中考數(shù)學(xué)易錯題專題復(fù)習(xí)-圓的綜合練習(xí)題含答案

1、中考數(shù)學(xué)易錯題專題復(fù)習(xí)-圓的綜合練習(xí)題含答案一、圓的綜合1 .如圖，點(diǎn)A、B、C分別是。上的點(diǎn)，CD是。的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn),AP=AC(1)若/B=60°,求證：AP是。的切線；(2)若點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E, CD=4,求BE AB的值.【答案】(1)證明見解析；(2) 8.【解析】(1)求出/ADC的度數(shù)，求出 /P、/ACQ /OAC度數(shù)，求出/ OAP=90 ,根據(jù)切線判定 推出即可；(2)求出BD長，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.試題解析：連接AD, OA, / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.C

2、D是直徑,/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 ； . AP=AC, OA=OC/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30 -3090 ；即 OALAP, . OA為半徑， .AP是。O切線.(2)連接 AD, BD,.CD是直徑,/ DBC=90 ；. CD=4, B為弧CD中點(diǎn),一人"BD=BC=e ,/ BDC=Z BCD=45 ,°/ DAB=Z DCB=45 ；即 / BDE=/ DAB, / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD,BD AB.至工前.,.BE?AB=BD?B

3、D=V2 X 2G = 8考點(diǎn)：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì).2.如圖 1,直角梯形 OABC中，BC/ OA, OA=6, BC=2, / BAO=45°.(2) D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作OM, OM交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)OM與y軸相切時(shí)，sin / BOQ=;(3)如圖2,動點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度，從點(diǎn) O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動；同時(shí)動 點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn) B沿折線B-C-。向點(diǎn)O運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí) 停止運(yùn)動.過點(diǎn) P作直線PE/ OC,與折線O-B- A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(秒).求當(dāng)以 B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的

4、坐標(biāo).【答案】(1)4; (2) ; ( 3)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(1,2)、( , ) > (4,2).533分析：(1)過點(diǎn)B作BHOA于H,如圖1 (1),易證四邊形 OCBH是矩形，從而有 OC=BH,只需在4AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出 BH即可.(2)過點(diǎn)B作BHLOA于H,過點(diǎn)G作GF, OA于F,過點(diǎn)B作BR± OG于R,連接 MN、DG,如圖1 (2),則有OH=2, BH=4, MN LOC.設(shè)圓的半徑為r,則 MN=MB=MD=r.在 BHD中運(yùn)用勾股定理可求出 r=2,從而得到點(diǎn) D與點(diǎn)H重合.易證 AFGA ADB,從而可求出AF、GF、OF、OSOB、AB&

5、gt;BG.設(shè) OR=x,利用BR2=OB2 -OR2=BG2-RG2可求出x,進(jìn)而可求出BR在RORB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題.(3)由于4BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況(Z BDE=90 °,Z BED=90 °,Z DBE=90 °)討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識建立 關(guān)于t的方程就可解決問題.詳解：(1)過點(diǎn) B 作 BHLOA 于 H,如圖 1 (1),則有 /BHA=90°=/ COA,OC/ BH. BC/ OA, .四邊形 OCBH是矩形，. .OOBH, BC=OH. OA=6, BC=2,AH=0A

6、- OH=OA- BC=6 - 2=4. ZBHA=90 °, Z BAO=45 °,tan / BAH= BH- =1,BH=HA=4,OC=BH=4.HA故答案為4.(2)過點(diǎn)B作BHOA于H,過點(diǎn)G作GF± OA于F,過點(diǎn)B作BR± OG于R,連接 MN、DG,如圖 1 (2).由(1)得：OH=2, BH=4. OC與。M 相切于 N,MN ±OC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.BC± OC, OA± OC,BC/ MN/OA.一一 一一1 , BM=DM, CN=ON, ，MN= ( BGOD) , .

7、OD=2r - 2 ,2.DH=OD OH在 RtA BHD 中,=2r 4 .解得：r=2,DH=0,BD是。M的直徑，GF± OA, BDXOA,AF GF AG 1AD - BD " AB "2 ZBHD=90°,BD2=BH2+DH2,(2r) 2=42+ (2r-4) 2.即點(diǎn) D與點(diǎn)H重合，BDX0A, BD=AD./ BGD=90 °,即 DGXAB,BG=AG. .GF/ BD,AAFGAADB, AF=1AD=2, GF=1BD=2,，OF=4, 22-og= Jof2_gf2 = V42? =2 而. 一一 1 一同理可得：

