橢圓性質練習題

1、1 .離心率為2(A) x-92(C) 3362,32y52y20長軸長為橢圓性質練習題6的橢圓的標準方程是（2(B) +92(D) 3362y52y2021或 -521或202y92y36A.橢圓B.線段F1F2 C.直線F1F2D.不能確定23.已知橢圓的標準方程X2y 1，貝圓的焦點坐標為（)10A.(皿,0)B. (0, Vi0)C. (0, 3)D.(3,0)4.已知橢圓2 X21上一點p到橢圓的一焦點的距離為3,則P到另一焦點的距離59是（）A. 2麗 325.女口果xy2y-1表示焦點在X軸上的橢圓，貝U實數a的取值范圍為（）aa2A. ( 2,)B.2, 12,C. (, 1)

2、(2,）D.任意實數R6.關于曲線的對稱性的論述正確的是（）A.方程X2Xyy20的曲線關于X軸對稱B.方程X33y0的曲線關于丫軸對稱C.方程X2Xyy2 10的曲線關于原點對稱D.方程X33y8的曲線關于原點對稱8,則P點的軌跡為（）的距離之和為2.動點P到兩個定點F1 (- 4, 0) . F2 (4, 0)222ykb27.方程二 ka2（ ）.A.有相同的離心率;28已知橢圓C :務a相交于A B兩點.x1 (a > b > 0,k > 0且k工1)與方程 a221 ( a > b > 0)表示的橢圓b(A) 1 9若A. 45B.有共同的焦點；C.有等

3、長的短軸.長軸；D.有相同的頂點.2rr與1（a> b>0）的離心率為也，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與C b22UULTULU若 AF 3FB，則 k （）（B） 72（ C） 73（ D） 2個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是（）35B.C.210若點0和點F分別為橢圓4 uuu ULUOPgFP的最大值為（）A. 2B. 3252y3D.1的中心和左焦點，點 P為橢圓上的任意一點，則C. 62 211橢圓篤爲a b滿足線段AP的垂直平分線過點F,則橢圓離心率的取值范圍是（）（B） （0,丄（0 Q 1 , 1）2 2x b與曲線y

4、3x2有公共點，貝U2邏B. 1 72 ,3D. 1 20,31 a> b> 0的右焦點為F,其右準線與x軸的交點為A .在橢圓上存在點P(A) (0,12 若直線yA. 1 2 邏，1C.-1, 1 2屜、1（D） -，1）2b的取值范圍是（）二、填空題：（本大題共4小題，共16分.）13若一個橢圓長軸的長度.短軸的長度和焦距成等差數列，21上一點P與橢圓兩焦點F1, F2的連線的夾角為直角，貝U Rt PFF2的面積24則該橢圓的離心率是214橢圓49為 .15已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D ,且BFI 2 FDI，則C的離心率為.21

5、6 已知橢圓c: y21的兩焦點為F1,F2,點P（x0, y0）滿足02的取值范圍為,三、解答題：（本大題共6小題，2y y 1,則I pF1I+ PF2I0共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）217. （12分）已知點M在橢圓252眷1 上,MP'垂直于橢圓焦點所在的直線，垂直為P'，并且M為線段P P'的中點,求P點的軌跡方程2 218.(12分)橢圓y45 m1(0 m45）的焦點分別是F1和F2，已知橢圓的離心率e心0作直線與橢圓交于A，B兩點,O為原點，若VABF2的面積是20，求：（1）m的值（2）直線AB的方程19（ 12分）設Fi，F2

6、分別為橢圓2xC:a2¥ 1 （a b 0）的左、右焦點，過F2的直線l與橢b圓C相交于A, B兩點，直線I的傾斜角為60°，F1到直線I的距離為273.（I）求橢圓C的焦距;UUUU(n)如果af2ULUU2F2B,求橢圓C的方程.20 (12分)設橢圓C:2 2X y1(a2 .21(aa bb 0)的左焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A,B兩點,(I)(II)uuur直線I的傾斜角為60°, AF求橢圓C的離心率；如果|AB|= 15，求橢圓C的方程.4uuu2FB .21 (12分)在平面直角坐標系直線AP與BP的斜率之積等于xOy中，點B與點A(-1

7、,1 )關于原點0對稱，P是動點，且13 .(I )求動點P的軌跡方程；(n )設直線AP和 BP分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得PAB與PMN勺面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。2 222 (14分)已知橢圓務占a bJ31 (a>b>0)的離心率e，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.(I)求橢圓的方程；(n)設直線I與橢圓相交于不同的兩點 A B,已知點A的坐標為(-a , 0).(i )若IABF4叵，求直線I的傾斜角；5(ii )若點(0, yo)在線段AB的垂直平分線上，且QA?QB 4.求y。的值.%|=e，得即 k=2EFA

