線性代數(shù)關(guān)于等價、相似、合同的對比

1、定義2.5.3如果一個矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換變成矩陣B，則稱A與B等價，記為AB。等價具有反身性 即對任意矩陣A，有A與A等價；對稱性 若A與B等價，則B與A等價傳遞性 若A與B等價，B與C等價，則A與C等價。2.5.5 用矩陣的初等變換求解矩陣方程最常見的方程有以下兩類：（1）設(shè)A是n階可逆矩陣，B是n×m矩陣，求出矩陣X滿足AXB原理：AXB時（2）設(shè)A是n階可逆矩陣，B是m×n矩陣，求出矩陣X滿足XAB。解：由方程XAB XAA-1B A-1解為x= B A-1要注意的是，矩陣方程XAB的解為x= B A-1，而不可以寫成x= A-1B。因為X滿足XABXT滿足A

2、TXTBT從而有XT=（AT）-1 BT=（BA-1）T所以，可以先用上述方法求解AT XTBT，再把所得結(jié)果XT轉(zhuǎn)置即得所需的XBA-1。定義3.3.2（向量組的等價）如果向量組R能由向量組S線性表出，反之,向量組S也能由向量組R線性表出，則稱向量組R與S等價。向量組之間的等價關(guān)系有下列基本性質(zhì)：設(shè)A,B,C為三個同維向量組，則有定義5.2.1 設(shè)A和B是兩個n階方陣，如果存在某個n階可逆矩陣p使得B=p-1AP。則稱A和B是相似的，記為AB。當兩個n階方陣A和B之間存在等式B=P-1AP時，我們就說A經(jīng)過相似變換變成了B。同階方陣之間的相似關(guān)系有以下三條性質(zhì)：（1）反身性 AA，這說明任意

3、一個方陣都與自己相似。事實上，有矩陣等式（2）對稱性 若AB則BA，這說明A和B相似與B和A相似是一致的。事實上，有（3）傳遞性 若AB，BC則ACP，這說明當A和B相似，B和C相似時，A和C一定相似。事實上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1 相似矩陣必有相同的特征多項式，因而必有相同的特征值，相同的跡和相同的行列式。需注意的是A與B不一定有相同的特征向量。定理5.2.2n階方陣A與對角陣P-1AP =相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。兩個重要結(jié)論：（1）任意一個無重特征值的方陣一定相似于對角矩陣；（2）對角元兩

4、兩互異的三解矩陣一定相似于對角矩陣；（3）若A中任一k的特征根對應(yīng)有k個線性無關(guān)特征向量，則A一定與對角陣相似.定義5.3.4 如果一個同維向量組不含零向量，且其中任意兩個向量都正交（兩兩正交），則稱該向量組為正交向量組。定義5.3.5 若是 Rn中的一個正交向量組，且其中每個向量都是單位向量，則稱這個向量組為標準正交向量組。（正交單位向量組）定理5.3.1 正交向量組必線性無關(guān)。必有向量組正交，且是標準正交組。(正交單位向量組)定義5.3.5 如果n階實方陣A滿足，則稱A為正交矩陣。定義5.4.1 設(shè)A，B都是n階方陣，若存在正交陣P使得，則稱A與B正交相似。定理5.4.3（對稱矩陣基本定理

5、）對于任意一個n階實對稱矩陣A，一定存在n階正交矩陣P，使得對角矩陣中的n個對角元就是A的n個特征值。反之，凡是正交相似于對角矩陣的實方陣一定是對稱矩陣。定理5.4.4 兩個有相同特征值的同階對稱矩陣一定是正交相似矩陣定義6.1.3 設(shè)A，B都是n階方陣，若存在可逆陣P使得。則稱A與B合同。由上面的定義可見矩陣A與矩陣B相似與合同是兩個完全不同的的概念，但是若Q正交，則,所以A與B正交相似與A與B正交合同是一回事。合同關(guān)系也有 反身性：即任給方陣A，有，所以， A與A合同；對稱性：若A與B合同，則存在可逆陣P使得，則所以B與A也合同。傳遞性:因為A與B合同，B與C合同，則存在可逆陣P，Q，使得，注意PQ一定可逆，所以A與C合同。定理6.2.1實對角矩陣為正定矩陣當且僅當中的所有對角元全大于零。定理6.2.2設(shè)n階矩陣是正定矩陣，則A中所有對角元定理6.2.3設(shè)A與B是兩個合同的實對稱矩陣，則A為正定矩陣當且僅當B為正定矩陣。定理6.2.4同階正定矩陣之和必為正定矩陣。定理6.2.5n階對稱矩陣是正定矩陣的n個特征值全大于零定理6.2.