冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)剖析

1、謝文清 江權(quán)霞(指導(dǎo)老師：陳引蘭)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院1001班qQ摘要：形如 V an(x -Xo)n = a。 a/x -Xo) a 2(x - Xof 爲(wèi)X - x oj-的函數(shù)n z0項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為幕級(jí)數(shù)，幕級(jí)數(shù)可以看成是一個(gè)“無(wú)限次多項(xiàng)式”它無(wú)論在理論上還是實(shí)踐上都是一個(gè)有力的工具本文主要運(yùn)用幕級(jí)數(shù)的展開式，對(duì)無(wú)理數(shù)二，e,ln 2等，利用計(jì)算機(jī)相關(guān)軟件，進(jìn)行近似計(jì)算關(guān)鍵詞：幕級(jí)數(shù)、近似計(jì)算1.理論依據(jù)以某個(gè)幕級(jí)數(shù)展開式為基礎(chǔ)，然后把所需要求的量表達(dá)成級(jí)數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個(gè)量的近似值，誤差用余項(xiàng)rn(x)估計(jì).我們先給出一些基本初等函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式及它們對(duì)應(yīng)的余項(xiàng)nx+n!-

2、 n23X“ xx1 xn!2!3!n 2xrn ：(n 1)! (n 2)!00 1)nJLx2 arctanx 八 () -n二2n -1n 2n：1n 1 2n：；3(1) x (1) x rn :2n 12n 3 arcsinx 二x +(2n 川n=1 (2n)!(2n +1)! x2n卅十(2n+3)! 邛 _ (2n 2)! 2n 3(2n 4)!n n2(1) xxx -n23n 1 n 2(-1) Xn +2ex八n z0n 1x In(1+x)二n 4n n 1 (-1) x rn ： n +12 .二的近似計(jì)算35n 1 2njjx x(1) x=X 3!5!2n12n

3、1 x2n 12n 3x2n 53nJ nx (-1) x"I * * # I I * *n本節(jié)利用兩個(gè)函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式來(lái)近似計(jì)算二，在相同的誤差條件下,取不同的x，若取級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和作為二的近似值，對(duì)應(yīng)的n值不一樣，這就為幕級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用提供了很大的空間由函數(shù)y =arctanx的幕級(jí)數(shù)展開式知arctanxn2n-1衆(zhòng)(j) Xn d 2n -1若取x =1時(shí),一=1_ 1 -(_1)n 143 52n-1(1)1 1 1=二-4(1+(-1)n)352n 1等式的右端是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)且是收斂的，實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們只能使用有限項(xiàng)。如果取級(jí)數(shù)前n項(xiàng)之和作為二的近似值1 1 1

4、即一 4（q*）n），其誤差為n2n 12n+1為了保證誤差不超過(guò)10-，就要取級(jí)數(shù)（1）的前20000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算 量之大可以想象.它的收斂速度很慢.對(duì)于arctanx展開式而言，當(dāng)x越小收斂越快，恰恰在端點(diǎn)x=1收斂最慢.以下取的求和的級(jí)數(shù)相應(yīng)它的收斂速度要稍快現(xiàn)若取x=f帶入展開式得 (6、33.3(r)5( -1)心 一(1)2n5、3A二2出（1一3nJ 11 1 丄-1 丄(-1)2n 11尹)若取級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和作為二的近似值，其誤差為rn11111-： - 2.3(1 1 11丄一12(一1嚴(yán) 1_3 35327332n -1 3nJ1)2.3<(2n+1) 3nF面實(shí)

5、現(xiàn) 式的計(jì)算，若要求誤差小于10（計(jì)算二的程序見附錄1）當(dāng)n=8時(shí),19 39理=2、.3(1 -131現(xiàn)取X二-211! - 1!，1!) =3.141673 5 32 7 3315 371口口兀，:詢ct形，顯見4,記 '蔦，而1 - 1 tan ：二 ta n( ) ，所以：二 arcta n 433兀11 二 arc tan arc tan 42，就是111 1 1 二 4(一2 3 235 25+13 213+ 1丄+1 丄 + +($413 3 335 3513 313)F面實(shí)現(xiàn) 的計(jì)算，若要求誤差小于10*（計(jì)算二的程序見附錄2）當(dāng)n=7時(shí),: =4（- -11 45 .