8、 OB=2 而，AB=472， - BG=-AB=272 -2設(shè) OR=x,則 RG=2 J5 x. . BR± OG,Z BRO=Z BRG=90 °,BR2=OB2 - OR2=BG2- RG2,(2 而)2 - x2= (2 72 ) 2- (2石x) 2.解得：x=M,，BF2=OB2-OR2=（2Q）2-（逃）2=36,，BR=_6/5.5555在 RtA ORB 中,BRsin/ BOR= 2；5OB3故答案為一 .5（3） 當(dāng)/BDE=90°時(shí)，點(diǎn) D在直線PE上，如圖2.此時(shí) DP=OC=4, BD+OP=BD+CD=BC=2, BD=t, 0PM

9、.則有 2t=2.解得：t=1.則 OP=CD=DB=1. DE/ OC,ABDEABCO, /. DE =-BD =1 , . DE=2, . EP=2,OC BC 2點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）.當(dāng)/ BED=90°時(shí)，如圖3./DBE=OBC, Z DEB=Z BCO=90 °, DBEA OBC,BE DB BE t 、5=, =-產(chǎn)， - BE= 1.BC OB 22.55 PE/ OC,Z OEP=Z BOC. ZOPE=Z BCO=90 °,AOPEABCO,OE OPOE t八=，=， , OE= v5 t.OB BC2.5 2OE+BE=OB=2、5,

10、5解得：t=5, .OP=5,t+爭=2芯.OE=竽，喑丘2 op2=£，,_一5 10、. 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（一，）4.3 3當(dāng)/ DBE=90°時(shí)，如圖此時(shí) PE=PA=6t, OD=OC+BC- t=6 - t.貝U有 OD=PE, EA=7pE1 _PA2-= V2 （6t） =6我一72>, .BE=BA- EA=4 72 -（65/2 - 72t） =t-272 -PE/ OD, OD=PE, Z DOP=90 °,，四邊形 ODEP是矩形，.DE=OP=t, DE/ OP,/ BED=Z BAO=45 : ， BE 2在 RtA DBE 中，cos

11、Z BED= - =- , - DE= J2 BE,t =歷質(zhì)t -2 折）=2t -4.解得：t=4, .0P=4, PE=6-4=2,，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（4, 2）.綜上所述：當(dāng)以 B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）、(4,2)點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù) 學(xué)思想，有一定的綜合性.3.如圖，AB為。的直徑，AC為。的弦，AD平分/BAC,交。于點(diǎn)D, DE，AC,交 AC的延長線于點(diǎn)E.(1)判斷直線DE與。的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若

12、AE= 8,。的半徑為5,求DE的長.【答案】(1)直線DE與。相切(2) 4【解析】試題分析：(1)連接 OD, .力平分/BAC,EAD= OAD ,OA = OD ,ODA= OAD, ODA= EAD , ，EA/ OD, .DEX EA,DE± OD,又.點(diǎn)D在。上，直線DE與。相切(2)不如圖 1,作 DF，AB,垂足為 F,DFA= DEA =90 ,EAD = FAD, AD =AD , - AEADAFAD, .AF = AE=8, DF = DE , OA=OD=5,OF=3 ,在 RtDOF中， DF = JOD2 OF2=4,AF=AE=8考點(diǎn)：切線的證明，弦

13、心距和半徑、弦長的關(guān)系點(diǎn)評：本題難度不大，第一小題通過內(nèi)錯角相等相等證明兩直線平行，再由兩直線平行推 出同旁內(nèi)角相等.第二小題通過求出兩個三角形全等，從而推出對應(yīng)邊相等，接著用弦心 距和弦長、半徑的計(jì)算公式，求出半弦長.4,已知？ABCD的周長為26, /ABC=120°, BD為一條對角線， 。內(nèi)切于ABD, E, F, G 為切點(diǎn)，已知。的半徑為 J3.求？ABCD的面積.【答案】20,3【解析】【分析】首先利用三邊及。0的半徑表示出平行四邊形的面積，再根據(jù)題意求出AB+AD=13,然后利用切線的性質(zhì)求出 BD的長即可解答.【詳解】設(shè)。0分別切4ABD的邊AD、AB、BD于點(diǎn)G、

14、E、F;平行四邊形ABCD的面積為S；貝U S=2SxABD=2 J (AB OE+BDOF+ADOG)=V3 ( AB+AD+B。； 2 平行四邊形 ABCD的周長為26,.AB+AD=13,. .S=、.3(13+BD);連接 OA;由題意得：/ OAE=30 , .AG=AE=3;同理可證 DF=DG BF=BE . DF+BF=DG+BE=13 3-3=7,即 BD=7,. S=6 (13+7) =20 73.即平行四邊形 ABCD的面積為20 J3.5.如圖，。是ABC的外接圓，AC為直徑，BD= BA, BEX DC交DC的延長線于點(diǎn) E求證：BE是。的切線（2）若 EC= 1,

