信號變換域分析目

1、§8-1 引 言一、 變換域分析的目的變換域分析的目的，在于將原來的求解問題簡化。對于連續(xù)時間系統(tǒng)，通過L.T.，可以將原來求解微分方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程的問題；對于離散時間系統(tǒng)，通過Z變換（Z.T.），可以將原來求解差分方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程的問題。二、 Z變換的發(fā)展史 十八世紀(jì)，DeMoivre提出生成函數(shù)，并應(yīng)用于概率論； 十九世紀(jì)Laplace、二十世紀(jì)Seal對其進(jìn)行了進(jìn)一步深入研究； 二十世紀(jì)六十年代起，由于計算機(jī)技術(shù)和控制技術(shù)的飛速發(fā)展，抽樣控制理論的應(yīng)用，離散信號處理和數(shù)字信號處理得到了廣泛應(yīng)用。作為離散時間系統(tǒng)分析的重要工具，Z.T.得到了很大的發(fā)展，其

2、用途甚至超過了L.T.三、 離散時間序列的頻域分析方法離散時間系統(tǒng)和離散時間序列也可以通過正交分解的方法，在頻域進(jìn)行分析。離散系統(tǒng)也有頻率響應(yīng)（對各種頻率的離散正弦信號的響應(yīng)）。傅利葉變換的離散形式離散傅利葉變換（DFT）在離散時間系統(tǒng)分析中同樣占用很重要的地位，而DFT的快速算法FFT的提出使得DFT在各種信號處理場合得到的廣泛的應(yīng)用。除了DFT以外，其信號分析方法，如沃爾什變換等，在離散信號處理中同樣得到的很廣泛的應(yīng)用。§8-2 Z變換及其性質(zhì)一、 Z變換的定義Z變換的定義可以從純數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行，也可以通過信號分解的角度提出。后者更加容易理解。本課程中，通過連續(xù)時間系統(tǒng)的F.T.

3、，導(dǎo)出Z.T.。離散時間信號f(k)可以看成是連續(xù)時間信號通過抽樣而得到的沖激序列：>對其進(jìn)行F.T.：根據(jù)Dirichlet條件，只有在信號滿足絕對可積條件這里可以變成絕對可和條件：時，F(xiàn)T才存在。如果不滿足，可以利用LT中的方法，在信號上首先乘以一個衰減因子，然后再求FT。這樣一來上式就可以變成為：為了簡化，假設(shè)T=1，則：設(shè)，帶入：上式稱為序列f(k)的Z變換。F(z)由被稱為序列f(k)的生成函數(shù)，用它可以導(dǎo)出f(k)。l 上面的推導(dǎo)反映了抽樣信號的FT與用其沖激序列的強(qiáng)度構(gòu)成的信號序列的ZT之間的關(guān)系，即： 而抽樣信號的LT與用其沖激序列的強(qiáng)度構(gòu)成的信號序列的ZT之間的關(guān)系為：

4、l 如果實際抽樣序列的抽樣間隔T不等于1,則上面兩個關(guān)系變?yōu)椋?，l 在某些情況下，Z變換的求和限可以簡化：1、 如果f(k)是一個左邊序列（其在k<0時才有非零值），則： 2、 如果f(k)是一個右邊序列，則： 3、 如果f(k)是一個有限長序列，則： 二、 單邊Z變換與雙邊Z變換上面的Z變換中的求和在（-，0）和0，+）中進(jìn)行，稱為雙邊Z變換。實際工作中，信號是有始信號，系統(tǒng)也是因果系統(tǒng)，其單位函數(shù)響應(yīng)也是一個有始信號，所以只要考慮0，+）一邊就可以了，響應(yīng)的變換稱為單邊Z變換：與單邊LT一樣，單邊Z變換也是我們研究的重點。三、 Z變換的收斂域 和LT一樣，ZT也有收斂域的問題。ZT