8、E eAB,故選B.參考答案1.選擇題:題號123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質與第二定義 .【解析】設直線I為橢圓的有準線，e為離心率，過A, B分別作AA, BB垂直于I ， A，B為AA垂足，過B作BE垂直于AA與E,由第二定義得，縣：設金為北*毎抽為2蘇養(yǎng)$為2劉加+k = ”2i印 fl + c =詆口(+ c)" = 4, ®4(d' -c)整湮得-北' + 32=0 -5* + 2c-3 =0 e = -?或"10【解析】由題意，F (-1 , 0),設點P(xo,yo)，則

9、有2Xo2于1,解得yo2 3(12Xt)，JJJ 因為FPuuuuju uuu(Xo 1,yo)，OP(Xo,yo)，所以 OP FP Xo(Xo1) yo2UJU =OPuuuFP2 2Xo _XoXo(Xo 1)3(1叫)=汕Xo 3，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為44Xouuu uuu，亠 222，所以當x0 2時，OP FP取得最大值一2 3 6，選C。4【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質、平面向量的數量積的坐標運算、二次函數的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力。11 解析：由題意，橢圓上存在點 P,使得線段AP的垂直平分線過點F

10、 , 即F點到P點與A點的距離相等2b2而 I FA = c cc| PF a c, a+ cb2于是 a c, a+ ccac2 a2 c2 ca2ac2 c2 cc a c a又 e (0,1) 12故e A答案：D12若直線y xb與曲線J4x X2有公共點，則b的取值范圍是A. 1 22, 1 2 冋B. 1 72,3C.-1, 1 2 冋D. 1 272,3P.【答SI 【解析J曲建芳超可化®対（"2/+0-3丫-4口丿呵，示圓b為C：i 3）半徑垢的他，依據數!合.當S釀y =與此半費扌冃切時須滿足副3）a線x=x-b距離#于丄，因対杲F半®故可猖儀白

11、=1十2d （舍h當直線過（山了）時】解得所以die確屮填空題：（本大題共4小題，共16分.）1314若一個橢圓長軸的長度.短軸的長度和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率是2 2橢圓 L 1上一點P與橢圓兩焦點F1, F2的連線的夾角為直角，貝U Rt PFF2的面積4924為 .15已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且UWuLrBF 2FD，則C的離心率為.【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，3考查了數形結合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點：“數研究形，形助數”，利用幾何【解析1】如圖，|BF | Jb2 c2

12、a,uuULT作DD1y軸于點D,則由BF2FD，得|OF |BF |2,所以 |DD1 |3|OF |3 -c,|DD1 | BD |322即Xd3c,由橢圓的第二定義得2|FD|2e(a- c性質可尋求到簡化問題的捷徑.又由 |BF | 2|FD |,得 a 2a 3c-a【解析2】設橢圓方程為第一標準形式2 X2aXc0 2X2X2332xc 2c; ycb 2y29£4 a21b4 b216已知橢圓2Xc: 一2取值范圍為?！敬鸢浮?2近,0【解析】依題意知，點(I PF1 I I PF2 |)maX2，當(近 1) =22X Xoyo.填空題:三.解答題:y23yc3c22

13、aX2,y2 ，x21的兩焦點為F1'F2,點PS。）滿足0 7F分BD所成的比為2,y 1 ,則 I pFi|+ PF2I 的P在橢圓內部.畫出圖形，由數形結合可得，當P在橢圓頂點處時，取到（1 PF1 1 1 PF2 |）max為廠£2故范圍為222 .因為（Xo,yo）在橢圓T y1上的點（X, y）均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點,2,272,0P在原點處時1的內部，則直線故交點數為14 241517.解：設p點的坐標為p（x, y）,m點的坐標為（X0,y0），由題意可知b21X0X0 Xyo2因為點m在橢圓252仝1上，所以有92X025，把代入得2 X25

