關(guān)系三視圖之間的度量對應(yīng)關(guān)系正面圖與水平面圖長相等且對正正面圖與水平面圖長相

14、等且對正正面圖與左側(cè)立面圖高相等且平齊正面圖與左側(cè)立面圖高相等且平齊水平面圖與左側(cè)立面圖寬相等且對應(yīng)水平面圖與左側(cè)立面圖寬相等且對應(yīng)長長高高寬寬寬寬長對正長對正寬相等寬相等高平齊高平齊三等關(guān)系三等關(guān)系V面投影面投影反反映了形體的映了形體的正面形狀和正面形狀和長度及高度長度及高度高高高高寬寬長長長長寬寬W面投影面投影反映反映了形體的左側(cè)了形體的左側(cè)面形狀和面形狀和高度高度及寬度及寬度H面投影面投影反映反映了形體水平面了形體水平面的形狀和的形狀和長度長度及寬度及寬度平面立體的投影性質(zhì)平面立體的投影性質(zhì)三面投影的度量關(guān)系三面投影的度量關(guān)系YWOXZYH長對正長對正 高平齊高平齊 寬相等寬相等三面正投

15、影的投影關(guān)系三面正投影的投影關(guān)系平面立體的投影性質(zhì)平面立體的投影性質(zhì)高高高高寬寬長長長長寬寬YWOXZYHV面投影和面投影和H面投影面投影“長相等長相等”V面投影和面投影和W面投影面投影“高相等高相等”H面投影和面投影和W面投影面投影“寬相等寬相等” V面投影圖反映形體的上、下和左、右關(guān)系；面投影圖反映形體的上、下和左、右關(guān)系；H面投面投影圖反映形體的前、后和左、右關(guān)系；影圖反映形體的前、后和左、右關(guān)系；W面投影圖反映面投影圖反映形體的上、下和前、后關(guān)系。形體的上、下和前、后關(guān)系。右左左右前前上下下上后后后前 左右下上三面正投影的方位關(guān)系三面正投影的方位關(guān)系平面立體的投影性質(zhì)平面立體的投影性質(zhì)

16、YWOZYHX3.3.三視圖之間的方位對應(yīng)關(guān)系三視圖之間的方位對應(yīng)關(guān)系 正面圖反映：上、下正面圖反映：上、下 、左、右、左、右 水平面圖反映：前、后水平面圖反映：前、后 、左、右、左、右 左側(cè)立面圖左側(cè)立面圖反映：上、下反映：上、下 、前、后、前、后上上下下左左右右后后前前上上下下前前后后左左右右上上下下左左右右前前后后W WH HV VO OX XZ ZY Y二、空間點(diǎn)在三個投影面上的投影二、空間點(diǎn)在三個投影面上的投影a 正面投影正面投影a 水平投影水平投影a 側(cè)面投影側(cè)面投影a aa A A規(guī)定規(guī)定:空間點(diǎn)空間點(diǎn)-用大寫字母表用大寫字母表示。示。投影點(diǎn)投影點(diǎn)-用相應(yīng)小寫字用相應(yīng)小寫字母表示

17、。母表示。W WH HV VO OX XZ ZY Y二、空間點(diǎn)在三個投影面上的投影二、空間點(diǎn)在三個投影面上的投影a 正面投影正面投影a 水平投影水平投影a 側(cè)面投影側(cè)面投影a aa A A規(guī)定規(guī)定:空間點(diǎn)空間點(diǎn)-用大寫字母表用大寫字母表示。示。投影點(diǎn)投影點(diǎn)-用相應(yīng)小寫字用相應(yīng)小寫字母表示。母表示。X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a 向后向后旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90向下旋轉(zhuǎn)向下旋轉(zhuǎn)90不動不動注意：注意：OY軸一分為軸一分為二：二： YH、Yw三、投影面展開三、投影面展開45 點(diǎn)在三投影面體系中的投影點(diǎn)在三投影面體系中的投影HVOXaaZaXaza”WYHYW帶邊框的三面投影圖帶邊框的

18、三面投影圖OXaaZaXaza”YHYWaYHaYW去邊框的三面投影圖去邊框的三面投影圖點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律 （1 1）點(diǎn)的水平投影和正面投影的連線垂直于）點(diǎn)的水平投影和正面投影的連線垂直于OXOX軸軸 （aaOX) ) （2 2）點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于）點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZOZ軸軸 （aa”O(jiān)Z) )HVOXAaaWYZa”axayaz45OXaaZaXaza”YHYWaYHaYW點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律(3)(3)各投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)到通過該軸的各投影到投影軸的距離，等于該點(diǎn)到通過該軸的相鄰?fù)队懊娴木嚯x。相鄰?fù)队懊娴木嚯x。( (也