5、是一個級數(shù)求和問題。ZT存在意味著級數(shù)收斂。Z變換的收斂域也就是使這個級數(shù)收斂的全部z的集合。1、 級數(shù)收斂的判別方法：1） 比值法：2） 根值法：2、 幾種常見序列的收斂域：1） 有限長序列：a、 當(dāng),收斂域b、 當(dāng),收斂域c、 當(dāng),收斂域2） 右邊序列：利用根值法，有：所以，右邊信號的收斂域為是半徑R、圓心在原點的圓以外的全部區(qū)域。例821例821： 單邊指數(shù)序列的收斂域。解：用上面的結(jié)論（根值法）：（也可以用一般等比序列求和的方法求解）思考：如果右邊序列的起始點不在0,收斂區(qū)間應(yīng)該怎樣？提示：收斂域是否包含+？3） 左邊序列同上可得左邊序列的收斂域為：即左邊信號的收斂域為是半徑R、圓心在

6、原點的圓以內(nèi)的全部區(qū)域。例822例822： 單邊指數(shù)序列的收斂域。解：用上面的結(jié)論（根值法）：（也可以用一般等比序列求和的方法求解）思考：如果左邊序列的起始點不在-1,收斂區(qū)間應(yīng)該怎樣？提示：收斂域是否包含原點？4） 雙邊序列與連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，雙邊序列也可以看成右邊序列和左邊序列之和，收斂域為兩個序列的公共收斂域。收斂域可能存在（當(dāng)兩個序列的收斂域公共區(qū)間時），也可能不存在（當(dāng)兩個序列的收斂域沒有公共區(qū)間）。如果存在，其收斂域為一個環(huán)行區(qū)域。例823例823： 求序列的收斂區(qū)。解：它的收斂域為左邊序列和右邊序列的公共收斂區(qū)間，1、 當(dāng)時，兩者沒有公共收斂區(qū)間，Z變換不存在。2、 當(dāng)時，收斂域

7、為四、 常見序列的單邊ZT1、 單位函數(shù)： ，收斂域：全平面2、 單位階躍信號： ，收斂域：3、 單邊指數(shù)序列： ，收斂域：4、 單邊正弦和余弦序列： 可以通過上面指數(shù)序列推導(dǎo)出。其它常見ZT：見P61,表8-1例824例824： 求左邊指數(shù)序列的變換。解：這個序列的z變換可以直接用定義求解，而且非常方便。但這里為了說明如何通過右邊序列的z變換求解，按照下列步驟求得：（1）令,將原信號反褶同時補(bǔ)齊，這樣完整的右邊序列為（2）對求Z變換，由式(88a)可得，收斂區(qū)：（3）令代入上式則得,收斂區(qū)：例825例825： 求雙邊指數(shù)序列的變換。解：將雙邊序列分解為左邊序列和右邊序列之和，即：其中右邊序列

8、的Z變換已由式(88a)給出為，根據(jù)（8-10），不難得到左邊序列的Z變換和收斂區(qū)： ,綜合上面的結(jié)論，可以得到：（1） 當(dāng)時，由于左邊序列與右邊序列的Z變換沒有公共的收斂區(qū)，此時該序列不存在雙邊z變換。（2） 當(dāng)時，左邊序列與右邊序列的Z變換存在公共的收斂區(qū)，此時該序列的雙邊z變換為： 有兩個極點，其中處的極點是由右邊序列產(chǎn)生的，它處于收斂邊界的內(nèi)部；處的極點是由左邊序列產(chǎn)生的，它處于收斂邊界的內(nèi)部。五、 左邊和雙邊序列的ZT計算方法：1、 左邊序列ZT求法： 由此可以得到由右邊序列計算左邊序列ZT計算方法：1） 將序列f(k)反褶，稱為右邊序列f(-k)；2） 求f(-k)的單邊ZT，假設(shè)