14、2366 “，所以P點的軌跡是焦點在y軸上，標準方x2程為252y361的橢圓.18.解：（1）由已知e745所以mb2452520（2）根據題意S/ABIFS/f1f2b20設 B(x,y)，則 S/F1F2B-gF1F2|y，F1F2 2c 10，所以y 4，把y24代入橢圓的方程45220 1，得x 3，所以B點的坐標為（3 4），所以直線AB的方程為y4x或y4 -X319設F1，F2分別為橢圓2占1(abb 0）的左、右焦點，過F2的直線I與橢圓C相交于A, B兩點，直線I的傾斜角為60°，F1到直線I的距離為273.（I）求橢圓C的焦距；uuun uuu（n）如果af2

15、2F2b,求橢圓c的方程.解：（I）設焦距為2c，由已知可得F1到直線I的距離V3c 23,故c 2. 所以橢圓C的焦距為4.(n)設 A(X1,y1), B(X2,y2),由題意知 y 0, y? 0,直線 I 的方程為 y 73(x 2).y聯立2a/3(x 2), y2得(3b2)y2 W3b2y 3b40.屈2 (2 2a)3a2 b2, y2麻2 (2 2a)3a2 b22 2ULur因為AF2uuur2F2B,所以 yi 2y2.保2(2 2a)273b2(2 2a)即 3a2 b23a2b2得 a 3.而 a2 b24,所以b故橢圓C的方程為1.220設橢圓C:篤a1(a0)的左

16、焦點為F,過點F的直線與橢圓C相交于A, B兩點,uuur60°, AFC的離心率;i5uuu2FB .直線I的傾斜角為(III) 求橢圓(IV) 如果|AB|= 5，求橢圓C的方程. 解：設 A(xi, yi), B(X2,y2)，由題意知 yi < 0, y >0.(I)直線I的方程為 y 73( X c)，其中c TOF.d c),y2 得(3a匚 ib2 ib2)y22V3b2cy 3b40解得yi屜2(c 2a)3a2b2,y2廚(c 2a)3a2 b2Luur 因為AFuuu2FB ,所以yi即低2(c 2a)3a2 b22?73b2 (c 2a)(n)因為A

17、B3a223 .門y2b26分yi，所以2 c W3ab2 i5=? 73 'aa2 b24由；2得b好所以a ，得a=3, b屈12分橢圓C的方程為-Z 1.9521 (2010北京理數)(19)(本小題共14分) 在平面直角坐標系XOy中，點B與點A (-1,1 )關于原點0對稱，P是動點，且直線AP與BP 的斜率之積等于 1.3(I )求動點P的軌跡方程； (n )設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問：是否存在點P使得PAB與PMN勺面 積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。(I)解：因為點B與A( 1,1)關于原點0對稱，所以點B得坐標為(1, 1).

18、設點P的坐標為(X, y) 由題意得1化簡得X2 3y2 4( X 1).故動點P的軌跡方程為X2 3y2 4(X1)(3, yM ), (3, yN).(II )解法一：設點P的坐標為(xo,yo)，點M , N得坐標分別為則直線AP的方程為y 1VoXo1-(X 1)，直線BP的方程為y 11X 1)Xo 1令X 3得yM4yo Xo 3Xo1yN2 VoXo3Xo于是VPMN得面積1S/PMN2 | yMVn | (3Xo)2|Xo yo|(3 Xo)|X02 1|又直線AB的方程為X y 0 ,|AB| 242 ,點P到直線AB的距離d|Xoyo1于是VP AB的面積1 Svpab -

19、 |AB |cd |X0 y0 |2當 SvpAB SvpmN 時,得 | xo yo I2IXo yo I(3 Xo)IXo2 1|又 I Xoyo I 0 ,所以(3 Xo)2=IXo251|，解得 I Xo- 03因為 Xo2 3yo24，所以yo字9故存在點P使得VPAB與VPMN的面積相等，此時點P的坐標為(|,晉).解法二：若存在點P使得VPAB與VPMN的面積相等，設點P的坐標為(x0,y0)1 1則一IPAgPBIsin APB - I PM g PNIsin MPN .因為 sin APB sin MPN ,所以IPM IIPN IIPBII3 XoIIx 1I即(3 Xo)

20、2x 1|，解得因為Xo23yo24，所以 yo537339故存在點2 222已知橢圓務芯1a bPS使得VPAB與VPMN的面積相等，此時點P的坐標為(-,丿33).39J3(a>b>0)的離心率°斗，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積 為4.(I)求橢圓的方程；(n)設直線l與橢圓相交于不同的兩點 A B,已知點A的坐標為(-a，0).(i )若I AB|=也，求直線I的傾斜角；5LUU UUU(ii )若點Q(o, yo)在線段AB的垂直平分線上，且QAgPB=4.求y。的值.【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合 的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分14分.(I)解：由e