15、CD= 3,求 cos/ DBAD _ 3【答案】（1）證明見解析；（2） /DBA 5【解析】分析：（1）連接OB, OD,根據(jù)線段垂直平分線的判定，證得 BF為線段AD的垂直平分 線，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到 /ADC=90,證得四邊形 BEDF是矩形，即 /EBF=90可得出結(jié)論.（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求出 OF的長，進(jìn)而得到 BF、DE、OB、OD的長，然后根據(jù)等角的三 角函數(shù)求解即可.詳解：證明：（1）連接BO并延長交AD于F,連接OD1 . BD=BA, OA= ODBF為線段AD的垂直平分線.AC為。O的直徑 / ADC= 90 °2 .BEXDC四邊形BEDF

16、為矩形 / EBF= 90 °3 .BE是。O的切線D(2) ;。、F分別為AC、AD的中點(diǎn)13.OF= - CD=22.BF= DE= 1 + 3=43 5.OB=OD= 4 2 23OF 2 3cos/ DBA= cos/ DOF=?OD 5 52點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是添加合適的輔助線，利用垂徑定理和圓周角定理進(jìn)行解答，注意相等角的關(guān)系的轉(zhuǎn)化6.已知，如圖：Oi為x軸上一點(diǎn)，以 Oi為圓心作。交x軸于C、D兩點(diǎn)，交y軸于 M、N兩點(diǎn)，/CMD的外角平分線交 OOi于點(diǎn)E, AB是弦，且AB/CD,直線DM的解析 式為 y=3x+3.(1)如圖1,求OOi

17、半徑及點(diǎn)E的坐標(biāo).(2)如圖2,過E作EN BC于F,若A、B為弧CND上兩動點(diǎn)且弦 AB/ CD,試問：BF+CF 與AC之間是否存在某種等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并證明.(3)在(2)的條件下，EF交OOi于點(diǎn)G,問弦BG的長度是否變化？若不變直接寫出BG的長(不寫過程)，若變化自畫圖說明理由.圄1國2【答案】(i) r=5 E (4, 5) (2) BF+CF=AC (3)弦BG的長度不變，等于 5企【解析】分析：(i)連接 ED. EC EQ、MOi,如圖 i,可以證到 / ECD=/ SME=/EMC=/EDC,從 而可以證到Z EOiD=ZEOiC=90 °,由直線DM的

18、解析式為y=3x+3可得OD=i, OM=3.設(shè) OOi的半徑為r.在RtA MOOi中利用勾股定理就可解決問題.(2)過點(diǎn)Oi作OiPEG于P,過點(diǎn)Oi作OiQ± BC于Q,連接EQ、DB,如圖2.由 AB/ DC可證到BD=AC,易證四邊形 OiPFQ是矩形，從而有 OiP=FQ, Z POiQ=90°,進(jìn)而有 /EOiP=/ COiQ,從而可以證到 EPOiCQ。，則有PQ=QOi.根據(jù)三角形中位線定理 可得FQ=1bd.從而可以得到 BF+CF=2FQ=AC.2(3)連接 EOi, ED, EB, BG,如圖 3.易證 EF/ BD,則有 Z GEB=Z EBD,從

19、而有 BG=?D,也就有BG=DE.在RtA EQD中運(yùn)用勾股定理求出 ED,就可解決問題. 詳解：(i)連接ED EG EQ、MOi,如圖i. ME 平分 / SMC,/ SME=Z EMC. / SME=Z ECD, / EMC=Z EDC,/ ECD=Z EDC,/ EOiD=Z EOiC. ZEOiD+Z EOiC=i80 °,ZEOiD=Z EOiC=90 °.直線DM的解析式為y=3x+3, .點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0, 3),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-i , 0),.OD=1, OM=3.設(shè)。Oi的半徑為r,則M0i=D0i=r.在 RtA MOOi 中，(r 1) 2+32=

