函數(shù)的單調(diào)性88818

1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性范水高級中學數(shù)學組范水高級中學數(shù)學組 盧盧 浩浩函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間在給定區(qū)間 g 上，當上，當 x 1、x 2 g 且且 x 1 x 2 時時yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在g 上是增函數(shù)上是增函數(shù)；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在g 上是減函數(shù)上是減函數(shù)；若若 f(x) 在在g上是增函數(shù)或減函數(shù)，上是增函數(shù)或減函數(shù)，則則 f(x) 在在g上具有嚴格的單調(diào)性。上具有嚴格的單調(diào)性。g 稱為稱為單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間g = ( a ,

2、b )一、復習與引入一、復習與引入:(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性； (2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，它是個局部概函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，它是個局部概 念。這個區(qū)間是定義域的子集。念。這個區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對自變量單調(diào)區(qū)間：針對自變量x而言的。而言的。 若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)區(qū)間；間； 若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。 以前以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設在假設x1x2的的前提下

3、前提下,比較比較f(x1)0 時時,函數(shù)函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間在區(qū)間(2, +)內(nèi)為增函內(nèi)為增函數(shù)數(shù). y 在區(qū)間在區(qū)間(-,2)內(nèi)內(nèi),切線的斜切線的斜率為負率為負,函數(shù)函數(shù)y=f(x)的值隨著的值隨著x的增大而減小的增大而減小,即即 0f (x)0,那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)在為這個區(qū)間內(nèi) 的增函數(shù)的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)如果在這個區(qū)間內(nèi) 0,解得解得x1,因此因此,當當 時時,f(x)是增函數(shù)是增函數(shù);1,)x令令2x-20,解得解得x0,解得解得x3或或x1,因此因此,當當 或或 時時, f(x)是增函數(shù)是增函數(shù).3,)x(,1x 令令3x2-12x+90,解得解得

4、1x0得得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式解不等式 0得得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間.)(xf )(xf 練習練習1:求函數(shù)求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.答案答案:遞增區(qū)間是遞增區(qū)間是 和和 ;遞減區(qū)間是遞減區(qū)間是(-2,1). )2,( ), 1 ( 三、綜合應用三、綜合應用:例例1:確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是r,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(34232

5、2zkkxk 因此因此,f(x)的遞增區(qū)間是的遞增區(qū)間是: 遞減區(qū)間是遞減區(qū)間是:);)(322 ,322(zkkk ).)(342 ,322(zkkk 解解:函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( xxxf注意到函數(shù)的定義域是注意到函數(shù)的定義域是(-1,+),故故f(x)的遞增區(qū)間的遞增區(qū)間是是(1,+);由由 解得解得-1x100,故故f(x)的遞減區(qū)間是的遞減區(qū)間是(100,+)., 0)( xf說明說明:(1)由于由于f(x)在在x=0處連續(xù)處連續(xù),所以

6、遞增區(qū)間可以擴大所以遞增區(qū)間可以擴大 到到0,100)(或或0,100).(2)雖然在雖然在x=100處導數(shù)為零處導數(shù)為零,但在寫單調(diào)區(qū)間時但在寫單調(diào)區(qū)間時, 都可以把都可以把100包含在內(nèi)包含在內(nèi).例例2:設設f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間恰有三個單調(diào)區(qū)間,試確定試確定a的取值范的取值范 圍圍,并求其單調(diào)區(qū)間并求其單調(diào)區(qū)間.解解:. 13)(2 axxf若若a0, 對一切實數(shù)恒成立對一切實數(shù)恒成立,此時此時f(x)只有一只有一個單調(diào)區(qū)間個單調(diào)區(qū)間,矛盾矛盾.0)( xf若若a=0, 此時此時f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間也只有一個單調(diào)區(qū)間,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,則則 ,易

7、知此時易知此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間恰有三個單調(diào)區(qū)間.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a1時時,證明不等式證明不等式:.132xx 證證:設設 顯然顯然f(x)在在1,+)上連續(xù)上連續(xù),且且f(1)=0.,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 顯然顯然,當當x1時時, ,故故f(x)是是1,+)上的增函數(shù)上的增函數(shù).0)( xf所以當所以當x1時時,f(x)f(1)=0,即當即當x1時時,.132xx 說明說明:利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的一利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的一 種重要方法種重要方法.其解題步驟是其解題步驟是:令令f(x)=f

8、(x)-g(x),xa,其中其中f(a)=f(a)-g(a)=0,從而從而將要證明的不等式將要證明的不等式“當當xa時時,f(x)g(x)”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為證明證明: “當當xa時時,f(x)f(a)”.練習練習2:已知已知 求證求證:.tan,20 xxx 類類1:求函數(shù)求函數(shù) 的值域的值域.342 xxy解解:函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是-2,+),又易得又易得:.)4232(342282 xxxxxy當當x-2時時, 即已知函數(shù)在即已知函數(shù)在(-2,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)., 0 y又又f(-2)=-1,故所求函數(shù)的值域是故所求函數(shù)的值域是-1,+).類類2:證明方程證明方程 只有一個根只

9、有一個根x=0.0sin31 xx證證:設設 則則 0恒成立恒成立.xxfrxxxxfcos311)(),(sin31)( 故故f(x)是是r上的增函數(shù)上的增函數(shù).而而f(0)=0,故原方程有唯一根故原方程有唯一根x=0.四、小結四、小結:1.在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先要確定函數(shù)首先要確定函數(shù) 的定義域的定義域,解決問題的過程中解決問題的過程中,只能在函數(shù)的定義域內(nèi)只能在函數(shù)的定義域內(nèi), 通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時,除了必須確定使導數(shù)等于除了必須確定使導數(shù)

10、等于 零的點外零的點外,還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導 點點.3.注意在某一區(qū)間內(nèi)注意在某一區(qū)間內(nèi) ()0只是函數(shù)只是函數(shù)f(x)在該區(qū)間在該區(qū)間 上為增上為增(減減)函數(shù)的充分不必要條件函數(shù)的充分不必要條件.)(xf 4.利用求導的方法可以證明不等式利用求導的方法可以證明不等式,首先要根據(jù)題意構首先要根據(jù)題意構 造函數(shù)造函數(shù),再判斷所設函數(shù)的單調(diào)性再判斷所設函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性的定義利用單調(diào)性的定義, 證明要證的不等式證明要證的不等式.當函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的定義當函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的定義 域相同時域相同時,我們也可用求導的方法求函數(shù)的值域我們也可用求導的方法求函數(shù)的值域.6.利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,是導數(shù)幾何是導數(shù)幾何 意義在研究曲