選修4-5第二節(jié)不等式證明、柯西不等式與平均值不等式1

1、選選修修4-54-5不不等等式式選選講講第二第二節(jié)節(jié)不等不等式的式的證明、證明、柯西柯西不等不等式與式與平均平均值不值不等式等式抓抓 基基 礎(chǔ)礎(chǔ)提提 能能 力力明明 考考 向向返回 備考方向要明了備考方向要明了返回返回返回返回返回一、比較法一、比較法1求差比較法求差比較法知道知道abab0，abab0，因此要證明，因此要證明ab，只要證明，只要證明 即可，這種方法稱為求差即可，這種方法稱為求差比較法比較法ab0返回二、分析法二、分析法從所要證明的從所要證明的 出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事條件，直至所需條件為已知條件或一個

2、明顯成立的事實，從而得出要證的命題成立，這種證明方法稱為分實，從而得出要證的命題成立，這種證明方法稱為分析法，即析法，即“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”的證明方法的證明方法三、綜合法三、綜合法從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理，論證而得出命題成立，這種證明經(jīng)過一系列的推理，論證而得出命題成立，這種證明方法稱為綜合法即方法稱為綜合法即“由因?qū)す梢驅(qū)す钡姆椒ǖ姆椒ńY(jié)論結(jié)論返回四、放縮法四、放縮法在證明不等式時，有時我們要把所證不等式中的某些在證明不等式時，有時我們要把所證不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的部

3、分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的這種方法稱為放縮法目的這種方法稱為放縮法返回五、反證法的步驟五、反證法的步驟1作出否定作出否定 的假設(shè)；的假設(shè)；2進行推理，導出進行推理，導出 ；3否定否定 ，肯定，肯定 結(jié)論結(jié)論矛盾矛盾假設(shè)假設(shè)結(jié)論結(jié)論返回(acbd)2返回2柯西不等式的向量形式：設(shè)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個向為平面上的兩個向 量，則量，則|，其中等號當且僅當兩個向量，其中等號當且僅當兩個向量 方向相同或相反時成立方向相同或相反時成立 返回返回返回返回返回返回返回返回1綜合法與分析法的內(nèi)在聯(lián)系綜合法與分析法的內(nèi)在聯(lián)系綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清

4、綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚當問題比較復雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起楚當問題比較復雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達整個證明過程表達整個證明過程返回2放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有(1)不等式的傳遞性；不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；等量加不等量為不等量；(3)同分子同分子(分母分母)異分母異分母(分子分子)的兩個分式大小的比較的兩個分式大小的比較注意：放縮要適度，注意：放縮要適度，“放放”和和“縮縮”的方向與的方向與“放放”

5、和和“縮縮”的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出返回返回精析考題精析考題例例1(2011福建高考福建高考)設(shè)不等式設(shè)不等式|2x1|1的解集為的解集為M.(1)求集合求集合M; (2)若若a，bM，試比較，試比較ab1與與ab的大小的大小返回自主解答自主解答(1)由由|2x1|1，得，得12x11，解得解得0 x1，所以，所以Mx|0 x1(2)由由(1)和和a，bM可知可知0a1,0b1.所以所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0, 故故ab1ab.返回本例條件不變，試比較本例條件不變，試比較logm(ab1)與與logm(ab)(m0且且m1)的大小的

6、大小解：解：0a1,0b1，(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故故ab1ab.當當m1時，時，ylogmX在在(0，)上遞增，上遞增，logm(ab1)logm(ab)當當0m1時時logmX在在(0，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，logm(ab1)logm(ab)返回巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)返回返回返回沖關(guān)錦囊沖關(guān)錦囊 比較法證明不等式最常用的是作差法，其基本步驟是比較法證明不等式最常用的是作差法，其基本步驟是(1)作差；作差；(2)變形；變形；(3)判斷差的符號；判斷差的符號；(4)下結(jié)論其中下結(jié)論其中“變變形形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連

7、乘積的形式或平方和是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負.返回精析考題精析考題例例2(2011安徽高考安徽高考)(1)設(shè)設(shè)x1，y1，證明，證明xyxy；(2)設(shè)設(shè)1abc，證明，證明logablogbclogcalogbalogcblogac.返回返回返回返回巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)返回返回4(2012南通二調(diào)南通二調(diào))設(shè)設(shè)x，y，z為正數(shù)，求證：為正數(shù)，求證：2(x3y3 z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)返回證明：證明：因為因為x2y22xy0，

8、所以所以x3y3(xy)(x2xyy2)xy(xy)，同理同理y3z3yz(yz)，z3x3zx(zx)，三式相加即可得三式相加即可得2(x3y3z3)xy(xy)yz(yz)zx(zx)，又因為又因為xy(xy)yz(yz)zx(zx)x2(yz)y2(xz)z2(xy)所以所以2(x3y3z3)x2(yz)y2(xz)z2(xy)返回返回2分析法證明不等式的注意事項：用分析法證明不等式分析法證明不等式的注意事項：用分析法證明不等式時，不要把時，不要把“逆求逆求”錯誤地作為錯誤地作為“逆推逆推”，分析法的過程僅，分析法的過程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時，應正確使用