20、r2.解得：r=5,OOi=4, EO=5,.OOi 半徑為 5,點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(4, 5).(2) BF+CF=AC.理由如下：過點(diǎn)Oi作OiPL EG于P,過點(diǎn)Oi作OiQBC于Q,連接E。、DB,如圖2. AB/ DC, ./DCAf/BAC,Ad = Be, ?d = Ac，BD=AC-OiP± EG, OiQ± BC, EF±BF, z. ZOiPF=Z PFQ=Z OiQF=90 °, .四邊形 OiPFQ是矩 形，,OiP=FQ, Z PdiQ=90 °,ZEdiP=90 °- ZPOiC=ZCOiQ.EO1PCOiQ

21、在EPQ 和CQOi 中，EPOiCQOi ,OiE QC.-.EPOiACQO,POi=QOi,FQ=QOi.QOi± BC, .BQ=CQCO=DOi, ,OiQ=iBD),，F(xiàn)Q=1bD.22 BF+CF=FC+BQ+eF=FQ+eQ+eF=2FQ,BF+CF=BD=AC.(3)連接 EQ, ED, EB, BG,如圖 3. DC是。Oi 的直徑，Z DBC=90 °, Z DBC+Z EFB=i80 °, . EF/ BD,/ GEB=Z EBD,Bg = ?D， BG=DE.DOi=EO)=5, EQ,DOi, . DE=5& ,，BG=5四 ,

22、二弦BG的長度不變，等于 5 J2 .卻圖2圖3點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、垂徑定理、全等三 角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的判定與性質(zhì)、勾股 定理等知識，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度.而由AB/ DC證到AC=BD是解決第（2）小題的關(guān)鍵，由EG/ DB證到BG=DE是解決第（3）小題的關(guān)鍵.7.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xi, yi）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（X2, y2）,且 xiW2, yi 2,以MN為邊構(gòu)造菱形，若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸，y軸，則稱該菱形為邊的坐標(biāo)菱形(1)已知點(diǎn)A (2, 0) , B

23、(0, 2石)，則以AB為邊的 坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角(2)若點(diǎn)C (1, 2),點(diǎn)D在直線y=5上，以CD為邊的 坐標(biāo)菱形”為正方形，求直線 CD 表達(dá)式；(3)。的半徑為 夜，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, m).若在。上存在一點(diǎn)Q,使得以QP為 邊的 坐標(biāo)菱形”為正方形，求 m的取值范圍.I姝環(huán)5 -5 -3 -3 2 -2 -【答案】(1) 60° (2) y=x+1 或 y= x+3; (3) 1WmC 或-5<1【解析】分析：(1)根據(jù)定義建立以 AB為邊的坐標(biāo)菱形”，由勾股定理求邊長 AB=4,可得30度 角，從而得最小內(nèi)角為 60°；(2)先確定直線CD與直線y=5

24、的夾角是45°,得D (4, 5)或(-2, 5),易得直線CD的表達(dá)式為：y=x+1或y=-x+3；(3)分兩種情況：先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行于直線 y=x,如圖3,根據(jù)等腰直角三角形 的性質(zhì)分別求P'B=BD=1, PB=5,寫出對應(yīng)P的坐標(biāo)； 先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x,如圖4,同理可得結(jié)論.詳解：(1)二.點(diǎn) A (2, 0) , B (0, 2 J3) , .-.OA=2, OB=2 J3 .在 RtAOB 中，由勾 股定理得：AB= 22(2x/3)2 =4,/ ABO=30 °.四邊形 ABCD是菱形，Z

25、ABC=2Z ABO=60 °.,AB/ CD,Z DCB=180 - 60 °=120.以AB為邊的 坐標(biāo)菱形”的最小內(nèi)角為60°.故答案為：60。；(2)如圖2.以CD為邊的坐標(biāo)菱形”為正方形，.直線CD與直線y=5的夾角是45 °.過點(diǎn)C作CH DE于E, .D (4, 5)或(-2, 5) , 直線CD的表達(dá)式為：y=x+1或y=-x+3；(3)分兩種情況：先作直線y=x,再作圓的兩條切線，且平行于直線 y=x,如圖3.,。0的半徑為J2 ,且OQ'D是等腰直角三角形，OD=J2OQ'=2,，P'D=3-2=1 .4口3是

26、等腰直角三角形，PB=BD=1,，P (0, 1),同理可得： OA=2,.AB=3+2=5.ABP是等腰直角三角形，.PB=5, - PCO, 5) , 當(dāng)1前W5時(shí)，以QP為邊的 坐 標(biāo)菱形”為正方形； 先作直線y=-x,再作圓的兩條切線，且平行于直線y=-x,如圖4. OO的半徑為J2 ,且OQ'D是等腰直角三角形，od=.2OQ'=2,BD=3- 2=1 . 4口口3是等腰直角三角形，PB=BD=1, P' (0, -1),同理可得： OA=2,.AB=3+2=5.ABP是等腰直角三角形，PB=5, P (0, -5) , 當(dāng)-5前W- 1時(shí)，以QP為邊的坐標(biāo)菱