6、 亠 1 一1 1 1 丄.（一1嚴(yán) 亠）=3.141562 3 235 2513 23 3 335 313 3對(duì)于y=arctanx ,誤差一樣（如要求誤差小于10二）,取不同的x，對(duì)應(yīng)部分和的項(xiàng)數(shù)n與近似計(jì)算的二值如下表x1312n20000873.141673.141561對(duì)于arc sin x的展開式而言，取 -二1 丄（2n-1）!1十匚62 nA （2n 川 2n 1F面實(shí)現(xiàn) 的計(jì)算，若要求誤差小于10*（計(jì)算二的程序見附錄3）當(dāng)n=4時(shí),7!98! 9 2:10*二 11!3!= I !622! 3 234! 5 25 5!6! 7 27= 3.14115綜上，知當(dāng)誤差確定時(shí)，對(duì)

7、相同的幕級(jí)數(shù)展開式， x的取值不同，所取部分 和的項(xiàng)數(shù)不同，近似計(jì)算二的值也不同，對(duì)不同的幕級(jí)數(shù)展開式結(jié)果亦然.當(dāng)然, 當(dāng)誤差改變時(shí)，我們同樣可以利用幕級(jí)數(shù)展開式估算出 二的值，其精確度更高.3.數(shù)e的近似計(jì)算以ex的幕級(jí)數(shù)展開式為基礎(chǔ)進(jìn)行討論n23nex二 1 卜 x 詡n為 n!2!3!n!11當(dāng)x=1時(shí)，e =1 1 亠 亠 亠 2!n!11rn = e -(1 1)2!n! 亠亠.(n 1)! (n 2)! (n 3)!1(1丄) (n 1)! ' (n 2) (n 2)(n 3)1 “ 1(1(1 2 )(n 1)! n 1 (n 1)n!n11所以取11 丄丄作為近似值，則

8、誤差為 2!n!1 11例如:精確到丄，則需要rn :： 1110n! n鬲蔚=心0（見附錄4）.e =1 T 111 =2.7182818 .2!3!10!擴(kuò)廣：利用幕級(jí)數(shù)推導(dǎo)e是無(wú)理數(shù).0 ：e-(1 1 丄 x2!n!=0 ： n! n e-(1 1 n!n|L丄工）-n!:12!令k,ne -(1 1 丄IL2!.0 ： k : 1n! n1 1e二1亠1亠2!1=11-2!n!n!n1xn1不廠)n!反證法：假設(shè)e是有理數(shù)，則p,q N,（p, q）=1,p qe二衛(wèi)才丄.丄丄=.衛(wèi)心 q 2!n! n!nn!n(1+1 +丄 + +丄)+ k q2! n!等式左邊是一個(gè)整數(shù)，右端第

9、一項(xiàng)是整數(shù)，而k是小數(shù)；即右端不是整數(shù)，矛盾.故e是無(wú)理數(shù).4.對(duì)數(shù)的計(jì)算利用對(duì)數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式，作對(duì)數(shù)的近似計(jì)算。根據(jù)對(duì)數(shù)的特征，只要計(jì)算 出正整數(shù)的特征，那么由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，其它有理數(shù)的對(duì)數(shù)也就知道了 以In(1+x)的麥克勞林級(jí)數(shù)作為出發(fā)點(diǎn)nd n23n_1n(-1) x x x(-1) xIn(1+ x)=x -n23n1 1 1當(dāng) x=1 時(shí)，In 2 =1 _ _2 34當(dāng)取前n項(xiàng)作為其近似值，其誤差Rn =ln2-(1- 1 1ln2t 3V 57 1 _丄 (一1)x)234n如要精確到10-就要截取一萬(wàn)項(xiàng)來(lái)計(jì)算，另外上面的展開式的收斂域?yàn)?1乞x ： 1,這就不能直接用它來(lái)計(jì)算