19、等于空間點(diǎn)到投影面的距離也等于空間點(diǎn)到投影面的距離) )Aax = a az =A 到到V 面面的距離的距離a ax= a aYW =A 到到H 面面的距離的距離a az = aaYH =A 到到W 面面的距離的距離HVOXAaaWYZa”axayazOXaaZaxaza”YWaYHaYWYH點(diǎn)的三面投影規(guī)律點(diǎn)的三面投影規(guī)律【例2-1】已知點(diǎn)已知點(diǎn)A的水平投影的水平投影a和正面投影和正面投影a , ,求側(cè)面投影求側(cè)面投影a”。中途返回請按“ESC” 鍵aa”aOXZYWYH特殊位置的點(diǎn)特殊位置的點(diǎn) 下一頁下一頁特殊位置的點(diǎn)特殊位置的點(diǎn) 1 1投影面上的點(diǎn)投影面上的點(diǎn)：一投影與該點(diǎn)本身重合，另外

20、兩投影在投影軸上。一投影與該點(diǎn)本身重合，另外兩投影在投影軸上。 2 2投影軸上的點(diǎn)投影軸上的點(diǎn)：兩投影重合于該點(diǎn)本身，另外一投影與原點(diǎn)兩投影重合于該點(diǎn)本身，另外一投影與原點(diǎn)O O重合。重合。 3 3一點(diǎn)與原點(diǎn)重合一點(diǎn)與原點(diǎn)重合：三個投影亦均與原點(diǎn)重合。：三個投影亦均與原點(diǎn)重合。HVOXCBbWYZDddd”b”bc c”O(jiān)XZYHYWbb”cc”ccddd”點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系 HVAaaWYZa”aXayazOXA點(diǎn)到點(diǎn)到W W面的距離面的距離( (Aa”)=A點(diǎn)的點(diǎn)的x坐標(biāo)（坐標(biāo)（Oax x) )A點(diǎn)到點(diǎn)到V V面的距離面的距離( (Aa)=A點(diǎn)的點(diǎn)的y坐標(biāo)（坐標(biāo)（Oa

21、y y) )A點(diǎn)到點(diǎn)到H面的距離面的距離( (Aa)=)=A點(diǎn)的點(diǎn)的z坐標(biāo)（坐標(biāo)（Oaz z) )OXaaZazaXa”YHYWaYHaYWXZYyyxxzz后后前前后后前前左左右右 a a aAb b bBXYZZYHXYWbbaa”b”a兩點(diǎn)的相對位置兩點(diǎn)的相對位置 是指平行于投影軸是指平行于投影軸X、Y、Z 的左右、前后和上下的相對關(guān)系。的左右、前后和上下的相對關(guān)系。X值大的點(diǎn)值大的點(diǎn)在左在左Y值大的點(diǎn)值大的點(diǎn)在前在前Z值大的點(diǎn)值大的點(diǎn)在上在上B點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)的左邊點(diǎn)的左邊A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)的前邊點(diǎn)的前邊A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)的上邊點(diǎn)的上邊左左右右上上下下上上下下 第三節(jié)第三節(jié) 兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn)

22、兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn) 兩點(diǎn)的相對距離，并非指兩點(diǎn)的相對距離，并非指兩點(diǎn)間的真實距離，而是指平兩點(diǎn)間的真實距離，而是指平行行 X、Y、Z軸的距離，即到軸的距離，即到W、V和和H面的距離差面的距離差, ,即：即：一、兩點(diǎn)的相對距離一、兩點(diǎn)的相對距離坐標(biāo)差：坐標(biāo)差：X（長度差）（長度差）Y（寬度差）（寬度差）Z（高度差）（高度差） 二、重影點(diǎn)及可見性重影點(diǎn)及可見性 兩點(diǎn)位于某一投影面的兩點(diǎn)位于某一投影面的同同一條投射線上一條投射線上，則它們在這，則它們在這一個投影面上的投影互相重一個投影面上的投影互相重疊，該兩點(diǎn)疊，該兩點(diǎn)稱為對該投影面稱為對該投影面的一對重影點(diǎn)的一對重影點(diǎn)。 一個投影面上重影點(diǎn)的

23、可見性，必須依靠該兩點(diǎn)一個投影面上重影點(diǎn)的可見性，必須依靠該兩點(diǎn)在另外的投影面上的投影來判定。在另外的投影面上的投影來判定。 規(guī)定規(guī)定：重合投影標(biāo)記為：可見點(diǎn)寫在前面，把不：重合投影標(biāo)記為：可見點(diǎn)寫在前面，把不可見點(diǎn)的字母寫于后面；或者將不可見點(diǎn)加以圓括號?？梢婞c(diǎn)的字母寫于后面；或者將不可見點(diǎn)加以圓括號。 HBa(b)AOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW ABDCFEbaa(b)bac(d)dcdceff ee(f )ef efe(f )cdcdc(d)a(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW 二、重影點(diǎn)及可見性重影點(diǎn)及可見性 H面的重面的重影點(diǎn)影點(diǎn)A、BV面的重面

24、的重影點(diǎn)影點(diǎn)C、DW面的重面的重影點(diǎn)影點(diǎn)E、F三種情況三種情況 三、 有軸投影圖和無軸投影圖有軸投影圖和無軸投影圖 1. 1. 有軸投影圖：表示出投影軸的投影圖。有軸投影圖：表示出投影軸的投影圖。 2. 2. 無軸投影圖：不畫投影軸的投影圖。無軸投影圖：不畫投影軸的投影圖。 投影圖上不畫投影軸時，空間兩點(diǎn)的相對位置、相對距離投影圖上不畫投影軸時，空間兩點(diǎn)的相對位置、相對距離沒有變化，所以表達(dá)其它幾何形體時，可以不畫投影軸。但是沒有變化，所以表達(dá)其它幾何形體時，可以不畫投影軸。但是仍然應(yīng)該想象成空間存在各種方向的投影面和投影軸。因此，仍然應(yīng)該想象成空間存在各種方向的投影面和投影軸。因此，三個投影