27、形”為正方形；綜上所述：m的取值范圍是1前W5或-5前w 1.國點(diǎn)睛：本題是一次函數(shù)和圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、點(diǎn)P, Q的坐標(biāo)菱形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象解決問題，學(xué)會用分類討論 的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考創(chuàng)新題目.8.函數(shù)是描述客觀世界運(yùn)動變化的重要模型，理解函數(shù)的本質(zhì)是重要的任務(wù)。(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A、B的坐標(biāo)分別為 A (6, 0)、B (0, 2),點(diǎn)C （x, y）在線段AB上，計(jì)算（x+y）的最大值。小明的想法是：這里有兩個變量x、V,若最大值存在，設(shè)最大值為m,則有函數(shù)關(guān)系式 y=-x+m,由一次函

28、數(shù)的圖像可知，當(dāng)該直線與y軸交點(diǎn)最高時(shí)，就是 m的最大值，（x+y）的最大值為 ;（2）請你用（1）中小明的想法解決下面問題：如圖2,以（1）中的AB為斜邊在右上方作 RtABM.設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x, y）,求（x+y） 的最大值是多少？圖1圖2 a工【答案】（1） 6 （2） 4+2而【解析】分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)以AB為斜邊在右上方作 RtABC,可知點(diǎn)C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動，根據(jù) 點(diǎn)C坐標(biāo)為（x, y）,可構(gòu)造新的函數(shù) x+y=m ,則函數(shù)與y軸交點(diǎn)最高處即為 x+y的最大 值，此時(shí)，直線 y= - x+m與。D相切，再根據(jù)圓心點(diǎn) D的坐標(biāo)，可得 C的

29、坐標(biāo)為（3+J5, 1 + J5）,代入直線y= - x+m,可得m=4+2j5,即可得出x+y的最大值為4+2 . 5 .詳解：（1） 6；（2）由題可得，點(diǎn) C在以AB為直徑的OD上運(yùn)動，點(diǎn)C坐標(biāo)為（x, y）,可構(gòu)造新的函 數(shù)x+y=m,則函數(shù)與y軸交點(diǎn)最高處即為 x+y的最大值，此時(shí)，直線 y=-x+m與。D相 切，交x軸與E,如圖所示，連接 OD, CD.-A （6, 0）、B （0, 2） , .D （3, 1） , -OD=V12 32 =>/!0 , /. CD=V7q .根據(jù)CD, EF可得，C、D之間水平方向的距離為 J5,鉛垂方向的距離為 55,C（3+而，1+75

30、）,代入直線 y= - x+m,可得：1 + 75 = （3+75） +m,解得：m=4+2 55 ,x+y的最大值為 4+2 J5 .故答案為：4+2 55 .點(diǎn)睛：本題主要考查了切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及等腰直角三角形的 性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造一次函數(shù)圖象，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的 半徑進(jìn)行求解.9.如圖，AC是。的直徑，OB是。的半徑，PA切。于點(diǎn)A, PB與AC的延長線交于 點(diǎn) M , / COB= / APB.(1)求證：PB是。的切線；求。的半徑.【答案】(1)證明見解析；(2) 3.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意 /M + /P= 90°

31、;,而/COB=/APB,所以有 /M + /COB= 90°,即可證明 PB 是。的切線.(2)設(shè)圓的半徑為r,則OM=r+2,BM=4,OB=r,再根據(jù)勾股定理列方程便可求出r.【詳解】證明：(1) .AC是。的直徑，PA切。O于點(diǎn)A, PAX OA在 RtA MAP 中，/ M + / P= 90 ；而 ZCOB= / APB,/ M+/ COB= 90 °,/ OBM=90 °,即 OB± BP,.PB是。的切線；(2)設(shè)OO的半徑為r,OM r 2 ,OB r ,BM 4Q OBM為直角三角形 OM2 OB2 BM2,即（r 2）2 r2+42

32、解得：r=3,，。0的半徑為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線問題，證明圓的切線有兩種思路一種是證明連線是半徑，另一種是證明半彳5垂直.10.如圖，。的直徑AB=26, P是AB上（不與點(diǎn)A、B重合）的任一點(diǎn)，點(diǎn) C、D為OO上 的兩點(diǎn)，若/APD=/BPC則稱/CPD為直徑AB的 回旋角若/BPC=/DPC= 60。，則/CPD是直徑AB的 回旋角”嗎？并說明理由；13（2CD的長為一兀，求回旋角/ CPD的度數(shù)；4（3）若直徑AB的回旋角”為120°,且4PCD的周長為24+13J3,直接寫出AP的長.【答案】（1）/CPD是直徑AB的回旋角”，理由見解析；（2）回旋角”/CPD的