9、為，收斂域為；3） 得到左邊序列的ZT：，收斂域為2、 雙邊序列ZT求法：與雙邊信號的LT一樣，可以將雙邊序列分解為左邊序列和右邊序列之和，分別求解。例：求的ZT解：其中：1），收斂域：2）為了求，a、 將信號反褶，成為新的右邊序列：b、 求右邊序列ZT：，收斂域：c、 得到原序列ZT：，收斂域：4） 綜合得到雙邊序列的LT：a、 如果，則f(k)的雙邊ZT不存在；b、 如果，則f(k)的雙邊ZT為：收斂域：六、 ZT性質(zhì)：1、 線性2、 移序特性：1） 單邊ZT移序特性：a、 增序： b、 減序： 推廣：l 移序算子S的作用相當(dāng)于乘z;l 移序計算不影響收斂域；l 移序特性與LT中的微分特性

10、很相似：l 減序計算中，默認(rèn)信號是一個右邊序列。如果f(k)是一個雙邊序列，則有： 2） 雙邊序列移序： ， 3、 （z域）尺度變換特性：4、 （z域）尺度變換特性：例：求斜變函數(shù)的ZT。5、 卷積定理：6、 初值和終值定理：在f(0)存在的條件下，在f()存在的條件下，§8-3 反Z變換反Z變換有三種方法：1） 級數(shù)展開法；2） 部分分式展開法；3） 留數(shù)法。四、 級數(shù)展開法：將F（z）表示成Z變換的原始形式，將各個元素與f(k)對號入座。實現(xiàn)途徑：長除。例：求的原函數(shù)。l 用這種方法容易求得信號的前面的幾個點上的值，但是無法得到解析表達(dá)式。l 用這種方法可能得到多個解。l 這種方

11、法無法與收斂域相結(jié)合，得到正確的原函數(shù)。二、 部分分式展開法：同LT中的Heaviside分解法。1、 其用到的基本變換為：2、 對進(jìn)行部分分式展開，對應(yīng)于上面的基本的ZT公式，就可以得到原函數(shù)。3、 也可以采用另外一種基本函數(shù)：這時候只要對F（z）進(jìn)行部分分式展開即可。例：同上。4、 上面討論的是單邊ZT的反變換。與LT一樣，在雙邊ZT中，F(xiàn)(z)的原函數(shù)與其收斂區(qū)間有關(guān)?？梢允怯疫呅蛄械南窈瘮?shù)，也可以是左邊序列的像函數(shù)，差別在于收斂域不同。所以，必須根據(jù)收斂域，決定部分分式展開式中各項的歸屬。三、 留數(shù)法1、 通過計算留數(shù)，可以得到原函數(shù)：很多教材上將其作為反Z變換的定義： 例：同上。l

12、留數(shù)法不僅可以用于計算單邊反Z變換，而且可以用于計算雙邊反Z變換。l 用留數(shù)法進(jìn)行計算，可能會遇到計算z=0點的各階留數(shù)的計算，不很方便。l 根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，可以得到另外一種留數(shù)法的公式：這個公式因為不要考慮z=0點，所以不用計算z=0點的各階留數(shù)。但是它會牽涉到處留數(shù)的計算。對于一般的復(fù)變函數(shù)f(z),有： l 在某些情況下（一般在k大于一定值的情況下），在z=0處無極點，不用考慮z=0點的留數(shù)，這時候用原來的公式比較方便；l 在某些情況下（一般在k小于一定值的情況下），在的留數(shù)為零，不用考慮z=點的留數(shù)，這時候用后面的公式比較方便。例831例831： 設(shè)有Z變換式 試用本節(jié)所述三種進(jìn)行反