25、之間互相排列方向，仍舊按有投影軸時一樣，投影特三個投影之間互相排列方向，仍舊按有投影軸時一樣，投影特性不變，即它們投影之間的連線方向亦不變。性不變，即它們投影之間的連線方向亦不變。 投影的形狀、大小不受物體和投影面之間投影的形狀、大小不受物體和投影面之間的距離影響。的距離影響。正投影法正投影法2 2. 無軸投影圖無軸投影圖HVOXBAababOXaabb 當(dāng)投影面平行移動時，只能引起投影軸的移動，當(dāng)投影面平行移動時，只能引起投影軸的移動，而不能引起投影圖的形狀和大小的變化。而不能引起投影圖的形狀和大小的變化。LH1O1X1La1b1O1X1La1b12 2. 無軸投影圖無軸投影圖 在工程上，一

26、般只要求投影圖能夠表達(dá)空間形體的在工程上，一般只要求投影圖能夠表達(dá)空間形體的形狀和大小，而不需考慮對投影面的距離。因此，可形狀和大小，而不需考慮對投影面的距離。因此，可以不必畫投影軸。以不必畫投影軸。2. 無軸投影圖無軸投影圖HVOXBAababOXaabbLH1O1X1La1b1O1X1La1b1HVOXBAababOXaabbLH1O1X1La1b1O1X1La1b1不畫出投影軸的正投影圖就叫做不畫出投影軸的正投影圖就叫做無軸投影圖無軸投影圖。 2. 無軸投影圖無軸投影圖 2. 無軸投影圖無軸投影圖 【例【例2-22-2】已知】已知A點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影a、a”，B點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影b、b。 求

27、求a、b”。單擊綠色按紐單擊綠色按紐第四節(jié)第四節(jié) 直直 線線 的的 投投 影影直線的投影直線的投影直線的實長直線的實長 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)兩直線的相對位置兩直線的相對位置直線的投影特性直線的投影特性 空間直線是無限長的，但在投影圖中我們常以空間直線是無限長的，但在投影圖中我們常以有限長的線段來代表直線。直線的空間位置可由直有限長的線段來代表直線。直線的空間位置可由直線上任意兩點(diǎn)的位置確定（或直線上一點(diǎn)及指向）。線上任意兩點(diǎn)的位置確定（或直線上一點(diǎn)及指向）。 直線的投影一般仍為直線。直線的投影一般仍為直線。 HH直線的投影特性直線的投影特性 Ha(b)BAabbaABAB 當(dāng)直線垂直投影面時，

28、其投影當(dāng)直線垂直投影面時，其投影積聚為一點(diǎn)積聚為一點(diǎn)，如圖（，如圖（a）所）所示；當(dāng)直線平行投影面時，其投影與直線本身示；當(dāng)直線平行投影面時，其投影與直線本身平行且相等平行且相等，如，如圖（圖（b）所示；當(dāng)直線傾斜于投影面時，其投影的長度比直線）所示；當(dāng)直線傾斜于投影面時，其投影的長度比直線本身的本身的長度縮短長度縮短，如圖（，如圖（c）所示。）所示。(a)(b)(c)OXBAababOXaabb直線的投影圖直線的投影圖 VH 作直線的投影，只需作出直線上兩端點(diǎn)的投影，并連接該作直線的投影，只需作出直線上兩端點(diǎn)的投影，并連接該兩點(diǎn)在同一投影面上的投影（簡稱同面投影）即可。兩點(diǎn)在同一投影面上的投

29、影（簡稱同面投影）即可。 在投影圖中，直線的投影用在投影圖中，直線的投影用粗實線粗實線表示。直線的名稱可由表示。直線的名稱可由其端點(diǎn)表示（如直線其端點(diǎn)表示（如直線AB，三個投影表示為，三個投影表示為ab、ab、ab）；）；也可以用一個字母表示（直線也可以用一個字母表示（直線L，它的投影表示為它的投影表示為l、l、l)。直線對投影面的相對位置直線對投影面的相對位置 在三投影面體系中，根據(jù)直線與投影面的相對位在三投影面體系中，根據(jù)直線與投影面的相對位置不同，直線可分為置不同，直線可分為投影面垂直線投影面垂直線、投影面平行線投影面平行線和和一般位置直線一般位置直線。前二者統(tǒng)稱為。前二者統(tǒng)稱為特殊位置