33、度數(shù)為45。； （3）滿足條件的AP的長為3或23.【解析】【分析】（1）由/CPD / BPC得至ij / APD,得到/BPC=/APD,所以/ CPD是直徑 AB的 回旋 角”；（2）利用CD弧長公式求出/COD= 45°,作C已AB交。于E,連接PE,利用 /CPD為直徑AB的 回旋角"，得到/APD=/BPC, Z OPE= / APD,得到1 /OPE+/ CPD+Z BPC= 180 即點(diǎn) D, P, E二點(diǎn)共線， Z CED= - Z COD= 22.5 ,2得到 / OPE= 90 - 22.5 = 67.5 :貝U / APD= / BPC= 67.5

34、:所以 / CPD= 45° ； （ 3）分出情況P在OA上或者OB上的情況，在 OA上時(shí)，同理（2）的方法得到點(diǎn) D,巳F在同一條 直線上，得到 4PCF是等邊三角形，連接 OC, OD,過點(diǎn)。作OGL CD于G, 利用sin/DOG,求得CD,利用周長求得 DF,過O作OHLDF于H,利用勾股定理求得 OP,進(jìn)而得到 AP;在OB上時(shí)，同理 OA計(jì)算方法即可【詳解】/CPD是直徑AB的 回旋角”，理由：ZCPD=Z BPC= 60°,/ APD= 180 - / CPD- ZBPC= 180 - 60 - 60 = 60 °,2 / BPC= / APD,3

35、/ CPD是直徑AB的回旋角”；(2)如圖 1 , AB= 26,.OC= OD= OA= 13,設(shè)/ COD= n°,-.13Cd的長為國4n n13 13 -1804n = 45,/ COD= 45 :作CH AB交。于E,連接P匕/ BPC= / OPE, / CPD為直徑AB的回旋角”，/ APD= / BPC,/ OPE= / APD, / APD+Z CPD+Z BPC= 180 : / OPE+Z CPD+Z BPC= 180 ； 點(diǎn)D, P, E三點(diǎn)共線，“1 / CED= /COD= 22.5 ,2/ OPE= 90 - 22.5 = 67.5 ,°/ A

36、PD= / BPC= 67.5 ,°/ CPD= 45 ；即：回旋角”/CPD的度數(shù)為45°, 當(dāng)點(diǎn)P在半徑OA上時(shí)，如圖2,過點(diǎn)C作C。AB交。于F,連接PF,PF= PC,同(2)的方法得，點(diǎn)D,巳F在同一條直線上， 直徑AB的回旋角”為120 ；/ APD= / BPC= 30 °,/ CPF= 60 °, .PCF是等邊三角形，/ CFD= 60 ；連接OC, OD,/ COD= 120 :過點(diǎn)O作OGL CD于G,- 1 -.CD=2DG, /DOG= - /COD= 60 ,213 3.DG=ODsinZ DOG= 13 x sin60 CD

37、= 13 3,.PCD的周長為 24+13 3,，PD+PC= 24, PC= PF,.PD+P曰 DF= 24,過。作OHDF于H,-DH= -DF= 12, 2在 RtZxOHD 中，OH= Jod2 dh 25在 RtAOHP中，/ OPH= 30°, .OP= 10,.-，AP=OA- OP= 3；當(dāng)點(diǎn)P在半徑OB上時(shí)，同的方法得，BP= 3,.AP = AB- BP=23,即：滿足條件的 AP的長為3或23.【點(diǎn)睛】本題是新定義問題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理、等邊三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合程度比較高，前兩問解題關(guān)鍵在于看懂題目給到的定義，第三問關(guān)鍵在于P點(diǎn)的分類討論 11

38、.如圖，在4ABC中，AB= AC,以AB為直徑的。與邊BC交于點(diǎn)D, D已AC,垂足為E,交AB的延長線于點(diǎn)F.求證：EF是。的切線；(2)若/C= 60°, AC= 12,求？D 的長.(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的長.E C【答案】 見解析；(2) 2 ;兀三.【解析】分析：(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ ODB,從而得到ZC=Z ODB,根據(jù)同位角相等，兩直線平行，得到OD/AC,從而得證OD，EF,即EF是。的切線；(2)根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，由 AB=AC=12,求得OB=OD=1AB=6,進(jìn)而根據(jù)等邊三角