13、Z變換的方法求原序列。這里是有始序列。解：這里分別用上述三種方法求解。1、 冪級數(shù)展開法將進(jìn)行長除：由長除后的商的系數(shù)，得 這是一個數(shù)值的序列，可記為 如果對這個序列加以細(xì)究，還可看出其規(guī)律。但是，要從一個數(shù)值序列去找出它的閉合式來，只有在極為明顯的情況下才能做到，在一般情況下是很困難的。所以用冪級數(shù)展開法求反變換，一般只能得到序列的頭幾項。2、 部分分式展開法把展開為這里兩個簡單分式的反Z變換可以查表得到，3、 圍線積分法 用圍線積分法首先要確定收斂區(qū)，以確定圍線的位置。這里雖然題目中沒有給出收斂區(qū)，但是已知是一個有始序列，所以其收斂區(qū)一定處于某個以原點為圓心的圓的外部區(qū)間，在有限點上的極點

14、一定都處于收斂邊界內(nèi)（收斂區(qū)內(nèi)不可能有極點），所以在收斂區(qū)內(nèi)包圍原點的圍線C一定包含了所有的極點。由上面的部分分式，有：因為已知序列是一個有始序列，所以可以直接判定當(dāng)時。當(dāng)時,上式只有兩個極點：和。它們的留數(shù)分別為 所以可以得到 以上三種解法所得結(jié)果均相同。例832例832： 已知，收斂區(qū)間為。求原時間序列。解：該題很難用冪級數(shù)展開法求解。這里只用其余兩種方法解：1、 部分分式分解法 將展開為部分分式： 由給定的收斂區(qū)，可見的極點在收斂邊界內(nèi)，相應(yīng)的部分分式項對應(yīng)為右邊序列。而的極點在收斂邊界外，相應(yīng)的部分分式項對應(yīng)為左邊序列。右邊序列由前述單邊Z變換可求得為根據(jù)（8-10），可以得到左邊序列

15、的反變換為：將右邊序列與左邊序列合并則構(gòu)成所求的雙邊序列 2、 圍線積分法 其中帶來兩個極點：和。兩極點上的留數(shù)分別為：根據(jù)的收斂區(qū)，可以確定處的極點一定處于圍線以內(nèi)的區(qū)域，處的極點一定處于圍線以外的區(qū)域。這里分兩種情況討論：1） 當(dāng)時，在原點沒有極點，圍線內(nèi)只有處有極點。2） 可以得到：2）當(dāng)時，在圍線內(nèi)原點處有極點，而且隨著的變換，原點處極點的階數(shù)會變化，為此首先計算在無窮遠(yuǎn)處的留數(shù)：可見，當(dāng)時，在無窮遠(yuǎn)處的留數(shù)等于零。這時候，在圍線以外只要考慮處極點的留數(shù)就可以了。這時有： 將和時的結(jié)果合并，可以得到與部分分式分解法相同的結(jié)論。§8-4 ZT與LT關(guān)系ZT與LT有很多相似之處，

16、也有很多聯(lián)系。一、 理想抽樣信號的LT與其相應(yīng)的離散序列的ZT之間的關(guān)系。 通過§8-2節(jié)的推導(dǎo)，可以看出，抽樣信號的LT與用其沖激序列的強(qiáng)度構(gòu)成的信號序列的ZT之間的關(guān)系為： ，或 此時s平面與z平面之間的映射關(guān)系為：，或 假設(shè)：，則有：，l s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)；l s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外；l s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上；l s平面上的多個點可以映射到z平面的一個點上，相角隨以為周期重復(fù)。所以這種映射關(guān)系并不是一一對應(yīng)的。但是，在信號帶寬滿足Nyquist取樣率的情況下，這種多點映射關(guān)系并不影響我們分析。二、 一般連續(xù)信號f(t)的LT與

17、它抽樣后得到的離散序列的ZT之間的關(guān)系。 抽樣 取沖激幅度連續(xù)信號>理想抽樣序列>離散序列 F(s) <> F(z)已知信號的F(s),通過可以得到：對f(t)理想抽樣，其沖激幅度序列為：對序列求ZT：l 假設(shè)：，則：可見：F(s)在處有極點，而F(z)在處有極點。l 假設(shè)（假設(shè)沒有重極點），則有： 在F(s)沒有重根的情況下,可以通過部分分解的方法得到F(z)。l 從上面可以看出：F(s)的極點和F(z)的極點之間的關(guān)系為：，或 或：，可見，F(xiàn)(s) 和F(z)的極點的映射關(guān)系與上面的關(guān)系相同。這里同樣有多點映射的問題。§8-5 離散時間系統(tǒng)ZT分析法與LT