30、直線特殊位置直線。 投影面垂直線投影面垂直線 垂直于某一個投影面，而平行于另兩個投影面的垂直于某一個投影面，而平行于另兩個投影面的直線稱為直線稱為投影面垂直線投影面垂直線。投影面垂直線有三種情況：。投影面垂直線有三種情況： 垂直于垂直于H面的直線稱為面的直線稱為鉛垂線鉛垂線； 垂直于垂直于V面的直線稱為面的直線稱為正垂線正垂線； 垂直于垂直于W面的直線稱為面的直線稱為側(cè)垂線側(cè)垂線。鉛垂線鉛垂線 ABH單擊橙色按鈕鉛垂線鉛垂線 ABH H H面垂直線具有下列投影特性：面垂直線具有下列投影特性： (1)(1)在在H H面上的投影積聚成一點(diǎn)面上的投影積聚成一點(diǎn); ; (2)(2)在另外兩個投影面上在

31、另外兩個投影面上V V、W W的投影，反映了實長，并共同平的投影，反映了實長，并共同平行于同一條投影軸行于同一條投影軸Z Z。ZXOYHYWb a b a a(b)b a(b)a a b ABVWYXZOHOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW 三種投影面垂直線的立體圖、投影圖三種投影面垂直線的立體圖、投影圖ABABBAbaa(b)ba(a)babababbaa(b )ababa(b )baba(a)ba(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性 投影特性：直線在其垂直的投影面上的投影投影特性：

32、直線在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)積聚為一點(diǎn)；在另兩投影面上的投影在另兩投影面上的投影共同平行于這兩個投影面交成的投影軸共同平行于這兩個投影面交成的投影軸（或分別垂直于相應(yīng)的投影軸），且（或分別垂直于相應(yīng)的投影軸），且反映直線實長反映直線實長。 讀圖時，讀圖時，只要一投影積聚為一點(diǎn)，只要一投影積聚為一點(diǎn)，即可斷定該直線是投影即可斷定該直線是投影面垂直線（垂直于積聚投影所在投影面）。面垂直線（垂直于積聚投影所在投影面）。OZXYHYWOZXYHYWababa(b )baba(a)ba(b)baabOZXYHYW投影面平行線投影面平行線 平行于某一個投影面，傾斜于另兩個投影面的直平行于某一個投

33、影面，傾斜于另兩個投影面的直線稱為線稱為投影面平行線投影面平行線。投影面平行線有三種情況：。投影面平行線有三種情況： 平行于平行于H面的直線稱為面的直線稱為水平線水平線； 平行于平行于V面的直線稱為面的直線稱為正平線正平線； 平行于平行于W面的直線稱為面的直線稱為側(cè)平線側(cè)平線。 水平線水平線 ABHXza b a b OYHYWba Zaa b a bb ABVWYXO (1)(1)在在H面上的投影，平行于直線本身，且為等長；該投影面上的投影，平行于直線本身，且為等長；該投影與水平方向和豎直方向間夾角，分別反映了直線對其他兩個投與水平方向和豎直方向間夾角，分別反映了直線對其他兩個投影面傾角的大

34、小。影面傾角的大小。 H (2)(2)直線在它不平行的兩個投影面上直線在它不平行的兩個投影面上V、W的兩個投影，共同的兩個投影，共同垂直于這兩個投影面交成的投影軸垂直于這兩個投影面交成的投影軸Z。 VWHZXYOZXYHYWZXYHYWOZXYHYW 三種投影面平行線三種投影面平行線BAabababABbOabaabababbaBAabababbOabaabOababbaVWHZXYOVWHZXYO水平線水平線正平線正平線側(cè)平線側(cè)平線三種投影面平行線三種投影面平行線 投影特性：投影特性：直線在其平行的投影面上的投影，直線在其平行的投影面上的投影，平行于直線平行于直線本身，且反映實長本身，且反映

35、實長；該投影與水平方向和豎直方向間夾角，分；該投影與水平方向和豎直方向間夾角，分別別反映了直線與另兩投影面的傾角反映了直線與另兩投影面的傾角；在另兩投影面上的投影在另兩投影面上的投影共共同垂直于這兩個投影面交成的投影軸（或分別平行于相應(yīng)的投同垂直于這兩個投影面交成的投影軸（或分別平行于相應(yīng)的投影軸），且不反映線段的實長影軸），且不反映線段的實長。 讀圖時，讀圖時，一個投影平行于投影軸，而另一投影傾斜于投影一個投影平行于投影軸，而另一投影傾斜于投影軸，軸，即可斷定該直線是投影面平行線。即可斷定該直線是投影面平行線。ZXYHYWZXYHYWOZXYHYWabababbOcbccbOababba一般

36、位置直線一般位置直線 1.一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性 三個投影面上的投影三個投影面上的投影均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸，且小于空間線段的實，且小于空間線段的實長；三個投影與相應(yīng)軸的夾角均不反映直線對投影面的傾角。長；三個投影與相應(yīng)軸的夾角均不反映直線對投影面的傾角。 a a aa b a bb AZVWYXOHBXOYHYWZa b a b ab一般位置直線一般位置直線 1.一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性 讀圖時，讀圖時，只要直線的任兩投影呈傾斜狀態(tài)只要直線的任兩投影呈傾斜狀態(tài)，即可斷定該直，即可斷定該直線是一般位置直線。線是一般位置直線。 a a aa b a