39、形的判2定得到OBD是等邊三角形，即 ZBOD=60P,從而根據(jù)弧長公式七屆即可；(3)連接AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，由在R9DEC中，tanC 匹 2設(shè)CE=xCEAE -DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的長，然后根據(jù)相似二DE角形的判定與性質(zhì)求解即可 .詳解：(1)連接 OD AB=AC . / ABC玄 C. OD=OB . . / ABC=/ ODB，/C=/ ODB . .OD/ AC又DE，AC OD± DE,即 OD± EF.EF是。O的切線，、-八 1(2) AB=AC=12 OB=ODj AB =6由(1)得：/

40、C=/ ODB=600 OBD是等邊三角形/ BOD=600c 606BD = 2 即bd的長2180(3)連接 AD -. DEXAC Z DEC=/ DEA=903在 RtADEC43, tanC2 設(shè) CE=x,U DE=2xCE AB 是直徑/ ADB=Z ADC=90 / ADE+/ CDE=90)在 RtA DEC中，/ C+Z CDE=9(0一 AE/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan ADE 2 DE AE=8, DE=4 則 CE=2.AC=AE+CE=10直徑 AB=AC=10 貝U OD=OB=51.OD/AEAODFAAEFOF ODBF 5 5 即：AF

41、AEBF 10 8解得：BF=1°即BF的長為”.33點(diǎn)睛：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形以及 相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用.12.如圖，點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是-2,以原點(diǎn)。為原心、OB的長為半徑作優(yōu)弧 AB, 使點(diǎn)A在原點(diǎn)的左上方，且 tan/AOB= J3 ,點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù) 為4.(1) S扇形AOB= (大于半圓的扇形)；(2)點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，則/PDB的最大值為 °(3)在(2)的條件下，當(dāng) /PDB最大，且/AOPV 180°

42、;時(shí)，固定OPD的形狀和大小， 以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將 4OPD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a (0。WaW 360。 連接CP, AD.在旋轉(zhuǎn)過程中，CP與AD有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)PD/AO時(shí)，求AD2的值； 直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn) C到PD所在直線的距離d的取值范圍.10一 一 一【答案】(1)(2) 30 (3) AD=2P 20+8 用或 20+8 陰 1 wd W 3【解析】【分析】(1)利用扇形的面積公式計(jì)算即可.(2)如圖1中，當(dāng)PD與。相切時(shí)，/PDB的值最大.解直角三角形即可解決問題.(3) 結(jié)論：AD=2PC.如圖2中，連接 AB, AC,證明COW4AOD,即可解決問題. 分兩種

43、情形：如圖 3中，當(dāng)PD/ OA時(shí)，設(shè)OD交。于K,連,接PK交OC于H.求出 PC即可.如圖 中，當(dāng)PA/ OA時(shí)，作PK± OB于K,同法可得.判斷出PC的取值范圍即可解決問題.【詳解】(1) tan Z AOB= 33 ,/ AOB= 60 ;_ 2300210，S扇形AOB= (大于半圓的扇形)，3603(2)如圖1中，當(dāng)PD與。相切時(shí)，/PDB的值最大.圖1.PD是。的切線,OPXPD,/ OPD= 90 ； sin PDOOP 2OD 4/ PDB= 30 :同法當(dāng)DP與。相切時(shí)，/BDP'= 30°,/PDB的最大值為30°.故答案為30.(

44、3)結(jié)論：AD=2PC.理由：如圖2中，連接AB, AC.OA=OB, /AOB=60；.AOB是等邊三角形， BC= OC,.-.AC± OB, / AOC= / DOP= 60 ;/ COP= / AOD,AO OD 一 一 2OC OP.-.COPAAOD,ADAOPCOC2,.AD=2PC.如圖3中，當(dāng)PD/ OA時(shí)，設(shè)OD交。于K,連接PK交OC于H.D3,. OP=OK, / POQ 60；.OPK是等邊三角形，1. PD/ OA,/ AOP= / OPD= 90 °, / POH+ZAOC= 90 ； / AOC= 60 ；/ POH= 30 ； .PH=1O

45、P=1, OH=73pH= V3,2 PC= :PH2 CH2,'12 (13)25 2.3， .AD=2PC,.AD2=4 (5+2 5 =20+8 百.如圖 中，當(dāng)PA/ OA時(shí)，作PK! OB于K,同法可得：PC2= 12+ ( J3 - 1) 2=5 -2百，AD2=4PC2=20-8>/3 .由題意1巾CX3，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn) C到PD所在直線的距離d的取值范圍為1甫W3【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，勾股定 理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題.13.在RS畫:中,口工W,匹=知=nP