18、在連續(xù)時間系統(tǒng)中的作用一樣，在離散時間系統(tǒng)中同樣也可以通過ZT，將求解差分方程的問題轉(zhuǎn)變成為求解代數(shù)方程的問題，從而是求解過程得到簡化。但是，它同樣也要引入兩次變換計算。同LT一樣，通過對差分方程取ZT，可以自動引入初始條件，一次性得到系統(tǒng)的全響應(yīng)。但是，它不宜分清系統(tǒng)的響應(yīng)的物理含義。在本課程中，依然分和兩部分，討論系統(tǒng)響應(yīng)的求解方法。一、 的ZT求解法在輸入信號為零的條件下，差分方程變?yōu)榱艘粋€齊次差分方程。其一般形式為：對其求ZT，可以得到：所以，有了初始條件，就可以通過直接寫出，再由反ZT就可以得到。但是，這種方法比時域解法復(fù)雜，因為：1、 形式復(fù)雜，難于記憶；2、 要進(jìn)行反ZT計算。二

19、、的ZT求解法零狀態(tài)響應(yīng)有很多推導(dǎo)方法。教材上提出了直接用這個差分方程的求解方法。這里給出一個更加簡單的方法。為此將差分方程改寫為：然后對方程兩邊求ZT（注意：1、系統(tǒng)初始狀態(tài)為零;2、同時激勵信號也是一個有始信號;3、對于因果系統(tǒng)，m<=n）：定義：則：其中，H(z)稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。它可以根據(jù)系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)直接寫出。可見，離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法與連續(xù)時間系統(tǒng)中的方法完全一樣，只不過LT變成了ZT而已。這里，同樣可以證明，H(z)是系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)的ZT，即：三、 系統(tǒng)的全響應(yīng)求解1、通過和分別求綜合上面的結(jié)果，可以得到：在實際應(yīng)用中一般不直接使用這個公式，而是利

20、用其原理進(jìn)行計算。例：P83，Ex8.6。注意其中的初始條件為零輸入響應(yīng)下的初始值。2、 直接求解法：對差分方程兩邊直接求ZT，并帶入初始條件。原始差分方程：或：兩邊同時求ZT：注意這個公式與前面公式的差別：1、響應(yīng)初始條件的含義；2、是否考慮激勵的初始值。四、 離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性l 與連續(xù)時間系統(tǒng)中的結(jié)論相似，離散時間系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其單位函數(shù)響應(yīng)絕對可和。l 這要求系統(tǒng)傳輸函數(shù)的極點都在單位圓的內(nèi)部。l 如果系統(tǒng)在單位圓上有單極點，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。l 如何根據(jù)H(z)的分母D(z)的系數(shù)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定？直接根據(jù)D(z)的系數(shù)不能判斷其根是否處于單位圓以內(nèi)。為此引入雙線性變換

21、：將D(z)表示成的函數(shù)：這種雙線性變換滿足：1、 這是一個單映射；2、 映射后的函數(shù)仍然是一個有理函數(shù)；3、 z平面單位圓以外的點映射到平面的右半平面；z平面單位圓以內(nèi)的點映射到平面的左半平面；所以，只要判斷是否有右半平面內(nèi)的根，就可以判定D(z)的根是否處于單位圓以內(nèi)。如何判斷是否有右半平面內(nèi)的根？依然可以用羅斯-霍維斯法則。§8-6 離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)與連續(xù)時間系統(tǒng)中的FT方法相似。離散時間系統(tǒng)同樣可以通過信號的正交分解的方法進(jìn)行分析。離散時間系統(tǒng)和連續(xù)時間系統(tǒng)一樣，也可以求其頻率響應(yīng)。只不過這里的頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對離散正弦信號或離散復(fù)正弦信號的響應(yīng)。一、 離散時間系統(tǒng)的頻率