37、 bb AZVWYXOHBXOYHYWZa b a b ab第五節(jié)第五節(jié) 一般位置直線的實長和傾角一般位置直線的實長和傾角 aa b bAZVYXOHBa aXOa b abZAZBZAZBKa aABZBZAZBZA 直角三角形法：直角三角形法：在直角在直角AKB中中,直角邊直角邊AKab；BKBbAa,即即A、B兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差；斜邊坐標(biāo)差；斜邊AB為實長；為實長；AB與與AK的夾角，就的夾角，就是直線是直線AB 對對H 面的傾角面的傾角。一般位置直線的實長和傾角一般位置直線的實長和傾角 XOa b abABYAYBYAYB 直角三角形法求直線的實長及直角三角形法求直線的實長及其對某投

38、影面的傾角其對某投影面的傾角: : 應(yīng)以線段在應(yīng)以線段在該投影面上的投影該投影面上的投影長度為一直角邊長度為一直角邊； 以線段以線段兩端點(diǎn)到該投影面的距兩端點(diǎn)到該投影面的距離差（坐標(biāo)差）為另一直角邊離差（坐標(biāo)差）為另一直角邊構(gòu)成構(gòu)成直角三角形。直角三角形。 直角三角形的直角三角形的斜邊為線段的實斜邊為線段的實長長，斜邊與投影的夾角即為空間直斜邊與投影的夾角即為空間直線對該投影面的傾角線對該投影面的傾角。 【例【例 】直線】直線AB長長30mm，試補(bǔ)全其正面投影，試補(bǔ)全其正面投影ab。 XOB0 分析：分析：根據(jù)直角三角形法，由已知直線的根據(jù)直角三角形法，由已知直線的H投影及實長，作投影及實長，

39、作出直線出直線AB的的Z坐標(biāo)差，便可得到點(diǎn)坐標(biāo)差，便可得到點(diǎn)B正面投影正面投影b，連接，連接ab即可。即可。 a ab作圖：作圖：（1）過）過b作作ab的垂線；的垂線；（2）過）過a作作30mm長的線段交長的線段交ab的垂線于的垂線于B0；（3）過）過b作作OX軸的垂線與由過軸的垂線與由過a的水平線交于的水平線交于點(diǎn)點(diǎn)b0，在該垂線，在該垂線上量取上量取 ZAZB bB0b0b，連接連接ab即為所求。即為所求。另一解為另一解為ab1。30mmb0 b b1 【例】【例】 試判斷三棱錐各棱線相對于投影面的位置試判斷三棱錐各棱線相對于投影面的位置XOa abYHSA、SC:YWZb c s ca

40、(c )s b 一般位置直線一般位置直線 SB : 側(cè)平線側(cè)平線AB、BC:水平線水平線 AC : 側(cè)垂線側(cè)垂線s第六節(jié)第六節(jié) 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn) 直線上一點(diǎn)的投影，必在該直線的同面投影上，且符合點(diǎn)直線上一點(diǎn)的投影，必在該直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律的投影規(guī)律。 (點(diǎn)點(diǎn)E在直線在直線AB上，點(diǎn)上，點(diǎn) K不在直線不在直線AB上上 )aa bAVXOHBXOa b abb KEek e k ekke b 直線上的點(diǎn)的投影直線上的點(diǎn)的投影 判斷點(diǎn)是否在直線上判斷點(diǎn)是否在直線上 一般情況下一般情況下，根據(jù)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的兩個投影是否在直線的同的兩個投影是否在直線的同面投影上就可以確定。面投影上就

41、可以確定。 當(dāng)當(dāng)直線是某一投影面直線是某一投影面的平行線的平行線時，還應(yīng)觀察直線時，還應(yīng)觀察直線所平行的那個投影面上的投所平行的那個投影面上的投影，才能判別一點(diǎn)是否在直影，才能判別一點(diǎn)是否在直線上。線上。XOa abYHYWZa b c cc 故故C點(diǎn)不在點(diǎn)不在AB上。上。 直線上的線段之比直線上的線段之比 點(diǎn)點(diǎn)E在直線在直線AB上上AE:EBae:eb ae: eb ae: eb。 aa bAVXOHBb Ee e 由平行投影的特性可知：若點(diǎn)在線上，由平行投影的特性可知：若點(diǎn)在線上，點(diǎn)分空間線段長度之點(diǎn)分空間線段長度之比等于其同面投影長度之比比等于其同面投影長度之比。 【例【例 】 試把已知

42、線段試把已知線段AB分成分成AC:CB2:3。 XO 分析：分析：由定比性知：由定比性知：ac:cbac: cbAC:CB2:3，為此，用幾何作圖的，為此，用幾何作圖的方法分線段方法分線段AB的一個投影（如的一個投影（如ab）為）為ac:cb2:3，可得，可得C點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影c；然后；然后按直線上點(diǎn)的投影特性在按直線上點(diǎn)的投影特性在ab上定出上定出c，C（c、c）即為所求。即為所求。 a b作圖：作圖：（1）過投影）過投影a作任意輔助線作任意輔助線aB0，在此線上度量五等分，使在此線上度量五等分，使aC0:C0B0=2:3，確定，確定C0；（2）連）連b和和B0，再過，再過C0作輔助