46、I,再分別是邊叫,碼的中點(diǎn),若等腰取繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰設(shè)旋轉(zhuǎn)角為飄0<15180°),記直線舊小與。的的交點(diǎn)為(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,當(dāng)我=9。上時(shí)，線段HQ的長等于,線段仃心的長等于(2)探究證明如圖2,當(dāng)戊二135"時(shí)，求證： 孫=%,且HDilf7%.(3)問題解決求點(diǎn)P到所在直線的距離的最大值.(直接寫出結(jié)果)【答案】(1) 20; 2戶；(2)詳見解析；(3) 1 + 口【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別得出BD的長和CE1的長；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，/ D1AB=/EiAC=135°,進(jìn)而求出 D1ABE1A

47、C ( SAS ,即可得出答案；(3)首先作PG, AB,交AB所在直線于點(diǎn)G,則D1，日在以A為圓心，AD為半徑的圓 上，當(dāng)BD所在直線與。A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時(shí) 四邊形AD1PE1是正方形，進(jìn)而求出 PG的長.【詳解】(1)解：./A=90°, AC=AB=4, D, E 分別是邊 AB, AC 的中點(diǎn)，.AE=AD=2, 等腰RHADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰 RtA AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a ( 0V /180 °, 當(dāng) a =90寸；AE1 =2, /E1AE=90°,BD1=U4' +=八&

48、ic = W T 2* = 2 2；故答案為：2%毒；2%歷；(2)證明：由題意可知，用二”="悝=4斤=2,.甲"小歷片是由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)|135。得到，“01 = AE lCAF.a =上口八月=1 卅|在dDMB和叫中AD = AE血.二.AB = ACLECA-£DyBA.*£/? =90，.“丑="川？ = 9(1工嚴(yán)小1 OE】，. 孫二甲,且孫1啊(3)點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是在|。川的上半圓周，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是在|。0的弧HP段.即當(dāng)?shù)ぁ?與0/1相切時(shí)，有最大值.點(diǎn)到所在直線的距離的最大值為 1 +、瓜【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換以

49、及等腰腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理以及切線的性質(zhì)等知 識，根據(jù)題意得出 PG的最長時(shí)P點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵.14.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，對于點(diǎn)P和圖形 W,如果以P為端點(diǎn)的任意一條射線與圖 形W最多只有一個公共點(diǎn)，那么稱點(diǎn)P獨(dú)立于圖形 W.圖1圖2卻(1)如圖1,已知點(diǎn)A (-2, 0),以原點(diǎn)。為圓心，OA長為半徑畫弧交x軸正半軸于點(diǎn) B.在pi(0,4),P2(0, 1) ,P3(0,-3),P4(4, 0)這四個點(diǎn)中，獨(dú)立于AB的點(diǎn)是;(2)如圖 2,已知點(diǎn) C (-3, 0) , D (0, 3) , E (3, 0),點(diǎn) P是直線 l： y=2x+8 上的一 個動點(diǎn).若點(diǎn)P獨(dú)立于

50、折線CD-DE,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍；(3)如圖3, OH是以點(diǎn)H (0, 4)為圓心，半徑為1的圓.點(diǎn)T (0, t)在y軸上且t>-3,以點(diǎn)T為中心的正方形 KLMN的頂點(diǎn)K的坐標(biāo)為(0, t+3),將正方形 KLMN在x軸及 x軸上方的部分記為圖形 W.若。H上的所有點(diǎn)都獨(dú)立于圖形W,直接寫出t的取值范圍.5_【答案】(1)P2,P3;(2)xpV-5 或xp> - . (3)-3v t V 1-J2 或 1 +J2V t V 7-J2.3【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P獨(dú)立于圖形 W的定義即可判斷;(2)求出直線DE,直線(3)求出三種特殊位置時(shí)CD與直線y=2x+8的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷;t的值，結(jié)合圖象即可解決問題 .【詳解】(1)由題意可知：在Pl(0, 4) , P2 (0, 1) , P3 (0, -3) , P4 (4, 0)這四個點(diǎn)中，獨(dú)立于Ab的點(diǎn)是P2, P3.(2) C (-3, 0),直線CD的解析式為D (0, 3) , E (3, 0),y=x+3,直線DE的解析式為y=-x+3,y= 2x 8由.y= x 3解得x二y=5,可得直線l與直線CD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)