22、響應(yīng)假設(shè)對在復(fù)正弦信號的激勵下，系統(tǒng)的響應(yīng)為：可見：l 系統(tǒng)對復(fù)正弦信號的響應(yīng)仍然是同頻率的復(fù)正弦信號，其相位和幅度有所變化；l 系統(tǒng)對于復(fù)正弦信號的相位和幅度的影響可以由其傳輸函數(shù)在z平面單位圓上的值確定。其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為和：l 與連續(xù)時間系統(tǒng)中的結(jié)論一樣，其幅頻響應(yīng)是頻率的偶函數(shù)，相頻響應(yīng)是頻率的奇函數(shù)。與連續(xù)時間系統(tǒng)不同的是，這里的幅頻響應(yīng)函數(shù)和相頻響應(yīng)函數(shù)都是以為周期的周期性函數(shù)。l 這里的T是對實際正弦信號的取樣間隔，而是（連續(xù)）正弦信號的頻率。有時我們對這個離散正弦信號對應(yīng)與何頻率的連續(xù)正弦信號在何種取樣率下取樣并不關(guān)心，而把（T）作為一個變量統(tǒng)一考慮（用表示，稱為歸一化

23、角頻率）， 這時候歸一化后的頻率響應(yīng)函數(shù)的周期變?yōu)椤Ｍㄟ^它很容易導(dǎo)出系統(tǒng)在任意取樣率條件下的頻率響應(yīng)。l 同樣的離散時間系統(tǒng)，在不同的取樣頻率下，有著不同的頻率響應(yīng)。l 在離散時間系統(tǒng)中，同樣有低通濾波器、高通濾波器以及帶通濾波器等。只不過這時候的頻率只考慮在（或）頻率范圍內(nèi)。二、 離散時間系統(tǒng)頻率響應(yīng)的畫法：1、 解析法2、 極零圖法三、 幾種特殊的離散時間系統(tǒng)：1、 全通系統(tǒng)：對任意頻率的離散正弦時間信號都有相同的幅頻響應(yīng)>除了在z=0處的極點外，其余的極點和零點關(guān)于單位圓鏡像對稱（即兩者相角相等，幅度互為導(dǎo)數(shù),或）。（思考：如何證明？）2、 最小相位系統(tǒng)：極零點全部在單位圓內(nèi)。例8

24、61例861： 圖所示的電阻梯形網(wǎng)絡(luò)中，若令，則此電路的差分方程為 且具有邊界條件，。求解電路中第k個節(jié)點的電壓。解：這里的并不是對應(yīng)于時間，而是對應(yīng)于電路節(jié)點號，但是依然可以用Z變換求解。對齊次差分方程進(jìn)行Z變換 由此式解出并代入邊界條件，但暫時還不知道，待后面再解出。 把此式與表81中第16、l7兩個Z變換對相比較，即可看出等式右邊第一項相當(dāng)于雙曲線余弦的Z變換，第二項相當(dāng)于雙曲線正弦的Z變換。根據(jù)第一項，可以得到： ，根據(jù)第二項，有。將上面求出的代入，可以得到：因此，的反變換式為 現(xiàn)在，再用另一邊界條件代入上式,求出，即將它代入式，最后得例862例862： 一受單位階躍信號激勵的系統(tǒng)由以下差分方程描寫 初始狀態(tài)是1)，。2),。求系統(tǒng)分別在這兩種初始條件下的響應(yīng)。解：這里分別在兩種初始條件下求解。1）這里已知系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的初始狀態(tài)為零，所以零輸入響應(yīng)一定都為零，系統(tǒng)只有零狀態(tài)響應(yīng)。將系統(tǒng)方程用移序算子寫成算子式 由此可直接寫出轉(zhuǎn)移函數(shù)為 單位階躍序列的Z變換是