43、線平行作輔助線平行于于B0b交交ab于點(diǎn)于點(diǎn)c，在水平投影在水平投影ab上得上得分點(diǎn)分點(diǎn)C的水平投影的水平投影c ；（3）再由）再由c向上作鉛垂連系線，在正向上作鉛垂連系線，在正面投影面投影ab上得分點(diǎn)上得分點(diǎn)C的正面投影的正面投影c。b B0C0ac cd 定比法定比法:把正面投影把正面投影e 所分所分cd的比的比m:n移到移到cd上面作出上面作出e 。XOc dc 分析：分析：分析：由投影可知分析：由投影可知CD為側(cè)平線，由為側(cè)平線，由e 不能直接對應(yīng)不能直接對應(yīng)作出投影作出投影e，因此可用定比法或第三投影作圖。，因此可用定比法或第三投影作圖。nmnm作出第三面投影：作出第三面投影： 先作

44、出先作出CD的側(cè)面投影的側(cè)面投影cd，再在，再在cd上作出上作出e，最后在，最后在cd上上找到找到e。Zc d YHYWe e e【例【例 】已知側(cè)平線】已知側(cè)平線CD上一點(diǎn)上一點(diǎn)E的正面投影的正面投影e，要求作出點(diǎn)，要求作出點(diǎn)E的水的水平投影平投影e。 直線的跡點(diǎn)直線的跡點(diǎn) 直線與投影面的交點(diǎn)，稱為該直線的直線與投影面的交點(diǎn)，稱為該直線的跡點(diǎn)跡點(diǎn)。 水平跡點(diǎn)水平跡點(diǎn)或或H面跡點(diǎn)面跡點(diǎn)：直線與直線與H投影面的交點(diǎn)；投影面的交點(diǎn)； 正面跡點(diǎn)正面跡點(diǎn)或或V面跡點(diǎn)：面跡點(diǎn)：直線與直線與V投影面的交點(diǎn)；投影面的交點(diǎn)； 側(cè)面跡點(diǎn)側(cè)面跡點(diǎn)或或W面跡點(diǎn)：面跡點(diǎn)：直線與直線與W投影面的交點(diǎn)。投影面的交點(diǎn)。 跡

45、點(diǎn)是投影面上的點(diǎn)，故跡點(diǎn)在它所在的投影跡點(diǎn)是投影面上的點(diǎn)，故跡點(diǎn)在它所在的投影面上的投影，與本身重合，在另外投影面上的投影在面上的投影，與本身重合，在另外投影面上的投影在投影軸上。投影軸上。 ba AVXOHBb n Nnm 延長延長AB直線，與直線，與H面面交于交于M點(diǎn)（點(diǎn)（水平跡點(diǎn)水平跡點(diǎn)），），其其H面投影面投影m在在ab上又與上又與M重合，而重合，而V面投影面投影 m必必在在OX軸上又在軸上又在ab 上；上； 延長延長AB直線，與直線，與V面面交于交于N點(diǎn)（點(diǎn)（正面跡點(diǎn)正面跡點(diǎn)），），其其V面投影面投影n在在ab上又與上又與N重合，而重合，而H面投影面投影n在在OX軸上又在軸上又在ab

46、上。上。mMa直線的跡點(diǎn)直線的跡點(diǎn) 直線上的線段之比直線上的線段之比 求作跡點(diǎn)投影的過程：求作跡點(diǎn)投影的過程：水平跡點(diǎn)：水平跡點(diǎn)：延長延長AB的正面投的正面投影影ab 與與OX軸相交于軸相交于m, ,再由再由m引引OX軸的垂線與直線的水軸的垂線與直線的水平投影平投影ab的延長線相交得的延長線相交得m。正面跡點(diǎn)：正面跡點(diǎn)：延長延長AB的水平投的水平投影影ab與與OX軸相交于軸相交于n,再由再由n引引OX軸的垂線與直線的正面投軸的垂線與直線的正面投影影ab的延長線相交得的延長線相交得n。XOa abb mm n n第七節(jié)第七節(jié) 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 兩直線在空間的相對位置有三種：即兩直

47、線在空間的相對位置有三種：即平行平行、相交相交、交叉交叉。特殊情況下為互相。特殊情況下為互相垂直垂直。兩平行、相交直線均。兩平行、相交直線均為為共面直線共面直線，交叉兩直線為，交叉兩直線為異面直線異面直線。c d 平行兩直線平行兩直線 若空間兩直線互相平行，則其同面投影也平行；反之，若若空間兩直線互相平行，則其同面投影也平行；反之，若兩直線的同面投影互相平行，則此空間兩直線一定平行。兩直線的同面投影互相平行，則此空間兩直線一定平行。 VWHcda b c d BACDa b abXZa b a b OYHYWbacdc d c d 平行兩直線平行兩直線根據(jù)投影根據(jù)投影判斷兩直線是否平行判斷兩直