10、其它整數(shù)的對(duì)數(shù)F面用一個(gè)收斂較快的幕級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算In21+x利用In的幕級(jí)數(shù)展開式23x xIn(1 _x)二 _x _231 -xn352n 4x xx.Inln(1 x) -1n(1 - x) = 2(x)1 -x352n -11亠x1令=2,即X帶入(5),有1 -x3.1 )(2n_1) 322估計(jì)余項(xiàng)如下rn =2( (2n+1) 32n+1 + (2n+3) 32n+3<2n+1(2n+1) 32 “ 1 1(1 + 22+32+)=4(2n+1)32n-1如要精確到10*，即使rn：10二只要n =4(見附錄5)1111ln 2 ： 2(357)3 3 35 '37

11、3=2(0.33333+0.02135+0.00084+0.00007) =0.69311 + x11拓展:令x2N 1，有1 1 1 1In(1 ) = 2(3弓亠 亠N 2N +1 3 (2N +1) 5 (2N +1)(2n- 1)(2N+1)=In(1 N) =l nN 2(1135)2N +1 3 (2N+1)52N+1)(2n -1)，(2N+1)這是一個(gè)遞推公式,所以據(jù)此可求任何正整數(shù)的對(duì)數(shù)，相應(yīng)的也可求有理數(shù)的對(duì)數(shù).1如:當(dāng)N=2時(shí)，即x=，51 訂)=1.09861 1 In 3 =In 2 2(3-53 535 52（k=1麗尹的結(jié)果見附錄6）1當(dāng)N=4時(shí)，即x=，有91

12、1 1In 5 =2In 2 2(3 弓 )=1.609493 95 9（Jy的結(jié)果見附錄7）k=1 （2k-1）9（ ）如此進(jìn)行下去，可得In6,ln7,的值In x利用上述計(jì)算方法，通過(guò)換底公式，我們可以計(jì)算得到了 g “而的一些近似計(jì)算結(jié)果并與數(shù)學(xué)用表中Igx值進(jìn)行比較（見表）表 Igx的幕級(jí)數(shù)近似計(jì)算結(jié)果與數(shù)學(xué)用表中數(shù)值的比較12345678910幕級(jí)00.301030.477060.602060.69870.778090.845040.900900.954121數(shù)算數(shù)學(xué)用表00.30100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421通過(guò)此表，知

13、幕級(jí)數(shù)作為近似計(jì)算的工具，結(jié)果與真實(shí)值很相近參考文獻(xiàn)1 董延闿級(jí)數(shù)M.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1982.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.M.北京:高等教育出版社,19993 周曉陽(yáng).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與Matlab.武漢：華中科技大學(xué)出版社,2002附錄1. s=0; n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(-1F(門-1)*2*3八(1/2)/(2* n-1)*3( n-1)+s;n=n+1;ends,n程序所得結(jié)果為s=3.14167431n = 8即為使計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)后第四位，只需求對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)前7項(xiàng)的和利用Matlab軟件算得7 (-1嚴(yán) 2、32-7n =1

14、 2n T3n 一1syms ksymsum(-1F(k-1)*xA(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans =x-1/3*xA3+1/5*xA5-1/7*xA7+1/9*xA9-1/11*xA11+1/13*xA13-1/15*xA15syms kf=6*(-1)A(k-1)*(1/sqrt(3)A(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)結(jié)果為ans =3.141674312. s=0; n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=4*(-1)A( n-1)/(2* n-1)*1/2A(2* n-1)+1/3A(2* n-1)+s;n=

15、n+1;ends,n計(jì)算結(jié)果為s =3.141561583. s=3 ;n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(2* n-1)!/(2* n)!*(2* n+1)*2(2* n+1)+s;n=n+1;ends,n計(jì)算結(jié)果為s=3.14115n=44. ff=sym('n*n!=10八7');solve(ff,' n') ans =1010 1先算1k=i k!syms k nsymsum(1/sym('k!'), k ,1,10) ans =1.718281810 1則 e=1+、=2.7182818k=1 k!5. ff=