48、線是否平行: 對于對于一般位置的兩直線一般位置的兩直線，僅根據(jù)直線的任意兩個同面投影，僅根據(jù)直線的任意兩個同面投影是否平行即可判別它們在空間是否平行；是否平行即可判別它們在空間是否平行； XZa b a b OYHYWbacdc d c d XOa 對于對于平行于同一投影面的兩直線平行于同一投影面的兩直線，則需要有一組是被平行的，則需要有一組是被平行的投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和長度之比是否一致投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和長度之比是否一致來確定。來確定。 ZYHYW平行兩直線平行兩直線b abc d cda b d c XOa ZYHYWb abc d dca b d

49、c 平行平行 不平行不平行 相交兩直線相交兩直線 若空間兩直線相交，則其同面投影也相交，且各投影的交若空間兩直線相交，則其同面投影也相交，且各投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。VWHBACDabXZYOcdc d a b k kKc d b a k XZa b a b OYHYWbacdc d c d kk k 反之，若兩直線的同面投影相交，且各同面投影的交點(diǎn)的反之，若兩直線的同面投影相交，且各同面投影的交點(diǎn)的連線符合空間一點(diǎn)的投影特性，則兩直線在空間一定相交。連線符合空間一點(diǎn)的投影特性，則兩直線在空間一定相交。 兩條一般位置直線，只要任意兩組同面投影符合上述條件，兩條一般位置直

50、線，只要任意兩組同面投影符合上述條件，即可肯定兩直線相交。即可肯定兩直線相交。 f e f e efghg h g h 不相交不相交相交兩直線相交兩直線 如兩直線中，只要有一條為如兩直線中，只要有一條為某投影面的平行線某投影面的平行線，如要判別，如要判別它們是否相交，應(yīng)畫出在該投影面上的同面投影才能肯定，或它們是否相交，應(yīng)畫出在該投影面上的同面投影才能肯定，或者利用分比法來判定。者利用分比法來判定。 a b cbadc d c d 不相交不相交相交兩直線相交兩直線e a 【例】【例】 判別四邊形判別四邊形ABCD是否為平面四邊形。是否為平面四邊形。 O 分析：分析：若四邊形若四邊形ABCD為平

51、面四邊形，則四邊形的兩對角線一為平面四邊形，則四邊形的兩對角線一定相交，否則為空間四邊形。定相交，否則為空間四邊形。a作圖：作圖：（1）連接）連接ac和和ac；（2）連接）連接bd和和bd；（3）檢查）檢查ac和和bd的交點(diǎn)的交點(diǎn)與與ac和和bd的交點(diǎn)的交點(diǎn)連線是否垂直連線是否垂直于于OX軸。因交點(diǎn)連線軸。因交點(diǎn)連線不垂不垂直于直于OX軸，所以可判別四邊形軸，所以可判別四邊形ABCD不是平面四邊形。不是平面四邊形。 a Xb c d bcd否否 空間既不平行又不相交的兩直線，稱為空間既不平行又不相交的兩直線，稱為交叉兩直線交叉兩直線。交叉兩。交叉兩直線的各面投影不具備兩平行或相交直線的投影特性

52、。直線的各面投影不具備兩平行或相交直線的投影特性。交叉兩直線交叉兩直線 XOa ZYHYWb abc d dca b d c 交叉交叉 f e f e efghg h g h 交叉交叉 VXOH交叉兩直線交叉兩直線 空間交叉兩直線在任何投影面上的投影的交點(diǎn)是空間兩個點(diǎn)空間交叉兩直線在任何投影面上的投影的交點(diǎn)是空間兩個點(diǎn)的重合投影，這兩個點(diǎn)分屬于兩條直線上，因為它們位于同一投的重合投影，這兩個點(diǎn)分屬于兩條直線上，因為它們位于同一投射線上，是射線上，是重影點(diǎn)重影點(diǎn)。投影時，需判斷重影點(diǎn)的。投影時，需判斷重影點(diǎn)的可見性可見性。 ABCDb a d c abcdMNm(n)n m k (l )LKkl

53、aa Xb c d bcOdm(n)m n lkk (l )VH垂直兩直線垂直兩直線 相交兩直線的夾角的投影一般不反映角的實際大小，只有當(dāng)相交兩直線的夾角的投影一般不反映角的實際大小，只有當(dāng)構(gòu)成夾角的構(gòu)成夾角的兩直線平行于同一投影面時兩直線平行于同一投影面時，在該投影面上的投影反，在該投影面上的投影反映兩直線間的映兩直線間的真實夾角真實夾角， b a c BACabcabcb a c VH垂直兩直線垂直兩直線 空間垂直空間垂直的兩直線，若其中有的兩直線，若其中有一條直線平行于某一投影面一條直線平行于某一投影面，另一條不平行也不垂直于該投影面時，則兩直線另一條不平行也不垂直于該投影面時，則兩直線

54、在該投影面上的在該投影面上的投影反映直角投影反映直角，此定理稱為，此定理稱為直角投影定理直角投影定理。 b a c BACabcABBC、ABBbabABABBbcC平面平面abBbcC平面平面abbc。證明：證明： VH垂直兩直線垂直兩直線 空間垂直空間垂直的兩直線，若其中有的兩直線，若其中有一條直線平行于某一投影面一條直線平行于某一投影面，另一條不平行也不垂直于該投影面時，則兩直線另一條不平行也不垂直于該投影面時，則兩直線在該投影面上的在該投影面上的投影反映直角投影反映直角，此定理稱為直角投影定理。，此定理稱為直角投影定理。 b a c BAababcb a c 垂直兩直線垂直兩直線 逆定

55、理：即若兩直線的逆定理：即若兩直線的同面投影垂直同面投影垂直，且其中一條直線平行且其中一條直線平行該投影面該投影面，則可判定該兩直線在，則可判定該兩直線在空間相互垂直空間相互垂直。 VHb a c BACabcabcb a c 垂直兩直線垂直兩直線 直角投影定理不僅適用于相交垂直的兩直線，也適用于直角投影定理不僅適用于相交垂直的兩直線，也適用于交叉交叉垂直的兩直線。垂直的兩直線?！纠壳簏c(diǎn)【例】求點(diǎn)C到正平線到正平線AB的距離的距離CD。 分析分析：點(diǎn)到直線的距離，是由該點(diǎn)到該直線所引垂線之長。直線：點(diǎn)到直線的距離，是由該點(diǎn)到該直線所引垂線之長。直線AB為正為正平線，所以點(diǎn)平線，所以點(diǎn)C到到A

56、B的距離的距離CD和和AB的正面投影的正面投影ab與與cd一定相互垂直（一定相互垂直（直角直角投影定理投影定理）。因此，先求出垂線的正面投影，然后求出水平投影，最后用直）。因此，先求出垂線的正面投影，然后求出水平投影，最后用直角三角形法求出垂線實長。角三角形法求出垂線實長。 acb a c bd dCD作圖：作圖：（1 1）作）作cdab交于交于ab一一點(diǎn)點(diǎn)d。（2 2）由）由d 作豎直連系線交作豎直連系線交ab于一點(diǎn)于一點(diǎn)d，并連結(jié)，并連結(jié)cd。（3 3）利用直角三角形法求）利用直角三角形法求出出CD的實長的實長?！纠恳阎叫巍纠恳阎叫蜛BCD對角線的投影，對角線的投影，B在在A的

57、下的下方試完成正方形的兩面投影。方試完成正方形的兩面投影。 分析分析：正方形對角線一定相交垂直且等長，由正方形對角線一定相交垂直且等長，由acox軸，對角線軸，對角線AC為水為水平線，因此兩對角線的水平投影平線，因此兩對角線的水平投影acbd。又因。又因BDACac，且對角線半長，且對角線半長KCkc，由對角線的半長的水平投影，由對角線的半長的水平投影kb可求出其可求出其kb的長度和的長度和K、B的的Z坐標(biāo)差。坐標(biāo)差。 aeb a c bd 作圖：作圖：（1 1）求中點(diǎn)的投影）求中點(diǎn)的投影k、k，并過，并過k作對角線作對角線AC的水平投影的水平投影ac。（2 2）直角三角形法求（）直角三角形法

58、求（kbe），求出求出K、B的的Z坐標(biāo)差，并求出坐標(biāo)差，并求出b。（3 3）過）過k作對角線作對角線BD的正面投的正面投影影bd，連接對角線的端點(diǎn)，即完，連接對角線的端點(diǎn)，即完成正方形成正方形ABCD的兩面投影。的兩面投影。oxdk kc第八節(jié)第八節(jié) 平平 面面平面的投影平面的投影平面對投影面的相對位置平面對投影面的相對位置平面上的點(diǎn)和線平面上的點(diǎn)和線平面上的特殊線平面上的特殊線平面幾何元素表示法平面幾何元素表示法cbacbaccabbaabccabccaabccababdd不在一直線上三點(diǎn)不在一直線上三點(diǎn)一直線和線外一點(diǎn)一直線和線外一點(diǎn)相交兩直線相交兩直線平行兩直線平行兩直線任意平面圖形任意

59、平面圖形平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì)1 1、平面圖形的投影，由平面圖形的輪廓線的投影表示。、平面圖形的投影，由平面圖形的輪廓線的投影表示。 abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì)(a)bcad 2 2、平面圖形傾斜于某投影面時，在該面上的投影是一個、平面圖形傾斜于某投影面時，在該面上的投影是一個類似圖形，但形狀、大小均可變化類似圖形，但形狀、大小均可變化( (圖圖a)a)。 平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì)(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf積聚投影3 3、平面垂直于某投影面時，在該面上的投影積聚成一、平面垂直于某投影面時，在該面上的投

60、影積聚成一直線直線( (圖圖b)b)。 平面的投影性質(zhì)平面的投影性質(zhì)(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf4 4、平面平行于某投影面時，在該面上的投影反映平面、平面平行于某投影面時，在該面上的投影反映平面圖形的真實性狀、大小和方向等圖形的真實性狀、大小和方向等( (圖圖c)c)。 (c)badc跡線表示法跡線表示法跡線是平面與投影面的交線。跡線是平面與投影面的交線。 VHWPPHPVPW側(cè)面跡線水平跡線正面跡線P（跡線平面）跡線平面表示法跡線平面表示法 作出跡線平面的三面投影，由此三面投影即作出跡線平面的三面投影，由此三面投影即可確定平面?？纱_定平面。跡線表示法跡線表示法跡線平面表示